常微分方程第二章.doc

第二章 基本定理
我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程

除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题.
本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.
2.1 解的存在唯一性定理
对于一般的常微分方程
（2.1）
如果给出了初始条件，我们就得到了柯西初值问题
（2.2）
这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.
2.1.1 存在唯一性定理的叙述
定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数在闭矩形区域

上满足如下条件：
（1）在上连续；
（2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上的任何一对点和有不等式：

则初值问题（2.2）在区间上存在唯一解

其中.
在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：
1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数在闭矩形区域关于的偏导数存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为有界，故设，对，由拉格朗日中值定理得：

我们验证在闭矩形区域上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：在闭矩形区域上连续.由闭区域上连续函数的性质知：在闭矩形区域上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：
在上连续在上存在且有界李普希兹条件
2、在定理2.1的结论中，解的存在区间为，其中
.为什么解的存在区间不是呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域，方程的解不能超出的范围，又因为，所以
即
由和得：，
因此，即夹在与之间.
又，与在上的存在区间为，
故的存在区间也是.
2.1.2 存在性的证明
首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解，等价于求解积分方程
（2.3）
事实上，如果是初值问题（2.2）的解，即有
且
从到积分得：
即是积分问题（2.3）的解.
反过来，如果是积分问题（2.3）的解，即有

则且
即是初值问题（2.2）的解.
经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.
下面用皮卡（Picard）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：
1、构造近似函数列
任取一个满足初值条件的函数作为首项（初始项），并要求在上的存在区间为：，简单起见，取，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用表示，并称为一次近似，即

再将代入方程（2.3）的右端就得到二次近似

序行此法，可以得到次近似

为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有，即当时，有

下面用数学归纳法证明.显然，当时，有

假设，当时，有，那么，对于有

从而有

由数学归纳法知，当时，有

这样，我们就可以得到一个近似函数列.
2、证明近似函数列在区间上一致收敛.
由于无法得到的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数
（2.4）
它的部分和是

因此，证明的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间上一致收敛.
首先研究级数（2.4）的通项

即

所以

因为，，所以

由李普希兹条件，得

下面用数学归纳法证明

显然，的时候，不等式成立（上面已经给出），
假设成立，那么对于的情形有

由数学归纳法知，对一切自然数，均有
又，所以级数（2.4）的通项满足：
（）
利用比式判别法，可知以为通项的级数收敛，从而以为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为，其存在区间也是.因此函数列就收敛于.
3、证明是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.
在两端取极限，得到

即

所以是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.
2.1.3 唯一性的证明
下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman）不等式.
贝尔曼引理 设为区间上的非负连续函数，.若存在
，使得满足不等式
（2.5）
则有

证明 仅证明的情形，的情形类似.
令的原函数为，代入（2.5）得

两边同时乘以积分因子，得

从到积分得

即

由（2.5）知，，所以

下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解和，我们只需要证明：，
事实上，因为
，
所以有

由李普希兹条件知

令，由贝尔曼引理可知，，即.
这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.
2.1.4 三点说明
为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.
1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列，其中首项为：，递推关系式为：.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有

2、如果方程（2.1）是线性方程，即

其中和在区间上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域

满足定理2.1的条件.
事实上，在上连续，而且在上也连续，所以关于变量满足李普希兹条件.
这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为.
3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.
例1 试证方程

经过平面上任一点的解都是唯一的.
证明 由可得：或.
任给平面上的一个点，只会对应或中的一个解，也就是说，过平面上任一点的解都是唯一的.
但是，我们有

因为，所以找不到，使得

从而方程右端函数在的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.
习 题 2.1
1.试判断方程在区域
（1）；
（2）
上是否满足定理2.1的条件？
2.讨论方程在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过的一切解.
3.试用逐次逼近法求方程满足初值条件的近似解：

并在闭矩形区域给出三次近似的误差估计.
4.利用逐次逼近法求方程适合初值条件的近似解：

并在闭矩形区域给出二次近似的误差估计.
5.试证明定理2.1中的次近似解与精确解有如下的误差估计式：

6.在条形区域内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解，如果有，则必有
.
7.讨论方程

解的唯一性.
2.2 延展定理和比较定理
由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是，而是 其中.如果比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.
2.2.1 延展定理
定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域上连续，且关于变量满足局部的李普希兹条件，即对于内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点，初值问题（2.2）的解可以向左右无限延展，直到任意接近区域的边界.
在给出定理的证明之前，先对“任意接近区域的边界”进行说明.当区域有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.
证明 首先证明区域有界的情形.设区域的边界为（为的闭包）.对于任意给定的正数，记的邻域为，记的邻域为，记的邻域为.则集合为闭集，且，所以有界.
只要证明积分曲线可以到达的边界，由的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域的边界.
事实上，以中的任意一点为中心，以为半径的闭圆区域均包含在区域的内部.且在闭区域之内.从而，以中的任意一点为中心，以为边长的正方形也在闭区域之内.记

则过的任意一点的积分曲线，必至少可在区间上存在，其中
.
于是，过点的积分曲线每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数，由于有界，经过有限次延展后一定可以达到
的边界.于是也就可以任意接近区域的边界.
其次考虑区域为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域

与区域取交集，令，则.由于为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过内任一点的积分曲线能够任意接近的边界.因此，过点的积分曲线可以无限接近区域的边界.
延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域有界的时候，过点的积分曲线向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅是不变的.
例1 试讨论方程通过点的解和通过点的解的存在区间.
解 该题目中研究问题的区域为整个坐标平面.方程右端函数满足延展定理的条件.由可以解得方程的通解为

代入得：.故通过点的解为

它可以向左无限延展，而当时，，所以通过点的解的存在区间为.
代入得：.故通过点的解为

它可以向右无限延展，而当时，，所以通过点的解的存在区间为.
这个例子说明，尽管在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点也能无限接近区域的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是.
例2 试证明：对任意的及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在.
证明：令，则

显然在平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，
而是的解，
因此，满足，的解存在，而且可以无限延展到平面的边界，且不能穿过，
故只能向左右无限延展，所以，在上存在.
该例题说明，在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是.在这里，控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理.
2.2.2 比较定理
我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.
我们在考察方程（2.1）

时，通常将右端函数进行放缩的处理，比如

这时，我们可以同时考察
和
我们有如下的比较定理：
定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域上的函数，和
满足条件：
（1）在满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在上连续，在上关于变量满足李普希兹条件；
（2）在上有不等式

设初值问题
，和
的解分别为，和，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：

证明 仅证当时，，其它的情形相类似.
由比较定理的条件（1），初值问题
和
的解在的某一邻域内存在且唯一，分别记为和，它们满足

令，则

且

所以函数在的某一右邻域内是严格单调增加的.
如果在时，不是总成立，则至少存在一点，使得，且当时，，因此在点的左导数，这与

矛盾.因此当时，总成立，即.
比较定理的应用，关键是和的选取，因为初值问题

的解的存在区间的延展，受到和的控制，即夹在和之间.因此，我们必须能确定出和的存在区间，这就是我们选取和的标准，即
和
的解和必须能够求得.
下面我们给出第二比较定理.
定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域上的函数，和
满足条件：
（1）在满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在上连续，在上关于变量满足李普希兹条件；
（2）在上有不等式

设初值问题
，和
的解分别为，和，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：

习 题 2.2
1．设方程为

假设及在平面上连续，试证明：对于任意的及，方程满足的解都在上存在.
2.指出方程的每一个解的最大存在区间，以及当趋于这个区间的右端点时解的极限.
3.讨论方程

解的存在区间.
4.设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义.
5.讨论方程的通过点的解，以及通过点的解的存在区间.
6.在方程中，如果在上连续可微，且
，
求证方程满足的解在区间上存在，且有.
2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理
通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题.
我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把和当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解被看作的函数.实际上，如果，变化，初值问题（2.2）的解也会发生变化.例如方程

经过点的解为，可以看作的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作的函数，记为，代入
得：.
如果我们的初始条件发生了微小的误差，变为了，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.
定义2.1 设初值问题

的解在区间上存在，如果对于任意给定的正数，存在正数
(的选取与有关)，使得对于满足（2.2）的解都在上存在，且有

则称初值问题（2.2）的解在点连续依赖于初值.
定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设在区域内连续，且关于变量满足李普希兹条件.如果，初值问题（2.2）有解,且当时，，则对任意的正数，存在，使对于满足

的任意，初值问题

的解也在区间上存在，且有

证明 对于任意给定的正数，取，使得闭区域

整个含在区域内，这是可以做到的，因为区域是开区域，且当时，
，所以，只要的选取足够小，以曲线为中线，宽度为的带形开区域就整个包含在区域内，
选取满足

其中为李普希兹常数，，同时还要求的选取，必须保证闭正方形

含于带形开区域内.
由存在唯一性定理知，对于任一，初值问题（2.2）在的某邻域上存在唯一解，而且在的该邻域上可以表示为

而可以表示为

对上述两式做差得：

所以

由贝尔曼引理，得

因此，只要在有定义的区间上，就有
.
下面我们证明：在区间上有定义.事实上，因为

即解夹在和之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解可以向左向右无限延展，直到无限接近区域的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线和直线穿出区域，从而在区间上有定义.
解对初值的连续依赖性说明，初值无法准确得到，但是我们能得到测量数据，只要误差比较小，即
.
我们就可以用代替去计算，得到初值问题的解，这个解可以非常接近真实解，即
.
同理，如果方程的右端函数不能准确得到，只能得到的近似函数，即

我们就可以用代替去计算，得到初值问题

的解，那么能否代替呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.
定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域上，和都连续，而且关于变量满足李普希兹条件， 若初值问题

在上有解，则对任意给定的正数，存在，只要满足

则初值问题（2.2）的解在上存在，且有
.
证明 由解的存在唯一性定理知，初值问题

的解存在，设其存在区间为，且有

而初值问题

的解也存在，且可以表示为

则

从而有

由贝尔曼引理，得

取，则
.
且解在上存在.
例1 考虑方程

解的情况.
解 显然是方程的解，当时，有

这时解得上半平面的通解为，下半平面的通解为.
可以看到，对于轴上的初值，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在上，无论，如何接近，只要充分大，过的积分曲线就不能与过的积分曲线（即）任意接近了.
这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.
我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解对初值的偏导数是否存在.下面给出解对初值的可微性定理.
定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数以及在区域内连续，则初值问题

的解在它有定义的区间上有连续偏导数.并且有

及

习 题 2.3
1.若函数，在区域内连续且满足李普希兹条件，设初值问题

的解为，存在区间为.对任意的正数，存在，使对于满足

的，以及满足

的任意，初值问题

的解也在区间上存在，且有

2.已知方程

试求
和
3.设是初值问题

的解，试证明

2.4 欧拉折线法
在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题

在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.
假定函数在区域：上连续，且关于变量满足李普希兹条件，求柯西初值问题在区间上的近似解，我们采用的方法是：
（1）等分区间，分点为；小区间长度，
（2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：，
（3）求出所对应的纵坐标，
（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线.
这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是.
例1试用欧拉折线法，取步长，求初值问题

的解在时的近似值.
解 令，，这时，
代入得：，，这时，
代入得：，，
这时，
代入得：，，
这时，
代入得：
习 题 2.4
1. 试用欧拉折线法，取步长，求初值问题

的解在时的近似值.
2．试用欧拉折线法，取步长，求初值问题

在区间上的近似解.
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