平均变化率.doc

高二数学选修2-2 第1章 导数及其应用 编制人：袁春仙 审核人：陈旭娟
1.1.1 平均变化率
一、教学目标：
1.通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；
2.掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；
3.理解函数的平均变化率的含义；
4.使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法， 鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。
二、教学重点：通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义
三、教学难点：平均变化率的理解与转化
四、教学过程
（一）问题情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
（理解图中A、B、C点的坐标的含义）
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
0
C (34, 33.4)
T (℃)
2

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问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）
问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
（二）学生活动
1、曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。
2、由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？
3、在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
(三)建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率。
3.平均变化率量化的是一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”
说明：(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”.或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”;
(2)平均变化率的几何意义-----函数图象上两点的割线的斜率;
(3)习惯上,令,则在之间的平均变化率为
(其中
思考：平均变化率能否为负值？
（四）例题分析
例1. 某婴儿从出生到第12个的体重变化如下图所示,试分别计算从出生到第3个
月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11

（例1图） （例2图）

例2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后容器甲中水的体积(单位:立方厘米),计算第一个10s内V的平均变化率.

例3. 已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001].

例4．已知自由落体运动的方程为.求(1)落体在这段时间内的平均速度;(2)落体在t=10s到t=10.1s这段时间内的平均速度.

例5.已知函数,,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上及的平均变化率.

思考题:你从例5中发现一次函数在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?

（五）课堂练习 书P7中1-4
（六）回顾反思
1、平均变化率 ：一般的，函数在区间[x1，x2]上的平均变化率
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

平均变化率作业
1.一物体的运动方程是,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为
2.已知曲线和这条曲线上的一点,Q是曲线上点P附近的一点,则点Q的坐标是
3. 一物体运动方程是,则从这段时间内位移增量为
4.已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点,则=
5.质点运动规律,则在时间中,相应的平均速度等于=
6.函数在之间的平均变化率为,在之间的平均变
化率为,则下列关系成立的有
① ② ③ ④
7.函数在2到之间的平均变化率为____________.
8.质点运动规律,则在时间中,质点运动距离对时间的变化率
为_____________.
9.函数在之间的平均变化率是_______________.
10.甲乙两人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如上
图1,2试问:(1)甲乙两人哪一个跑的快_________
(2)甲乙两人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快_________
甲
t
S
S
t
乙
乙
甲

图1 图2
11.过曲线上两点P(1,1)和Q作曲线的割线,求出当
是割线的斜率.

12.求函数,哪一点附近平均变化率最大?

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