《2.4.1-2.4.2-平面向量的坐标表示》导学案1.doc

2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示导学案1课程学习目标1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.3.理解相等向量的含义及向量的一些概念.4.理解零向量的特点.课程导学建议重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点:理解平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶，但突遇“热带风暴”，使得它的航向发生了偏移，没有按照规定的航向行驶，虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么？知识导学问题1:向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:在数学中，把既有大小又有方向的量叫作向量.如:力、速度、加速度、位移等.数量与向量的区别:数量只有大小没有方向，是一个代数量，能比较大小、进行代数运算；向量有方向、大小的双重性，不能比较大小，向量的大小是一个数量(正数或0)，可以比较大小.向量与有向线段的区别:有向线段是具有方向的线段，有向线段AB记作:，起点一定写在终点的前面；线段AB的长度也叫作有向线段的长度；有向线段的三要素:起点、方向、长度；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关；向量可以用有向线段来表示.问题2:向量的表示方法:几何表示法:用有向线段表示，即用表示向量的有向线段的起点与终点字母来表示，如图，以A为起点，B为终点的向量表示为向量；字母表示法:向量可以用小写字母来表示，书写时用，等表示(印刷时用黑体字a、b、c表示)，如图，向量可表示为a.问题3:向量的有关概念:(1)向量的模:向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(2)零向量与单位向量:长度为零的向量叫作零向量，记作0.(3)长度等于1个单位的向量叫作单位向量.(4)平行向量:方向相同或相反的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量)；规定向量0与任一向量平行.(5)相等向量与相反向量:大小相同，方向相同的两个向量是相等向量；大小相同，方向相反的两个向量互为相反向量.问题4:平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:平行向量(共线向量)不是几何图形，没有几何位置关系，表示两个非零平行向量的有向线段可以平行，也可以在同一条直线上；平行线段和共线线段是几何图形，有位置关系，两条平行线段所在的直线一定平行，不会共线，反过来，两条共线线段一定在同一条直线上，不会平行.知识链接数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础，如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此，把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动.因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来了方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.基础学习交流1.给出下列物理量:质量；速度；力；位移；路程；密度；功.其中是向量的有().A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】判断一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功有大小而没有方向，所以不是向量.【答案】B2.已知a，b为两个单位向量，下列结论正确的是().A.a=bB.a=b或a=-bC.若ab，则a=bD.|a|=|b|【解析】单位向量的模为1，但方向不确定.【答案】D3.下列命题中，正确的序号是.平行向量的方向相同；不相等的向量一定不平行；零向量只能与零向量相等；若两个向量在同一条直线上，则这两个向量一定共线；两个非零向量相等，当且仅当它们的模相等且方向相同；单位向量都相等.【解析】根据平行向量的定义，它们的方向可以相反，故不正确；由于模不相等的向量，它们也可以共线，故不正确；由于零向量只能与零向量相等，故正确；由共线向量的定义知，当两个向量在同一条直线上时，这两个向量不论方向如何，它们一定共线，故正确，但是应注意当两个向量共线时，它们却不一定在同一条直线上；由两向量相等的定义知，正确；虽然单位向量的模都相等，但它们的方向可以不相同，因此不正确.【答案】4.一辆货车从A点出发向东行驶了150 km到达B点，然后又改变方向向北偏东30走了300 km到达C点，最后又改变方向，向西行驶了150 km到达D点.(1)作出向量，；(2)求|.【解析】(1)，如图.(2)由图可知和方向相反，故与共线.又|=|=150 km，所以AB􀱀CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故|=|=300 km.第二层级：思维探索与创新重难点探究探究一与向量相关的概念关于向量有下列说法: 方向相同或相反的非零向量是平行向量；长度相等且方向相同的向量叫相等的向量；有公共起点的向量叫共线向量；零向量与任一向量共线；若|a|=|b|，则a=b或a=-b.其中正确说法的序号是.【方法指导】可根据共线向量或平行向量、相等向量的定义和零向量的特点来判断.【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量，所以正确，不正确；长度相等且方向相同的向量叫相等的向量，故正确；规定零向量与任一向量平行，故正确；混淆了两个向量的模相等和两个实数相等的概念，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向相同或相反.【答案】【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质，从概念去分析判断，并注意它们的区别.规定:零向量与零向量相等，零向量与任何向量共线.探究二相等向量与共线向量如图，四边形ABCD是正方形，BCE为等腰直角三角形.(1)找出图中与共线的向量； (2)找出图中与相等的向量；(3)找出图中与|相等的向量；(4)找出图中与相等的向量.【方法指导】两个向量相等满足模相等且方向相同，而两个向量共线则要求两个向量所在的直线平行或重合，对于它们的方向和模的大小没有要求.【解析】(1)与共线的向量有、.(2)与相等的向量有、；(3)与|相等的向量有、.(4)与相等的向量是.【小结】非零向量共线或平行，有四种情形:(1)两个向量方向相同且模相等；(2)两个向量方向相反且模相等；(3)两个向量方向相同且模不相等；(4)两个向量方向相反且模不相等.注意向量共线与相等的区别.探究三向量概念的实际应用已知飞机从甲地向北偏东30的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地向南偏东30的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地向西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？【方法指导】用向量解决实际问题，可使问题简单化.【解析】如图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，AC=2000 km.又ACD=45，CD=1000，ACD为直角三角形，即AD=1000 km，CAD=45.所以丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 km.【小结】解决实际问题的关键是建立数学模型，将实际问题“数学化”.思维拓展应用应用一下列说法中正确的是.若|a|b|，则ab；共线向量一定相等；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；若|a|=0，则a=0；与非零向量a共线的单位向量是.【解析】由于向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故不正确；由于共线向量方向相同或相反(模不一定相等)，故不正确；由于向量与起点位置无关，故正确；忽略了0与0的区别，由|a|=0，知a是零向量，即a=0，但a0，故不正确；因为与任一非零向量，共线的单位向量有两个，一个与a方向相同，一个与a方向相反，所以不正确.【答案】应用二如图，四边形ABCD中，=，N、M分别是AD、BC上的点，且=.求证:=.【方法指导】非零向量平行(共线)包括两种情况:一种是方向相同，另一种是方向相反.【解析】=，|=|，且ABCD.四边形ABCD是平行四边形.|=|，且DACB.又与的方向相同，=.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，=.|=|，|=|，|=|，且DNMB.又与的方向相同，=.【小结】证明向量相等要抓住向量的模相等且方向相同，从而证明四边形为平行四边形只要证明两个向量相等即可.应用三已知两个力F1，F2的方向互相垂直，且它们的合力F的大小为10 N，其与力F1的夹角是60，求力F1，F2的大小.【解析】设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，因为F1与F2垂直，所以平行四边形OACB是矩形，所以|=|cos 60=5，|=|sin 60=5，因此，力F1和F2的大小分别为5 N和5 N.第三层级：技能应用与拓展基础智能检测1.设O为等边三角形ABC的中心，则向量，是().A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等的向量【解析】由正三角形的性质可知，的长度相等.【答案】C2.下列各命题中，正确的是().A.若|a|=|b|，则a=bB.若|a|=|b|，|b|=|c|，则a=cC.若|a|=|b|，则ab或a-bD.若a=b，b=c，则a=c【解析】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向却不一定相同，故A、B不正确；向量不能比较大小，故C不正确；向量相等可以传递.【答案】D3.下列说法正确的是.相等的向量，若起点不同，则终点一定不同与非零向量共线的单位向量有两个不相等的向量一定不平行【解析】认为错误是考虑到零向量，对于零向量，虽然起点和终点重合，但当起点不同时，终点也是不同的；认为错误是误以为与非零向量a共线的单位向量只有，而把与方向相反的向量漏掉了，两个向量只要方向相同或相反就是平行向量，故不正确.【答案】4.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)模与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？(3)请写出与共线的向量有哪些？【解析】(1)因为在正六边形中，各条边长与中心O到各顶点的距离都相等，所以模与的模相等的向量有23个.(2)存在，如、等.(3)与共线的向量有、和、.全新视角拓展(2013年四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=，则=.【解析】+=2，=2.【答案】2第四层级：总结评价与反思思维导图构建学习体验分享固学案基础达标检测1.下列各量中不是向量的是().A.体积B.风速C.浮力D.加速度【解析】体积只有大小没有方向.【答案】A2.下列说法正确的是().A.若ab，bc，则acB.终点相同的两个向量不平行C.若=，则四边形ABCD是平行四边形D.单位向量的长度为单位1【解析】对A，当b=0时，a与c可以不平行，单位向量的模或长度为单位1.【答案】D3.已知a，b是两个非零向量，且a与b共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定.【解析】当a，b是两个非零向量时，若ab，ac，则bc.【答案】共线4.在直角坐标系中，画出下面的向量:|a|=4，a的方向与x轴正方向的夹角是30，与y轴正方向的夹角是120；|b|=4，b的方向与x轴正方向的夹角是110，与y轴正方向的夹角是20.【解析】根据与x轴正方向的夹角可以得到两个向量，再根据与y轴正方向的夹角可以将向量确定下来.a，b如图所示.基础技能检测5.如图，在菱形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是().A.、B.、C.、D.、【解析】根据菱形的性质，有DC􀱀AB，又与的方向相同，故=.【答案】B6.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，an，则这n个向量().A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等【解析】正n边形各边长相等，可知D正确.【答案】D7.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是.【解析】共线向量的特点是方向相同或相反，所以把平行于某一直线的一切向量归结到相同的始点时，则终点落在同一条直线上；单位向量的长度为1，方向只有两个，所以终点会构成两个点.【答案】一条直线两个点8.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.试求:(1)与向量相等的向量；(2)与向量共线的向量.【解析】(1)在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中，有=，=，所以与相等的向量有，.(2)由图形易得，与共线的向量有，.技能拓展训练9.已知在四边形ABCD中，=，且|=|，则四边形ABCD的形状是.【解析】=，所以AB与DC平行，且ABDC，又因为|=|，所以此四边形为等腰梯形.【答案】等腰梯形10.(选做)设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证:= .【解析】如图，连接AC，在ABC中，K，L分别是AB，BC的中点，KL􀱀AC.同理NM􀱀AC，NM􀱀KL.由图可知，二者方向相同，=.