《2.4.1-2.4.2-平面向量的坐标表示》导学案1.doc

《2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示》导学案1

课程学习目标

1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.
3.理解相等向量的含义及向量的一些概念.
4.理解零向量的特点.
课程导学建议

重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
难点:理解平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶，但突遇“热带风暴”，使得它的航向发生了偏移，没有按照规定的航向行驶，虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么？
知识导学

问题1:向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:
①在数学中，把既有大小又有方向的量叫作　向量　.如:　力、速度、加速度、位移　等. 
②数量与向量的区别:　数量　只有大小没有方向，是一个代数量，　能　比较大小、进行　代数　运算；　向量　有方向、大小的双重性，　不能　比较大小，向量的大小是一个数量(正数或0)，可以比较大小. 
③向量与有向线段的区别:有向线段是具有　方向　的线段，有向线段AB记作: 　，起点一定写在终点的前面；　线段AB　的长度也叫作　有向线段 的长度；有向线段的三要素:　起点　、　方向　、　长度　； 
向量只有　大小　和方向两个要素，与　起点　无关；向量可以用有向线段来表示. 
问题2:向量的表示方法:

①几何表示法:用　有向线段　表示，即用表示向量的有向线段的　起点与终点字母　来表示，如图，以A为起点，B为终点的向量表示为向量； 
②字母表示法:向量可以用小写字母来表示，书写时用，，等表示(印刷时用黑体字a、b、c表示)，如图，向量可表示为a.
问题3:向量的有关概念:
(1)向量的模:向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作　||　，向量不能比较大小，但向量的　模　可以比较大小. 
(2)零向量与单位向量:长度为零的向量叫作零向量，记作0.
(3)长度等于　1个单位　的向量叫作单位向量. 
(4)平行向量:①方向　相同或相反　的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量)；②规定向量0与任一向量平行. 
(5)相等向量与相反向量:　大小相同，方向相同　的两个向量是相等向量；　大小相同，方向相反　的两个向量互为相反向量. 
问题4:平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:
平行向量(共线向量)不是几何图形，没有几何位置关系，表示两个非零平行向量的有向线段可以　平行　，也可以在　同一条直线上　；平行线段和共线线段是几何图形，有位置关系，两条平行线段所在的直线一定　平行　，不会共线，反过来，两条共线线段一定在　同一条直线上　，不会平行. 
知识链接

数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础，如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此，把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动.因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来了方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.
基础学习交流

1.给出下列物理量:①质量；②速度；③力；④位移；⑤路程；⑥密度；⑦功.
其中是向量的有(　　).
A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个
【解析】判断一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功有大小而没有方向，所以不是向量.
【答案】B

2.已知a，b为两个单位向量，下列结论正确的是(　　).
A.a=b B.a=b或a=-b
C.若a∥b，则a=b D.|a|=|b|
【解析】单位向量的模为1，但方向不确定.
【答案】D
3.下列命题中，正确的序号是　　　　. 
①平行向量的方向相同；②不相等的向量一定不平行；③零向量只能与零向量相等；④若两个向量在同一条直线上，则这两个向量一定共线；⑤两个非零向量相等，当且仅当它们的模相等且方向相同；⑥单位向量都相等.
【解析】根据平行向量的定义，它们的方向可以相反，故①不正确；由于模不相等的向量，它们也可以共线，故②不正确；由于零向量只能与零向量相等，故③正确；由共线向量的定义知，当两个向量在同一条直线上时，这两个向量不论方向如何，它们一定共线，故④正确，但是应注意当两个向量共线时，它们却不一定在同一条直线上；由两向量相等的定义知，⑤正确；虽然单位向量的模都相等，但它们的方向可以不相同，因此⑥不正确.
【答案】③④⑤
4.一辆货车从A点出发向东行驶了150 km到达B点，然后又改变方向向北偏东30°走了300 km到达C点，最后又改变方向，向西行驶了150 km到达D点.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【解析】(1)，，如图.

(2)由图可知和方向相反，故与共线.
又||=||=150 km，
所以AB􀱀CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故||=||=300 km.

第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
与向量相关的概念
关于向量有下列说法:
①方向相同或相反的非零向量是平行向量；
②长度相等且方向相同的向量叫相等的向量；
③有公共起点的向量叫共线向量；
④零向量与任一向量共线；
⑤若|a|=|b|，则a=b或a=-b.
其中正确说法的序号是　　　　. 
【方法指导】可根据共线向量或平行向量、相等向量的定义和零向量的特点来判断.
【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量，所以①正确，③不正确；长度相等且方向相同的向量叫相等的向量，故②正确；规定零向量与任一向量平行，故④正确；⑤混淆了两个向量的模相等和两个实数相等的概念，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向相同或相反.
【答案】①②④
【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质，从概念去分析判断，并注意它们的区别.规定:零向量与零向量相等，零向量与任何向量共线.
探究二

相等向量与共线向量

如图，四边形ABCD是正方形，△BCE为等腰直角三角形.
(1)找出图中与共线的向量；
(2)找出图中与相等的向量；
(3)找出图中与||相等的向量；
(4)找出图中与相等的向量.
【方法指导】两个向量相等满足模相等且方向相同，而两个向量共线则要求两个向量所在的直线平行或重合，对于它们的方向和模的大小没有要求.
【解析】(1)与共线的向量有、、、、、、.
(2)与相等的向量有、；
(3)与||相等的向量有、、、、、、、、.
(4)与相等的向量是.
【小结】非零向量共线或平行，有四种情形:(1)两个向量方向相同且模相等；(2)两个向量方向相反且模相等；(3)两个向量方向相同且模不相等；(4)两个向量方向相反且模不相等.注意向量共线与相等的区别.
探究三

向量概念的实际应用
已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地向南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地向西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【方法指导】用向量解决实际问题，可使问题简单化.
【解析】如图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，

∴AC=2000 km.
又∵∠ACD=45°，CD=1000，
∴△ACD为直角三角形，
即AD=1000 km，∠CAD=45°.
所以丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 km.
【小结】解决实际问题的关键是建立数学模型，将实际问题“数学化”.
思维拓展应用
应用一
下列说法中正确的是　　　　. 
①若|a|>|b|，则a>b；
②共线向量一定相等；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④若|a|=0，则a=0；
⑤与非零向量a共线的单位向量是.
【解析】由于向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故①不正确；由于共线向量方向相同或相反(模不一定相等)，故②不正确；由于向量与起点位置无关，故③正确；忽略了0与0的区别，由|a|=0，知a是零向量，即a=0，但a≠0，故④不正确；因为与任一非零向量，共线的单位向量有两个，一个与a方向相同，一个与a方向相反，所以⑤不正确.
【答案】③
应用二

如图，四边形ABCD中，=，N、M分别是AD、BC上的点，且=.求证:=.
【方法指导】非零向量平行(共线)包括两种情况:一种是方向相同，另一种是方向相反.
【解析】∵=，∴||=||，且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴||=||，且DA∥CB.

又∵与的方向相同，
∴=.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴=.
∵||=||，||=||，

　　∴||=||，且DN∥MB.
又∵与的方向相同，∴=.
【小结】证明向量相等要抓住向量的模相等且方向相同，从而证明四边形为平行四边形只要证明两个向量相等即可.
应用三
已知两个力F1，F2的方向互相垂直，且它们的合力F的大小为10 N，其与力F1的夹角是60°，求力F1，F2的大小.
【解析】设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，因为F1与F2垂直，所以平行四边形OACB是矩形，所以||=||cos 60°=5，||=||sin 60°=5，
因此，力F1和F2的大小分别为5 N和5 N.

第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.设O为等边三角形ABC的中心，则向量，，是(　　).
A.有相同起点的向量　　B.平行向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
【解析】由正三角形的性质可知，，的长度相等.
【答案】C
2.下列各命题中，正确的是(　　).
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若|a|=|b|，|b|=|c|，则a=c
C.若|a|=|b|，则a>b或a<-b
D.若a=b，b=c，则a=c
【解析】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向却不一定相同，故A、B不正确；向量不能比较大小，故C不正确；向量相等可以传递.
【答案】D
3.下列说法正确的是　　　　. 
①相等的向量，若起点不同，则终点一定不同
②与非零向量共线的单位向量有两个
③不相等的向量一定不平行
【解析】认为①错误是考虑到零向量，对于零向量，虽然起点和终点重合，但当起点不同时，终点也是不同的；认为②错误是误以为与非零向量a共线的单位向量只有，而把与方向相反的向量漏掉了，两个向量只要方向相同或相反就是平行向量，故③不正确.
【答案】①②
4.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)模与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？
(3)请写出与共线的向量有哪些？
　　【解析】(1)因为在正六边形中，各条边长与中心O到各顶点的距离都相等，所以模与的模相等的向量有23个.
(2)存在，如、等.
(3)与共线的向量有、、、、、和、、.
全新视角拓展

(2013年·四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　　　　. 

【解析】∵+==2，∴λ=2.
【答案】2

第四层级：总结评价与反思
思维导图构建

学习体验分享

固学案
基础达标检测
1.下列各量中不是向量的是(　　).
A.体积　　　B.风速　　　C.浮力　　　D.加速度
【解析】体积只有大小没有方向.
【答案】A
2.下列说法正确的是(　　).
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.终点相同的两个向量不平行
C.若=，则四边形ABCD是平行四边形
D.单位向量的长度为单位1
【解析】对A，当b=0时，a与c可以不平行，单位向量的模或长度为单位1.
【答案】D
3.已知a，b是两个非零向量，且a与b共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定　　　　. 
【解析】当a，b是两个非零向量时，若a∥b，a∥c，则b∥c.
【答案】共线
4.在直角坐标系中，画出下面的向量:
|a|=4，a的方向与x轴正方向的夹角是30°，与y轴正方向的夹角是120°；|b|=4，b的方向与x轴正方向的夹角是110°，与y轴正方向的夹角是20°.
【解析】根据与x轴正方向的夹角可以得到两个向量，再根据与y轴正方向的夹角可以将向量确定下来.
a，b如图所示.

基础技能检测

5.如图，在菱形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是(　　).
A.、　　　　　B.、
C.、 D.、
【解析】根据菱形的性质，有DC􀱀AB，又与的方向相同，故=.
【答案】B
6.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　).
A.都相等　B.都共线　C.都不共线　D.模都相等
【解析】正n边形各边长相等，可知D正确.
【答案】D
7.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是　　　　；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是　　　　. 
【解析】共线向量的特点是方向相同或相反，所以把平行于某一直线的一切向量归结到相同的始点时，则终点落在同一条直线上；单位向量的长度为1，方向只有两个，所以终点会构成两个点.
【答案】一条直线　两个点

8.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.试求:
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量共线的向量.
【解析】(1)在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中，有=，=，所以与相等的向量有，.

　　(2)由图形易得，与共线的向量有，，，，，，.
技能拓展训练

9.已知在四边形ABCD中，=，且||=||，
则四边形ABCD的形状是　　　　. 
【解析】=，所以AB与DC平行，且AB≠DC，又因为||=||，所以此四边形为等腰梯形.
【答案】等腰梯形
10.(选做)设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证:= .

【解析】如图，连接AC，在△ABC中，
∵K，L分别是AB，BC的中点，
∴KL􀱀AC.
同理NM􀱀AC，
∴NM􀱀KL.
由图可知，二者方向相同，
∴=.