资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（ ）
A. B.64
C.2 D.
2．下列函数中与是同一函数的是（）
（1）（2）（3）（4）（5）
A.（1）（2） B.（2）（3）
C.（2）（4） D.（3）（5）
3．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.三种形状都有可能
4．已知向量，，且，若，均为正数，则的最大值是
A. B.
C. D.
5．已知，则（）
A.－ B.
C.－ D.
6．已知光线每通过一块特制玻璃板，强度要减弱，要使通过玻璃板光线强度减弱到原来的以下，则至少需要重叠玻璃版块数为（参考数据：）（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
7．某几何体的三视图都是全等图形，则该几何体一定是（ ）
A.圆柱 B.圆锥
C.三棱锥 D.球体
8．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（）
A.4 B.3
C.2 D.
10．若关于的不等式的解集为，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
11．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直相交 D.异面且垂直
12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）
A.17 B.18
C.19 D.20
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．在中，，则等于______
14．函数为奇函数，当时，，则______
15．已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________
16．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]
（1）若与共线，求x的值；
（2）若⊥，求x的值；
（3）记f（x）=•，当f（x）取得最小值时，求x的值
18．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.
19．已知函数，
（1）若，解不等式；
（2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围
20．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图像；
（3）根据图像写出的单调区间和值域.
21．已知集合，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
22．如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，，分别为棱的中点
（1）求证：；
（2）若求三棱锥的体积
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】设出幂函数，求出幂函数代入即可求解.
【详解】设幂函数为，且图象过点（4，2）
，解得，
所以，
，
故选：A
【点睛】本题考查幂函数，需掌握幂函数的定义，属于基础题.
2、C
【解析】将5个函数的解析式化简后，根据相等函数的判定方法分析，即可得出结果.
【详解】（1）与定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；
（2）与的定义域相同，对应关系一致，是同一函数；
（3）与定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；
（4）与定义相同，对应关系一致，是同一函数；
（5）与对应关系不同，不是同一函数；
故选：C.
3、C
【解析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状
【详解】解：，
，
为三角形内角，，
为钝角，即三角形为钝角三角形
故选C
【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用
4、C
【解析】利用向量共线定理可得2x+3y=5，再利用基本不等式即可得出
【详解】∵，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.
∵x＞0，y＞0，
∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号
故选C.
点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式，属于中档题
5、D
【解析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式即可直接得出结果.
【详解】由题意得，
，
即，
所以.
故选：D.
6、D
【解析】设至少需要经过这样的块玻璃板,则,即,两边同时取以10为底的对数,可得,进而求解即可,需注意
【详解】设至少需要经过这样的块玻璃板,则,即,
所以,即,
因为,
所以,
故选:D
【点睛】本题考查利用对数的运算性质求解,考查指数函数的实际应用
7、D
【解析】任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆
【详解】球、长方体、三棱锥、圆锥中，任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方
向上的视图都是等圆，
故答案为：D
【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是看出各个图形的在任意方向上的视图，本题是一个基
础题
8、D
【解析】对于A：由定义法判断出不是奇函数，即可判断；
对于B：判断出在R上为增函数，即可判断；
对于C：不能说在定义域是减函数，即可判断；
对于D：用图像法判断.
【详解】对于A：的定义域为R..所以不是奇函数，故A错误；
对于B：在R上为增函数.故B错误；
对于C：在为减函数，在为减函数，但不能说在定义域是减函数.故C错误；
对于D：，作出图像如图所示：
所以既是奇函数又是减函数.故D正确.
故选：D
9、C
【解析】根据解析式可得其单调性，根据x的范围，可求得的最大值和最小值，根据题意，列出方程，即可求得a值.
【详解】由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
10、A
【解析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，求出、的值，然后利用二次函数的基本性质可求得在区间上的最小值.
【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，
则，解得，则，
故当时，函数取得最小值，即.
故选：A.
11、D
【解析】由菱形ABCD平面内,则对角线,又, 可得平面,进而可得,又显然，PA与BD不在同一平面内，可判断其位置关系.
【详解】假设PA与BD共面，根据条件点和菱形ABCD都在平面内，
这与条件相矛盾.
故假设不成立，即PA与BD异面.
又在菱形ABCD中，对角线，
，，则且，
所以平面平面.
则,
所以PA与BD异面且垂直.
故选：D
【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题.
12、D
【解析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：D
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】由题；，
又，代入得：
考点：三角函数的公式变形能力及求值.
14、
【解析】根据对数运算和奇函数性质求解即可.
【详解】解：因为函数为奇函数，当时，
所以．
故答案为：
15、-7
【解析】由已知是定义在上的奇函数, 当时, ，所以，则=
点睛：利用函数奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：
①若奇函数在处有定义，则；
②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；
③特殊值验证法
16、
【解析】
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB中点，所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形， AA1=2AB
所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2
故答案为：2.
点睛：求两条异面直线所成角关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两向量平行有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（2）利用两向量垂直有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（3）根据化出一个关于的方程，再利用恒等变化公式将函数转化成，从而找到最小值所取得的x的值.
【详解】解：（1）∵向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]
与共线，∴，∴tanx=-，
∵x∈[0，π]，∴x=
（2）∵⊥，∴cosx-sinx=0，
∴tanx=1，∵x∈[0，π]，∴x=
（3）f（x）=•=cosx-，
∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，
∴x-=时，f（x）取得最小值-2，
∴当f（x）取得最小值时，x=
【点睛】向量间的位置关系：两向量垂直，则，两向量平行，则.
18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF.3分
因DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD.5分
（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1.8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1.12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
19、（1）
（2）
【解析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；
（2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案.
【小问1详解】
解：当时，原不等式可化为…①
（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；
（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以
综上，原不等式的解集为
【小问2详解】
解：依题意，
因为，且二次函数开口向上，
所以当时，函数有且仅有一个零点
所以时，函数恰有两个零点
所以解得
不妨设，所以，是方程的两相异实根，
则，所以
因为是方程的根，且，
由求根公式得
因为函数在上单调递增，
所以，所以．所以．所以a的取值范围是
20、（1）
（2）图像见解析（3）答案见解析
【解析】（1）根据偶函数的性质即可求出；
（2）根据解析式即可画出图像；
（3）根据图像可得出.
【小问1详解】
因为是定义在R上的偶函数，当时，，
则当时，，则，
所以；
【小问2详解】
画出函数图像如下：
【小问3详解】
根据函数图像可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为.
21、（1），；（2）.
【解析】（1）利用集合的并、交运算求，即可.
（2）讨论、，根据列不等式求的范围.
【详解】（1）∵，
∴，.
（2）当时， ，解得，则满足.
当时，，解得，又
∴，解得，即.
综上，.
22、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）可证平面，从而得到.
（2）取的中点为，连接，可证平面，故可求三棱锥的体积
【详解】（1）因为侧棱⊥底面，平面，所以，
因为为中点，，故，而，
故平面，而平面，故.
（2）取的中点为，连接.
因为，故，故，
因为，故，且，故，
因为三棱柱中，侧棱⊥底面，
故三棱柱为直棱柱，故⊥底面，
因为底面，故，而，
故平面，
而，
故.
【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
