信号与系统课后题解 第四章 续时间信号与系统的复频域分析.pdf

第四章连续时间信号与系统的复频域分析4 1学习重点1、拉普拉斯变换的定义式，收敛域，能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号 的拉普拉斯变换。2、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质（特别是时移性、频移性、时域微分、频域微 分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质）及其应用。3、能应用部分分式法展开法、留数法，求解拉普拉斯反变换。4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析，分析电路、域元件模型，能求解 线性时不变系统的响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应，以及冲激响应 和阶跃响应。5、深刻理解复频域系统函数（s）的定义、物理意义及其与系统特性的关系，并能熟 练应用于连续时间信号的复频域分析。6、系统的复频域方框图表示与模拟。7、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系，会画零、极点图，会根据零、极点 图求系统函数H（s）。8、系统稳定性及其判断方法。9、用MATLAB进行连续时间信号与系统的复频域分析4 2教材习题同步解析4.1 求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。(1)eats(ta 0204(3)eats(ta0(4)ea,aQ(4)(6)S(r-T)(7)e-8(r)+e-2r(r)(8)cos(co0r+(p)s(O【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法。【逻辑推理】单边拉普拉斯变换定义：/($)=/(戊一力。若满足。使得Bm/(加一8=0,则/(戊5在。0的全部范围内收敛。t8解：(1)方(s)=(e,)=Ce-ate-stdt=Ce-a+s)tdt=-Jo Jo s+alim eateot=lim J+。=0 078 t，8即收敛域为。=-a o(2)b(s)二乙|-()二 Qe-ate-stdt=Ce-a+s)tdt=J8 J-OO S+lim-eatL=lim =0 a-o 8即收敛域为o Q,Oo=a。(3)F(s)=Leats)=eate-stdt=1e力=-lim eateGt=lim 小=0 a-o Q,Oo=a。(4)尸(s)=”(/)=J eat estdt+eatestdt=s)Z+Ja+4力=_+_J一00%s a s+alim eateGt-lim/b=0 a+o -a/T8/T+8lim-lim/一。=0 a-G 0 即5 a t 7-8 t-8即收敛域为一。0t，8205即收敛域为。,。0=。(6)F(s)=L8，一T)=S(r-T)estdt-lim 8(r-T)eot=lim 0 eot=0 a -oo 方8 t+O即对。没有要求，全平面收敛。（7）/（5）=，b一论（。+6一21I。*（1+力力+*”力JOdt+e-2te-stdt1lim ef+e2t=-1-s+1 s+2+lim j2+o)=0 o+l0Mo+20t，81即收敛域为。-l,o0=-lo(8)cos(coor+(p)=coscoorcos(p-sin 30才sincp+3。/e伙)tj _ 3o以=coscp-sin q)-2 2jcos(p sincp 2 2/coscp sin(p,丁+亏*4+F(S)=LlimtToo/.coscp sin(p.L1coscp sincp2j2j、(.cos cp sm(p2-eJ(p 2JO2j1-e+2_Jo 7,一加s-；coo s+jcoocoscp sm(p 27f.、coscp sin cp2 2j J 7（戊一bcoscp sincplim me+tScoscp sin(p亏Jlim I(3。，+。)/=0?-oo22(tj+则有3/G 0即收敛域为。co0j,o0=co0j0 2064.2求图4.1所示信号的拉普拉斯变换。【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换基本性质【逻辑推理】首先分析图形，看是由哪些基本信号的图形组合，然后通过基本信号的拉普拉斯 变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换。图4.1解：(a)x(r)=E(r)-E(r-T)因“)一,，根据拉普拉斯变换时延特性，有SX(s)=-e-sTS S S(b)x(t)()+(1)2)E(3)因“)一,，根据拉普拉斯变换时延特性，有SV(_ 1 1 八一s 1 八-2s 1 八-3s _ 1 八-s-2s-3sl=I e e e=11+6 e e/s s s s s(c)x(%)=(/)-T)二/-(才-T)-T)因“)-,，石一二，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s_ 1 八-sT sTX(sJ=-e-eTs2 s Ts2,1 1(d)x(f)+1 IE()E(Z T)=(t T)E()+(z T)E(T)因“)一,，根据拉普拉斯变换时延特性，有 S S1 1 1X(s)=-H-1-eTs2 s Ts2207|y1(r-T)(r-T)因“）一,，石一 3,根据拉普拉斯变换时延特性，有 s SY(_ 2 42X(s J=-e H-z-eTs2 Ts2 Ts2旦_ 2-4e+le-sT TV(f)x(t)=sinjutb)一.兀)sin 兀/(/)c-9-s+兀*_ e-jtLsm Tits(t-7T)=L-(t 一兀)L 2j _e-(s-j7l)jl e-(s+j7l)jlS-jit s+/所以仃 1-(s-j兀)兀(s+j兀)兀X(s)=-S+兀 2 j_ s-jit s+/_ 7T 1 G+jit)es7lej712-(5-jit)e 57le2s2+n2 2j s2+7T27T .S兀(/兀2 _0一加+j兀(/兀 2+*加 2)1+兀2 2je S2+7T2 2 2兀 77tssm 兀 t+Tl COSTt t=-T-2-2-s+兀 s+兀_ 兀-es71(s sin 兀 2/+兀 Cos7T2r)s1+7T24.3图4.2所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。(1)/&)的傅里叶变换存在(2)/)屋，的傅里叶变换存在(3)f(t)=O,tO(4)f(t)=O,t 5【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收208域。图4.2解：由图4.2(a)得尸(S)-_-_ _ k _由图4.2(b)图得儿)=_一 二-2 _J_匚(s-3)(s+3)6 _s-3 s+3_由图4.2(c)图得F(s)-_&_J_八”一(s+3)(s+l)-21s+l s+3即得-.T(%)即得/。=匕”昨)即得=(1)/&)的傅里叶变换存在，对于由图4.2(a)来说，其收敛域为lim f(t)e-Gt-e-=0t8 t8 2 t8 2则由此可得 l a 0即收敛域为 a 1同理，对于图4.2(b)来说，其收敛域为：o 3对于图4.2(c)来说，其收敛域为：a-l(2)/)屋，的傅里叶变换存在，对于由图4.2(a)来说，其收敛域为lim f(t)eeF=lim 1问=lim 一/-叫=0由此可得其收敛域为：o 3同理，对于对于图4.2(b)来说，其收敛域为：O 5209对于图4.2(c)来说，其收敛域为：0C 1(3)(4)情况下，收敛域均为：8a84.4针对图4.3所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定:(1)拉氏变换式；(2)零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再求取其收域。解：(a)由如图4.3(a)所示的零极点图，可得到拉氏变换式为尸(.=s-1尸(s+3)(s+l)拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点，所以信号可能的收敛域为o 一1 或 一30一1该信号的极点位于s平面的负实轴上，所以该信号为衰减指数信号。(b)由如图4.3(b)所示的零极点图，可得到拉氏变换式为拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点，所以信号可能的收敛域为o 0该信号的极点位于S平面的虚轴上，所以该信号为等幅振荡信号。(C)由如图4.3(c)所示的零极点图，可得到拉氏变换式为(s+)尸(”l)(s+l)(s+2)拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点，所以信号可能的收敛域为o -2 或或 一20-1 或 一1。0【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义与收敛域算法。【逻辑推理】首先由收敛的条件判断拉氏变换是否存在，然后再利用拉氏变换定义式求取其拉 氏变换。解：(1)lim ts=lim-lim-0 o 0 8 jg/co即Oo=。，收敛坐标位于坐标原点，收敛轴即虚轴，收敛域为S平面的右半平面。=L/E()=J testdt-4产 2(2)lim=lim =limz-=0 o 0 7 那 一8G 2e即Oo=0,收敛坐标位于坐标原点，收敛轴即虚轴，收敛域为S平面的右半平面。F(s)=产(r)=产”力=2_(3)lim te-2ts(r)e-oz=lim=lim-L-0 o+20e(o+一(o+2。+*一即 o 2,o 0 二 2%)=Le(r)=r te-2te-stdt=J0(5+2)(4)lim=lim J-,=0t8 t8满足上式的。值不存在，所以该信号的拉普拉斯变换不存在。(5)lim jG)e=lim J二0 t8满足上式的。值不存在，所以该信号的拉普拉斯变换不存在。211(6)lim=lim 丁七。/,+limt0 t8 t+8=lim J。+lim e(9=0 o+lOfil-o 0满足上式的。值不存在，所以该信号的拉普拉斯变换不存在。4.6 利用拉普拉斯变换的性质，求下列信号的拉氏变换，并画出零极点图。(1)(1+1)(1)(4)t2eatS(r)(7)sin core(r-x)(10)卜in).(%)(13)sin 兀 Wr(2)-T)(5)smwE(r)-(r-1)(8)sinco(r-T)E(r)(11)teat cosco/(r)(14)sinTUY/x 仇Jo Joi2(16)小(1。)sin(cor+6)8(r)(17)7 sin 兀/(.)dt(19)(r+l)e-r(r)(6)sin cor cos cor(r)(9)sin2/、sin at(、(12)-(。t(15)eat sin co/(r)dtz、d2sin兀1/、(18)42 一dtT sinT6?T(20)eat f-je(r)【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换性质以及零极点图画法。【逻辑推理】首先分析每一个信号，看是由哪些基本信号的图形组合，然后通过基本信号的拉 普拉斯变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换。解：(1)(t+1)E(1)=(1)E(1)+2(1)因为 一二 一一S S1 9 1(1 A 2v+l由时移特性可得：F(s)=e-s+-e-s=-e-s 2+=一，S S S 1sls其零极点图如图4.4(a)所示。(2)设 f0(r)(r-T)=(t-T)E(r-T)+T(r-T)因为 tS(t)(%)一一S S1 T 1(T c+1由时移特性可得：与(s)=f”氏+”式=T+-=s s S 1sls212由频移特性可得：招飞(/Y)二人一尸(S+1)=(S+1)其零极点图如图4.4(b)所示。(3)设 f0(r)=(r+l)(r)=/E(r)+(r)因为 名()二(%)S S由时移特性可得：4(S)=二+LS S Ss+2由频移特性可得：。+1)6一(二%(0/C 4(5+1)=:b(s+1)其零极点图如图4.4(c)所示。(4)因为/(/)一:酒 即得=S S S2由频移特性可得：S&)-(s+)其零极点图如图4.4(d)所示。(5)因为s加兀(2()-E(t-1)=simtts(r)-simug=sirntt(i)+sirtR(r-l)e(r-1)又因为sirntts(“f s+兀由拉氏变换时移性质有兀simt(r-l)(r-l)一一1-esS+7T由线性性质即得S加兀/(/)(t 1)1 2 2(1+6)L S+兀其零极点图如图4.4(e)所示。(6)因为sin3tcos3t&=gs加(23)又因为 c/23sm 2(a (/)c-z-/+(23)2由线性性质即得sin(dtcos core(/)-rV 7?+(2co)2其零极点图如图4.4(f)所示。(7)因为213sin 3花(r-T)=7(e7Cor-e-7Cor)8(r-T)2j-JCOTe-T)8(r-T)2j)又因为 e士(0 一s+a即可得，出(力一一-一 一-S-j3 S+,3由拉氏变换的时移特性得IL)什/)e-(一t e5-JCO S+j3由拉氏变换线性特性可得一m 1，4 _ _e-2 J S+J3*1sin 3花(r-T)-e2j s-j3_ 1*吩 x-c2 J 5-JCO s+j32 j s2+co2 e_ 1 sljsinx+2JCOCOCOT”=2j 6SS 山 3t+3cos3t=-02 2 匕S+3其零极点图如图4.4(g)所示。(8)因为S加 3_7)(0 一6一,砒 T)(r)2j-j&l/COT2j，2j 又因为s+a即可得，出什)一一-二预生)_S ,3 S+/3由拉氏变换线性特性可得214S加)，-J皿11其零极点图如图4.4(h)所示。_(9)因为 sin2 ts(t)=一又因为(“一由拉氏变换线性特性可得sin2 ZE(r)j 3 4j”+2/1=一1_4一 1=(_41=e 4(5)F()=In-s873 _t e H e882it+e2it)+jer(e3/+/8S2-(，)-1+3cos 2r-4 sin 2企1)则有dF(s)s(1 1-=-I=-7-ds S-1 I/J S(S-1)对上式进行拉普拉斯反变换，即得:L1dF(Sy ds根据拉普拉斯变换的微分特性，有：心）=（0”）则有.3 一3 十(6)F(s)=-”)1 1S 5-1s2-s+l_ 1_1_52(-1)5-1 S1）沏=印，S S 12。_产=(%)_ e。)对上式进行拉普拉斯反变换，即得:-小(D4.9 求下列各象函数的原函数/&）的初值与终值。222(1)/(s)-2d+3s+2 产(J 一一/F-T小2+25+4)b(s)=4:2/s+5s+4(4)Ms)=5s s 2J(5)F(5)=、(s+1)(s+2)(6)/(s)=+s s+1【知识点窍】主要考察初值定理、终值定理。【逻辑推理】若有加）-Ms）o o0且/卜）连续可导和lim/（s）存在，则S-8/（0+）=lim/（r）=lim sF（s）7。+S 8若有了）一方（s）oo0,且lim川）存在，则toof（）=lim f（t）=lim s.（s）t-8 50解：初值定理的应用条件是，尸（S）必须是真分式；终值定理应用的条件是：（1）尸（S）的极点必须在S平面的左半开平面。（2）在5=。处，尸（S）只能有一阶极点。也就是说，终值定理只有在/）有终值的情况下才能应用。例如，当/&）为周期 函数时，终值定理就不适用了。（）/+35+2-（5+1）（5+2）/(0+)=lim f G)=lim s尸(s)=lim s 7r=lim 1 5-0+八，i i(s+i)(s+2)T Y+3s+2r 2/(8)=lim/(1)=lim sb(s)=lim 15-=0?OO s0 s 0 s+3s+2(2)FG)=/+5?+5+2s+4)-s(s+l+勿)(s+l 6j)/(0+)=lim/(r)=lim s/(s)=lim-1=lim一。+S(J+2S+4)i/+2s+41+*=lim-二 1s78 2 41H-1-z-s s/(00)=110/(0二呵/(5)=叫 J 7 i ST。ST。/+2s+4 4223(3)b(s)=/+5*+4(I+)(2+4)因尸（s）在轴上有两对共轲极点，故与尸（s）对应的/（%）不存在终值。2/(0+)=lim/(O=lims尸(s)=lim s,；_=lim 4；2/一o+200-co 4+5/+4 200 4+5/+4=lim-=028 2 厂 4/+5+s（4）爪汗刀因方（S）在S平面的右半开平面上有极点5=2,且在s=0处，/（S）有二阶极点，故与尸（s）对 应的/C）不存在终值。s-sf(0+)=lim f(t)=Hm 5/(5)=lim S J-=lim，V 7-0+八i-5s2(s-2)3 28 5s(2)3(5)F(s)=-茬?-;(s+1)2(s+2)f(o+)=lim/(0=lim s尸(s)=lim二。7。s-8(S+1)2(S+2)/(oo)=lim/(r)=lim/(s)=lim s tT8 s0 s0s+3二0(s+1)2(s+2)(6)/(s)=，+一S 5+1.+)=吧/()=S8(1)I-S+1J/=lim 1+S8=2/(8)=lim/(=lim s尸(s)=lim 1+tS505-0s、S+1,lim/(sLiim s S 8二1s+14.10已知LII因果系统的系统函数H（s）及输入信号），求系统的响应血）。s+4（1）-）=未力（*则=+3s+2)224正苫)刖的入)=冷片阳”助【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应。【逻辑推理】首先求取激励的拉氏变换，然后根据系统函数的特性求出系统响应的拉氏变换,再求其拉氏反变换即得系统的响应。解：(1)当/)=)时，有b(s)=J则有1y(s)=a(s)/(s)=2s+3s 2+6s+82s+3s(s+2)(s+4)Ky K.K.=+s s+2 s+4其中a KLS%)一晶 降=(s+2)y(sL=：K3=(s+4)y(sL=o所以V，3 1 1 1YS)=一,l-8s 4s+25 18 7+4对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为，)=:之生1)一|-*(。=(3+2*2,一5*卜(0 o 4 o o(2)当/(0 二 e飞。时,有方(s)=，s+1则有y(s)=H(s).F(s)=/2s+4-,-=-;s(s+3s+2)s+1 s(s+l)(s+2)-Ku+K.+K?+星(s+ls+1 s s+2其中Kn=(s+1)2y(“I=-3225储2=；(s+l)2y(s)=-1ds L=-lK2=(sL=2K3=(s+2)y(s)L=2=T所以2H-F1+-5+11s+2对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为y(4=3 徒飞(力(。+2 r(_31/+2*2)9)(3)当加)=*2论时，有尸(s)=工s+2则有y(s)=(s).(s)=(s)=:=心+9 s+2 s+9 3 s+9对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为M，)=gsin 3re(r)(4)当外)=。时,有尸(s)二厂(5+1)2则有s+1 11Y(s)=(s)尸(s)=H(s)=1+5s+6(s+if (s+l)(s+2)(s+3)二旦s+1 s+2 s+3其中储=(s+i)y(sl1=gK2=(s+2)y(s)L=2=TK3=(s+3)y(“s=3=；所以226_一_u 2 s+1 s+2 2 5+3对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为y(0=-2r+|e_3r(r)4.11计算下列微分方程描述的因果系统的系统函数(s)。若系统最初是松弛的，而且/)=(),求系统的响应y(D。(1)+4y3+3y=川)+/”)(2)+卬(。+5州=*)如果系统的响应M)又是什么？【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应。【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数，然后求出系统响应的拉氏变换，再求其拉 氏反变换即得系统的响应。解：I.当时，有方($)=,(1)由微分方程yW+4y”)+3y(。=/”)+/”)，可得系统函数Hg=-I=，Y+4S+3(s+l)(s+3)5+3则有y(s)=H(s)尸(S)=+s+3 s s s+3其中：K|=sV(sk=gK2=(s+3(sL_3=T所以3 s 3 s+3对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为y(D=(0-ge(r)=；(1 卜”)227(2)由微分方程y%)+4y()+5y”)=/3,可得系统函数H(s)=/+4s+5则有y(s)=($)二52+4s+552+4s+5(s+2+1对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为y,)二 e2t sinn.当/(D=e飞。时，有尸(S)=s+1(1)由微分方程y)+4y”)+3y(D=/(D+/(。，可得系统函数H3=s+l _ s+11+48+3(s+l)(s+3)s+3则有其中:-=MS)ES)=+=*+3K=(s+i)y(s)|=二；K?(s+3(s)L3 T1所以2 s+1 2 5+3对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为y&)=；e-生(t)-；e%U)=；(e T-ef 10(2)由微分方程y(f)+4y()+5y(f)=/3,可得系统函数H(s)=-?+45+5则有y(s)=Ms)，尸(s)-=(-rr-rs+4s+5 5+1(s+l)(s+4s+5):勺 K?(s+2-j s+2+j s+1228其中:勺=(5+2+(“一宁J 4%=(s+i)y(s)L-=-；所以加二匕过+匕立4 s+2-j 4 5+2+j1 127+1对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为y(t)=4 4e-r(r)2+/)+j/葭 e2t cos t+e2t sin r-el 卜)2 2 24.12对一个LTI系统，已知：输入信号/)=4屋生(。；输出响应y,)=e2/()+*2为“)(1)确定系统的系统函数(s)及收敛域；(2)求系统的单位冲激响应MD；(3)如果输入信号/)为/“)=*,8才 0t 8 tT0即收敛域为o 0且2+。0229即收敛域为-2o 2O_1_ 所 II H（A Y（s）-s 2 s+2 1所以“以-西-s-2其收敛域为2 o 2O（2）根据收敛域为-2 o 2可得到：厂8（5）=6-21|即单位冲激响应为 力。二6一2H0）若输入信号/。为/）=/,输入旌2卜|（一）五=*.）加+*2工.*（-）所J J J /J-oo J-oo Jo二.今+Pe-T fe3TJT+/dt）J-oo Jo I J-OO Jo Jri N/、二一e oo 1.(/)二。遥一2。2*2,将初始条件(。_)=。,(。.)=1代入以上两式，有：(。一)=3+。2=。y(o_)=-c1-2c2=i由以上两式求得：G=1,。2=1故得到系统零输入响应为%(，)=加-e-k)(2)当输入/(，)=时,有-(5)=。s+2则有%(s)=Ms)Ms)二s+4(s+l)(s+2)s+4(s+l)(s+2)2将工6)进行部分分式展开得:LGK”K12(s+2)2+s+2+旦 s+1求得K=-2,K2=-3,K2=3故得 2 3 3对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的零状态响应233G)=2卜一黑 _ 3e-2te(t)+3e%二-2te-2t-3e-2t+卜(t)微分方程零输入响应为 yJt)=C1e-t+C2e-2t则有 y1Jt)=-C1e-t-2C2e-2t将初始条件y(O_)=Ly(O_)=l代入以上两式，有：y(0_)=C1+C2=1y(O_)=-C1-2C2=l由以上两式求得：G=3,。2=2故得到系统零输入响应为yzi(t)=(3e-l-2e-2,)E(t)4.15求下列方程所描述LH系统的冲激响应7/(。和阶跃响应g)。(1)y(H+4y3+3M)=/4)3/(。【知识点窍】主要考察系统函数的特性。【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数，然后求其反拉氏变换即系统的冲激响应。利用系统函数的定义求出阶跃响应的拉氏变换，再求其反变换即得阶跃响应。解：(1)由微分方程可得系统函数H(s)=2 s-3 s,31+4s+3(s+l)(s+3)系统的冲激响应为h(t)=匚1(5)=L-S3 1=厂,/+*_(s+l)(s+3)|_s+l s+3_=-2e-f8(r)+3e-3(r)二(2e-+36-3+卜)当输入/)=(时，有b(s)=,，此时响应为系统的阶跃响应(因为阶跃响应是零状 s态响应)。234则有匕6)=(5)尸(5)=S5-3(s+l)(s+3)1 2 1-1-s s+1 s+3对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的阶跃响应g(t)=-s(t)+2efs(t)-e3ts(t)=(2ef-e3t-1)(2)由微分方程可得系统函数则有”(s)=s+1$2+s+l系统的冲激响应为1s+一21s+一2(i Y s+一I 2J2+7 J出T(i YI 2J走T2响二厂H(S)=L2逅TTj4732I?g2 J 27 7e cos(f)+丁 sin(?)-1 H-sin-1 E J2 3 27当输入/)=)时，有b(s)=L 此时响应为系统的阶跃响应。s%(s)=).代)+?三将(s)进行部分分式展开得:/K K2 K3%(s)=1rr+FrS H-7 S H-1-/2 2 2 2235求得 K故得对上式进行拉普拉斯反变换,g(f);4.16已知某LTI系统的阶跃八格=-正善,士答 6 63+5 3-Y(s)=，_6_6_W-1 6.1.2 2 2 2即得到系统的阶跃响应二州一士也j-*,响 6 6=()-e cos-t-e-sin-?Je(?)=liTcos 也走 e-sin 走 Jb)2 3 2 J v 7响应g”)=(l-e3Nk),欲使系统的零状态响应入()=(1-+te求系统的输入信号/(，)。【知识点窍】主要考察系统函数的特性。【逻辑推理】首先由系统的阶跃响应求取系统函数,号的拉氏变换，再求其反变换即得输入信号。解:当输入/)=时，有.(s)=，S此时系统的响应为阶跃响应 g(r)=(1-其拉氏变换为 G(s)=，S由此可得到系统函数1 1H(A _ G(s)_ S s+2 _-用厂1-s欲使系统的零状态响应为 无s(0=(1-236)然后根据利用系统函数的定义求出输入信e-2)(.)s+2s 2二 1-_s+2 s+22t+S其拉氏变换为YJS)=-1 17Z+(S+2)2则有1 1 1-1-尸-2(s+2-s+2 1 J 1 J1 1H(s)2 2s 2 2 s+2 s 2 s+2s+2故可得此时的系统输入信号为/G)=eG)+if-2ze(r)=1+；6，卜04.17某LTI系统，当输入/(%)=e%)时其零状态响应心)=(*212/+313)。，求该系统的阶跃响应g1)。【知识点窍】主要考察系统函数的特性。【逻辑推理】首先由输入信号和零状态响应求取系统函数，利用系统函数的定义求出阶跃响应的拉氏变换，再求其反变换即得阶跃响应。解:当输入/(%)=入生。时,有一(s)二此时，零状态响应匕s”)=(e其拉氏变换为由此得到系统函数1_2_ 3口Zs(s)_ s+1 s+2 5+3w xs+1当输入(%)=4)时,有尸(5)二，S此时系统响应即为阶跃响应(G(s)=F(s)H(5)=-s、1s+1-2e-2t+3e-3t)(t)1 2 3-1-s+1 s+2 s+32(s+l)3(S+1)=2I 2s+2 s+3 s+2 s+32 6、2 2 6s+2 5+3 J s s(s+2)s(s+3)2371 1 2=-1-s s+2 s+3对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的阶跃响应g(t)=(r)+2e-3r(t)=(l-e2f+2e3f)(t)4.18电路如图4.6所示。在r二。之前开关K位于“1”端，电路已进入稳态，(二。时刻开关从“1”转至“2”，试求人足。in图4.6【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应。【逻辑推理】对于这方面题可以采用两种方法：方法一，根据电路图直接写出拉氏变换等效电 路图，然后再利用回路之间关系求解；方法二，根据电路图直接写出微分方程，再对微分方程求拉 氏变换即可求解。解：方法一：先列出系数的微分方程，再用拉氏变换求解。以uc(t)作为输出写出系统的微分方程如下：-fuc(t)+2uc(t)=e(t)dt本例属于具有非零初始值的系统求完全响应的问题，为此需采用单边拉氏变换的0一系统，即将 初始值包含在变换式中，并避免求。一到0+的跳变。但采用0一系统积分的下限是0一，因而微分方 程必须描述。一至8的系统行为。一般为了方便，让微分方程能在-8 才8的范围内描述系统,所以激励e&)应为于是微分方程为c(?)+2c()=3,)+(%)dt两边进行拉氏变换得sU(s)%()-)+2C/(s)=l2383由题可知c(。一)=，有 u(s)=一2 s+2所以/(s)=sU(s)%(0-)=1-5+2故zc(r)=8(r)-3e-2r(r)在本例中，若认为e”)=3也能得到一致的结果，这是因为(-。的拉氏变换为0。但方程没有正确描述(。的情况，对于拉氏变换的。一下限没有保证，这样可能会导致错误。如本例先计算 便会如此。以。为输出的微分方程为dt dt取e”)=3(。+(。代入方程得3幕)+2式力=3-3(%)at两边进行拉氏变换s/(s)+2/(s)=s-1式。=3)-3-2生打这时认为=3(。则会得出不正确的结果。方法二：画出s域模型如图4.7所示。由S域中的KVL可写出方程，/c(s)+,c(r)/()/)二。S S/(s)+/(s)-(s)=/(s)其中E()=L5(0=l%(。)=；,将其代入上面两式，由此可得239对其求拉氏反变换可得:/人)=5-1s+2式。=3(。-3一2，()由图4.7可得:。人)=/)+,%(。一)s s5-1 1 _ 3/2 s(s+2)2s s+2对其求拉氏反变换可得:4.19已知如图4.8(b)所示HC电路，激励信号，”二3卜-波形如习题图4.8(a)所示,n=0试求零状态响应乙(%),并指出瞬态响应分量和稳态响应分量。图4.8【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应。【逻辑推理】先求舟激励的拉氏变换和利用电路写出回路方程，求由其零状态响应拉氏变换,然后对其求反变换即得零状态响应。解：由图4.8(a)可得：E(5)=L E 8(Z n)=1+e s+e2s+_n=0 J 1 es由图4.8(b)可得：2401z x 7 z x 1 1 e-s 0-2su(s)=-T E(S)=7-t-=-1-1-11+(+1)(1-)s+l s+l 5+1s所以.二厂u(5)=e%(%)+-(r-l)+e-g 2)瞬态响应和稳态响应分量可由其拉氏变换极点的位置来判断，因而需对U(s)分母进行因式分 解，再利用部分分式展开法求出相应的分量。因式(1对应这极点s二/2兀伍二0,1,2,)，于是有:s I _（s+/2兀）（s+/2兀）（s /2mr）（s+/2兀）=B+%+11-+-12_+.+_AH_+_A12_s+1 s S-/2兀 s+j2it s-jlrni s+jlrni式中AuA?=_ j2mt于是 1U（s）=1 1 1-+-+les+l s 1+j 2K1 11-s-j2兀1H-1-1+j2mt s-j2mt 1-j2mt12兀11-1s+j 2K-1s+j2mt故241二一6一,)+(/)+-2加9)+iej21lt+1-e 1+/2兀 1-J2K+e j2n 氏)+e-j2nllt+1+j2mt 1-j2mt二 01-e k_ _J瞬态响应 oo 2+e(%)+E/=cos(2ra-arctg2nit)E(/)片 ijl+(2兀)2k_ _J稳态响应4.20电路如图4.9所示，在1=。以前开关K位于“1”，且电路已达到稳态。/=0时刻开关倒向“2”。试求对于下列3，出时电容两端电压d):(1)ex 0V,e2=e2ts(t)(2)g=W.e2=QV(3)/=IV,e2=e2ts(t)(4)/=IV,e2=2V【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应。【逻辑推理】先画出运算形式的等效电路图，写出回路方程，再进行拉氏反变换。解：利用电路元件的s域模型。在这里以Uc(s)作为输出，而不是以(s),根据s域中的KVL可得:242所以Uc（s）+Lc（s）=（s）（s）+c（r）s+15+1 5+1式中智对应零状态响应的拉氏变换，*对应零输入响应的拉氏变换，组合起来形成全响应。（1）4=0匕62=6一2（%）时，cl（D为零状态响应 人（。一）=6=。（$）=央2（?）=7S+2 所以（s）=7-（s+1 乂s+2）（2）q=1匕%=。丫时，2（，）为零输入响应 Uc（0）=ei=1 凤 s）=0所以k（s）二臂 S+115+1%（%）=（%）（3）4=1丫0=6一2U）时，c3（?）为全响应%（。一）=6=1（$）=央2（%）=7s+2所以243“%()=_3_c3 s+1 s+1(s+l)(s+2)uc3(t)=(2e-t可见%3(才)=%(?)+42(?)即全响应等于零输入响应和零状态响应之和。因为3(J的极点均在左半开平面，利用终值定理可求得uc3(oo)=lim kb)=Mm s 7；=0 t8 50(s+l)(s+2)(4)q=1丫,%=2V 时，全响应为 c4”)%(。一)=6=1(5)=央2)=2 s所以/2 1 2 2 1 s+2c4=-7-7+-=-+-7s(s+l)5+1 S s+l s+l s(s+l)特别地，当/=IV,与二IV时有“c)=(%)%4(8)=lim c4,)=阮 s ：+2=28 ST。+由(3),(4)可知利用终值定理求得电容电压的终值与电路的实际观察是一致的。24.21如图4.11所示双口网络，已知其s域阻抗矩阵为Z(s)=-s+l15+11S+1,且RL=1Q，4=2Q,试求输出电压的冲激响应MD。图 4.11244【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应。【逻辑推理】利用运算形式的等效电路图，写出回路方程，再进行拉氏反变换。解：由图4.11可得：因双口网络的Z参数已知，故可写出Z方程为Ul（s）=Zi/（s）+Zi2/2 C/2()=z21/1()+z22/2()将式代入式中得到：/）=J2 2-Rs+Z”将式和式代入式中得到：2211 22,2+Z22Hs+2口勺+&7?乙将Rs，&代入式得:5+12s 2+8s+7（5）=。2（8）二2，+2+V2s+2 _1+72 4s+2 H产 V2s+2-j=72所以该双口网络的冲激响应为S+1s+2-九)二厂 EG)=-7-2 s+2+(04G(s)=l-%/)1T。2（$）=。2（，）=5+11 41石4.22如图4.12所示零状态电路，图中左”2卜）是受控源，试求:245(1)系统函数(5)=77*;U周(2)上为何值时系统稳定；(3)取左=2必(%)=sinZ8(。时,求响应内W；(4)取左=3必(/)=cos/“)时，求响应“3(%)；(5)取左=3必(。=COS2/E“)时，求响应3(彳)。【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求电路回路响应。【逻辑推理】先画出运算形式的等效电路图，写出回路方程，再进行拉氏反变换。图 4.12解：(1)当(。时的s域电路如图4.13所示。以/i(s)、，2(s)为变量对两个网孔列KVL方程为:图 4.13(I (1 1+1+-1+，2(s)=Ul(s)I s)I SJ(1A,11、1 H-/i(s)+1 H-1-12(s)=一左02(s)I SJ I S)一246又有。2(5)=/1(5)-AG)。3（5）=%。2（5）整理以上四式，并联解得I+二+”)即有M9=。3国U(s)+(3 +1若（s）的极点全部位于S平面的左半开平面，系统就是稳定的。欲使整个系统稳定，则必须有3-左。，故得上3 取左=2必（。=sin灰时,有。3（$）=U、(s)=2 2。冷)S+5+11s2+l将。何二W代入力中,得到:二21s+一2故得11S+2y+727(1 s+.2：（+s1+1727(。=2e*y/3 1cost+j=sin 2 73t(-2COS/(（4）取左=3必（。=cos/“）时，有35+1q乐品将U（S）=代入。3（s）中，得到：5+1247故得3(UIsE3()=sin ts(t)(5)取左=3,%(。=COS2ZE)时，有3。3($)二下5+1Ui(s)=75+4将Ul(s)二 一二代入。3(中，得到：S+4U3(s)=-=f5+1 S+4 5+152+4故得“3(%)=(cos t-COS 2。)248