高中数学十字交叉相乘法.doc

高中十字交叉法
十字交叉
一、适用范围：
  “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。
  例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（  ）
  A.25.0%  B.27.6%   C.72.4%    D.75.0%
C2H4  28

O2  32

29

3

1
解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。
即：n(C2H4)  
     n(O2)                   

 =3∶1

这样，乙烯的质量分数是： 
ω（C2H4）= ×100 ％=72.4%
             答案：C  。       （解毕）                         
二、十字交叉法的解法探讨：
1.十字交叉法的依据：
对一个二元混合体系，可建立一个特性方程：       ax+b(1－x)=c
(a、b、c为常数，分别表示A组分、B组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol的摩尔质量、单位为g/g的质量分数等) ；x为组分A在混合体系中某化学量的百分数（下同）。
如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax－bx=c－b 
解之，得：
即：
2.十字交叉法的常见形式：
 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：
组分1   a               c－b
混合物                                         
组分2   b              a －c

C

 c

x(组分1)

c－b

1－x (组分2)

a－c

=

3.解法关健和难点所在：
十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a、b、c不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。
  关于上述a、b、c这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。设计这些平均量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下尽可能的将待求量设计为上述化学量2（分数中的分母） ，至于化学量1则依题给条件选取最容易获得的化学量(分数中的分子)，这样上述第1论点中的a、b、c应该是分别这样的一些化学平均量（如下图）：
=

=

=

而这些化学平均量a、b、c交叉相减后所得差值之比，则是组分1和组分2的化学平均量的量纲中化学量2 [如a、b、c为摩尔质量（g/mol）时，便是物质的量 mol]的比值。
例2：把CaCO3和MgCO3组成的混合物充分加热到质量不再减少时，称得残留物的质量是原混合物质量的一半。则残留物中钙和镁两元素原子的物质的量之比是
  A.1:4      B.1:3      C.1:1      D.1:2
解析：上述问题是计算两组分混合物中某两个化学量之比，可用十字交叉法解题。解题时先设计混合物的平均化学量c，该题中要求钙和镁两元素原子的物质的量之比（即原子个数比），而平均量中分母（即上述化学量y(组分2)）与题给条件相差甚远，故以一摩尔组分质量为分母，一摩尔物质分解后残留物质量为分子而得如下的几个平均量：
 a=56g÷100g ;    b=40g÷84g;      c=1/2       
应用于十字交叉法：
m(CaCO3)

m(MgCO3)

=

1/42
3/50

组分CaCO3 56/100            1/42
混合物                                 
组分MgCO3  40/84           3/50

1/2
                                                             即：

所以，原混合物中两组分CaCO3和MgCO3物质的量之比（即残留物中Ca和Mg的物质的量之比为：n(Ca)∶n(Mg)
=(1/42)g÷100g/mol∶(3/50) g÷84 g/mol
=1∶3      
答案：B      （解毕）
  注：熟练后或在要表达的计算题中可略去上图，而只以比例式表示，为防止出错，也可在草稿中画上述十字交叉图。
三、十字交叉法的应用与例析：
1.两组分混合物中已知组分及混合体系的摩尔质量（或式量）,求组分的物质的量之比（或组分气体的体积比、组分物质的微粒数之比）：
 解答这类问题，需设计的平均化学量a、b、c就直接用摩尔质量（g /mol）。而用十字交叉法交叉相减后所得差值之比是组分的物质的量之比（或微粒数之比），或依阿伏加德罗定律，也等于（相同状态下）气态混合体系中组分气体的体积比。      
例3.硼的平均相对原子质量为10.8，硼在自然界中有种同位素： B 与 B，则这两种同位素 B、 B在自然界中的原子个数比为  
  A. 1∶2         B.1∶4     C.1∶6     D.1∶8
解析：相对原子质量与原子的摩尔质量数值上相等，故元素或原子的相对原子质量可看做十字交叉法中的平均化学量，量纲为g•mol－1,交叉相减后所得差值之比为两同位素的物质的量（即原子数）之比。
B  10         0.2   
B  11         0.8            

 == =

10.8

答案：B   解毕）
2.两种溶液（同溶质）相混合，已知两溶液及混合溶液中溶质的质量分数，求两溶液的质量比：
例4.将密度为1.84g•cm－3，质量分数为98％的浓硫酸与水配制成30％的稀溶液，应怎么配制？
解析：要配制这种硫酸，必须先求出浓硫酸与水的比例。因为溶液中溶质的质量分数为溶质质量占溶液质量的分数，所以质量分数实际上也是一种平均化学量，可用于十字交叉法求出浓硫酸和水的质量比。这样，上述平均化学量a、b、c中的化学量2最好就设计为溶液质量，而化学量1取最方便的就是溶质质量，即平均化学量a、b、c就是溶液中溶质的质量分数，应用于十字交叉法（图略），记为：
 m(浓硫酸)∶m(水)=（30％－0）∶(98%－30%)=15∶34
即取15份质量的浓硫酸与34份质量的水混合得此稀硫酸。 
（解毕）
3.两可燃物组成的混合体系，已知其组分及混合物的燃烧热，求组分的物质的量之比或百分含量。
例5.在一定条件下，CO和CH4燃烧的热化学方程式分别为：
2CO(气)+O2(气)=2CO2(气)+566KJ；
CH4(气)+2O2(气)=CO2(气)+2H2O(液)+890KJ
现有CO和CH4组成的气体混合物89.6L(标准状态下测定)，在上述条件下燃烧，释放的热量为2953KJ，则CO和CH4的体积比为（   ）
A. 1∶3    B. 3∶1      C.1∶2     D.2∶1
解析：可燃物的反应热以摩尔反应热来表示时，单位是：KJ/mol，因此也可以看做是一个平均化学量，两可燃组分及混合物的反应热可当做十字交叉法基本形式中的a、b、c进行十字交叉，交叉相减后所得差值之比即为两可燃组分的物质的量之 比。解题时设计并先求算气体混合物的反应热：
混合气体的物质的量：n=89.6L÷22.4L•mol－1=4.00mol
∴混合气体的平均反应热： Q（混合物）=2953KJ÷4.00mol=738.3KJ•mol－1
双两组分的反应热分别为：Q(CO)=566KJ÷2mol=283KJ•mo－1；Q(CH4)=890KJ•mol－1
这样，十字交叉法就记为：n(CO)∶n(CH4)  
=(890－738.3)∶(738.3－283)≈1∶3
 答案：B。           (解毕)
4.其它有关物质组成、变化关系的两组分混合体系，依题意，设计适当的平均化学量，也可用十字交叉法求算两组分的某个化学量的比值或百分含量。
例6.在一定条件下，将25 gCO2和CO的混合气体通过灼热的碳粉，使之充分反应，测知所得气体在标准状态下的体积为22.4 L，则在相同状态下原混合气体中CO2和CO的体积比为
 A.1∶4       B.1∶3        C.1∶2        D.2∶1           
CO2+C===== 2CO

高温
解析：本题所求为两组分混合气体中组分气体的体积之比（按阿伏加德罗定律，即为两组分气体的物质的量之比），依               ，CO不与C反应。又从反应后的气体体积22.4 L(标态)，是1 mol纯净CO，总质量为28 g，即上述反应中气体质量增加了28g－25g=3g，应用差量法可求得原混合气体的物质的量为：
1mol－3 g÷12 g/mol=0.75mol

CO2  44

CO  28

33.3

5.3

10.7

=

1

2
即原混合气体的摩尔质量是：25g÷0.75mol=33.3g/mol,将两组分及混合气体的摩尔质量应用于十字交叉法（如下图）：

∴原混合气体中CO2与CO的体积比为：n(CO2)∶n(CO)=1∶2
答案：C。        （解毕）
值得注意的是，有时因题给条件的限制，无法将待求量设计为平均化学量的分母（即化学量2），此时就应以与已知量有关又容易换算为待求量的其它化学量做为平均量中的化学量2
从上述几例中可看出，十字交叉法应用于处理两组分（或相当于两组分）的混合物的组成计算十分方便，如果在应用中能注意平均量的设计和判断交叉相减后的差值之比，则十字交叉法应用于化学计算中不仅方便快捷、同时还能提高答案的准确率，更能训练学生思维的敏捷性，在教学中应注意引导学生逐步掌握十字交叉法。