2024年山东省临沂市中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 33 页）2024 年山东省临沂市中考数学试卷年山东省临沂市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 42 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（3 分）的相反数是（）ABC2017D20172（3 分）如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若1=20，则2 的度数是（）A50B60C70D803（3 分）下列计算正确的是（）A（ab）=abBa2+a2=a4Ca2a3=a6D（ab2）2=a2b44（3 分）不等式组中，不等式和的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD5（3 分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（）第 2 页（共 33 页）ABCD6（3 分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）ABCD7（3 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D八边形8（3 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90个所用时间与乙做 60 个所用时间相等求甲、乙每小时各做零件多少个如果设乙每小时做 x 个，那么所列方程是（）A=B=C=D=9（3 分）某公司有 15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：部门人数每人所创年利润（单位：万元）A110B38C75D43这 15 名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（）A10，5B7，8C5，6.5D5，510（3 分）如图，AB 是O 的直径，BT 是O 的切线，若ATB=45，AB=2，则阴影部分的面积是（）第 3 页（共 33 页）A2BC1D+11（3 分）将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第 n 个图形中“”的个数是 78，则 n 的值是（）A11B12C13D1412（3 分）在ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B，C 两点不重合），过点 D作 DEAC，DFAB，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是（）A若 ADBC，则四边形 AEDF 是矩形B若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形C若 BD=CD，则四边形 AEDF 是菱形D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形13（3 分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线t=；足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是11m其中正确结论的个数是（）A1B2C3D414（3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（x0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点OMN 的面积为 10若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN 的最小值是（）第 4 页（共 33 页）A6B10C2D2二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）15（3 分）分解因式：m39m=16（3 分）如图，已知 ABCD，AD 与 BC 相交于点 O若=，AD=10，则AO=17（3 分）计算：（x）=18（3 分）在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=4，BD=10，sinBDC=，则ABCD 的面积是 19（3 分）在平面直角坐标系中，如果点 P 坐标为（m，n），向量可以用点 P 的坐标表示为=（m，n）已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果 x1x2+y1y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：=（2，1），=（1，2）；=（cos30，tan45），=（1，sin60）；第 5 页（共 33 页）=（，2），=（+，）；=（0，2），=（2，1）其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 63 分）分）20（7 分）计算：|1|+2cos45+（）121（7 分）为了解某校学生对最强大脑、朗读者、中国诗词大会、出彩中国人四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名）百分比 最强大脑 5 10%朗读者 15 b%中国诗词大会 a 40%出彩中国人 10 20%根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）x=，a=，b=；（2）补全上面的条形统计图；第 6 页（共 33 页）（3）若该校共有学生 1000 名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱中国诗词大会节目的学生有多少名22（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC=30m，从 A 点测得 D 点的俯角 为 30，测得 C 点的俯角 为 60，求这两座建筑物的高度第 7 页（共 33 页）23（9 分）如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=4，求ABC 外接圆的半径24（9 分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费 y（元）与每月用水量 x（m3）之间的关系如图所示（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水 40m3（二月份用水量不超过 25m3），缴纳水费 79.8 元，则该用户二、三月份的用水量各是多少 m3？第 8 页（共 33 页）25（11 分）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD的对角线，若ACB=ACD=ABD=ADB=60，则线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE 是等边三角形，故 AC=CE，所以 AC=BC+CD小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60，使AB 与 AD 重合，从而容易证明ACF 是等边三角形，故 AC=CF，所以AC=BC+CD在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=45”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明（2）小华提出：如图 5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明第 9 页（共 33 页）26（13 分）如图，抛物线 y=ax2+bx3 经过点 A（2，3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 在 y 轴上，且BDO=BAC，求点 D 的坐标；（3）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 10 页（共 33 页）2024 年山东省临沂市中考数学试卷年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 42 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（3 分）的相反数是（）ABC2017D2017【考点】14：相反数菁优网版权所有【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：的相反数是：故选：A【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键2（3 分）如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若1=20，则2 的度数是（）A50B60C70D80【考点】IL：余角和补角；JA：平行线的性质菁优网版权所有【分析】首先根据三角形外角的性质求出BEF 的度数，再根据平行线的性质得到2 的度数【解答】解：BEF 是AEF 的外角，1=20，F=30，BEF=1+F=50，ABCD，2=BEF=50，故选：A第 11 页（共 33 页）【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大3（3 分）下列计算正确的是（）A（ab）=abBa2+a2=a4Ca2a3=a6D（ab2）2=a2b4【考点】44：整式的加减；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方菁优网版权所有【分析】根据去括号、同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方，可得答案【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，（ab）=a+b，故 A 不符合题意；B、a2+a2=2a2，故 B 不符合题意；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，a2a3=a5，故 C 不符合题意；D、积的乘方等于乘方的积，故 D 符合题意；故选：D【点评】本题考查了积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键4（3 分）不等式组中，不等式和的解集在数轴上表示正确的是（）ABC第 12 页（共 33 页）D【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组菁优网版权所有【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式，得：x1，解不等式，得：x3，则不等式组的解集为3x1，故选：B【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键5（3 分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（）ABCD【考点】U2：简单组合体的三视图菁优网版权所有【分析】根据三视图定义分别作出三视图即可判断【解答】解：该几何体的三视图如下：主视图：；俯视图：；左视图：，故选：D【点评】本题主要考查三视图，掌握三视图的定义和作法是解题的关键6（3 分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获第 13 页（共 33 页）胜的概率是（）ABCD【考点】X6：列表法与树状图法菁优网版权所有【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，小华获胜的情况数是 3 种，小华获胜的概率是：=故选：C【点评】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7（3 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D八边形【考点】L3：多边形内角与外角菁优网版权所有【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解【解答】解：设所求正 n 边形边数为 n，由题意得（n2）180=3602解得 n=6则这个多边形是六边形故选：C【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于 360，n 边形的内角和为（n2）1808（3 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90个所用时间与乙做 60 个所用时间相等求甲、乙每小时各做零件多少个如第 14 页（共 33 页）果设乙每小时做 x 个，那么所列方程是（）A=B=C=D=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程菁优网版权所有【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程【解答】解：设乙每小时做 x 个，甲每小时做（x+6）个，根据甲做 90 个所用时间与乙做 60 个所用时间相等，得=，故选：B【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键9（3 分）某公司有 15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：部门人数每人所创年利润（单位：万元）A110B38C75D43这 15 名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（）A10，5B7，8C5，6.5D5，5【考点】W4：中位数；W5：众数菁优网版权所有【分析】根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来，从而可以找到这组数据的中位数和众数【解答】解：由题意可得，这 15 名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，这组数据的众数是 5，中位数是 5，故选：D【点评】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，第 15 页（共 33 页）会找一组数据的众数和中位数10（3 分）如图，AB 是O 的直径，BT 是O 的切线，若ATB=45，AB=2，则阴影部分的面积是（）A2BC1D+【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】设 AT 交O 于 D，连结 BD，先根据圆周角定理得到ADB=90，则可判断ADB、BDT 都是等腰直角三角形，所以 AD=BD=TD=AB=，然后利用弓形 AD 的面积等于弓形 BD 的面积得到阴影部分的面积=SBTD【解答】解：BT 是O 的切线；设 AT 交O 于 D，连结 BD，AB 是O 的直径，ADB=90，而ATB=45，ADB、BDT 都是等腰直角三角形，AD=BD=TD=AB=，弓形 AD 的面积等于弓形 BD 的面积，阴影部分的面积=SBTD=1故选：C【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积第 16 页（共 33 页）11（3 分）将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第 n 个图形中“”的个数是 78，则 n 的值是（）A11B12C13D14【考点】38：规律型：图形的变化类菁优网版权所有【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第 n 个图形中小圆的个数，进而得出答案【解答】解：第 1 个图形有 1 个小圆；第 2 个图形有 1+2=3 个小圆；第 3 个图形有 1+2+3=6 个小圆；第 4 个图形有 1+2+3+4=10 个小圆；第 n 个图形有 1+2+3+n=个小圆；第 n 个图形中“”的个数是 78，78=，解得：n1=12，n2=13（不合题意舍去），故选：B【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键12（3 分）在ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B，C 两点不重合），过点 D作 DEAC，DFAB，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是（）A若 ADBC，则四边形 AEDF 是矩形B若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形C若 BD=CD，则四边形 AEDF 是菱形第 17 页（共 33 页）D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定菁优网版权所有【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论【解答】解：若 ADBC，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项 A错误；若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是菱形，不一定是矩形；选项 B 错误；若 BD=CD，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；选项 C 错误；若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形；正确；故选：D【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键13（3 分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线t=；足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是11m其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【考点】HE：二次函数的应用菁优网版权所有【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为 h=at（t9），把（1，8）代入可得 a=1，可得 h=t2+9t=（t4.5）2+20.25，由此即可一一判断【解答】解：由题意，抛物线的解析式为 h=at（t9），把（1，8）代入可得a=1，h=t2+9t=（t4.5）2+20.25，足球距离地面的最大高度为 20.25m，故错误，抛物线的对称轴 t=4.5，故正确，t=9 时，h=0，第 18 页（共 33 页）足球被踢出 9s 时落地，故正确，t=1.5 时，h=11.25，故错误正确的有，故选：B【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（x0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点OMN 的面积为 10若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN 的最小值是（）A6B10C2D2【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；PA：轴对称最短路线问题菁优网版权所有【分析】由正方形 OABC 的边长是 6，得到点 M 的横坐标和点 N 的纵坐标为 6，求得 M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到 M（6，4），N（4，6），作 M 关于 x 轴的对称点 M，连接 NM交 x 轴于 P，则 NM的长=PM+PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：正方形 OABC 的边长是 6，点 M 的横坐标和点 N 的纵坐标为 6，M（6，），N（，6），BN=6，BM=6，OMN 的面积为 10，6666（6）2=10，k=24，第 19 页（共 33 页）M（6，4），N（4，6），作 M 关于 x 轴的对称点 M，连接 NM交 x 轴于 P，则 NM的长=PM+PN 的最小值，AM=AM=4，BM=10，BN=2，NM=2，故选：C【点评】本题考查了反比例函数的系数 k 的几何意义，轴对称最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）15（3 分）分解因式：m39m=m（m+3）（m3）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解平方差公式：a2b2=（a+b）（ab）【解答】解：m39m，=m（m29），=m（m+3）（m3）故答案为：m（m+3）（m3）【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止16（3 分）如图，已知 ABCD，AD 与 BC 相交于点 O若=，AD=10，则第 20 页（共 33 页）AO=4【考点】S4：平行线分线段成比例菁优网版权所有【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：ABCD，=，即=，解得，AO=4，故答案为：4【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键17（3 分）计算：（x）=【考点】6C：分式的混合运算菁优网版权所有【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可【解答】解：原式=，故答案为：【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序18（3 分）在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=4，BD=10，sinBDC=，则ABCD 的面积是24第 21 页（共 33 页）【考点】L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】作 OECD 于 E，由平行四边形的性质得出 OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由 sinBDC=，证出 ACCD，OC=3，AC=2OC=6，得出ABCD 的面积=CDAC=24【解答】解：作 OECD 于 E，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，sinBDC=，OE=3，DE=4，CD=4，点 E 与点 C 重合，ACCD，OC=3，AC=2OC=6，ABCD 的面积=CDAC=46=24；故答案为：24【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出 ACCD 是关键19（3 分）在平面直角坐标系中，如果点 P 坐标为（m，n），向量可以用点 P 的坐标表示为=（m，n）已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果 x1x2+y1y2=0，那么与互相垂第 22 页（共 33 页）直，下列四组向量：=（2，1），=（1，2）；=（cos30，tan45），=（1，sin60）；=（，2），=（+，）；=（0，2），=（2，1）其中互相垂直的是（填上所有正确答案的符号）【考点】6E：零指数幂；LM：*平面向量；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】根据向量垂直的定义进行解答【解答】解：因为 2（1）+12=0，所以与互相垂直；因为 cos301+tan45sin60=1+1=0，所以与不互相垂直；因为（）（+）+（2）=321=0，所以与互相垂直；因为 02+2（1）=22=0，所以与互相垂直综上所述，互相垂直故答案是：【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形解题的关键是掌握向量垂直的定义三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 63 分）分）20（7 分）计算：|1|+2cos45+（）1【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值菁优网版权所有【分析】根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，分别求得每项的值，再进行计算即可【解答】解：|1|+2cos45+（）1=1+22+2第 23 页（共 33 页）=1+2+2=1【点评】本题主要考查实数的运算及特殊角的三角函数值，注意绝对值和负指数幂的运算法则是解题的关键21（7 分）为了解某校学生对最强大脑、朗读者、中国诗词大会、出彩中国人四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名）百分比 最强大脑 5 10%朗读者 15 b%中国诗词大会 a 40%出彩中国人 10 20%根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）x=50，a=20，b=30；（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校共有学生 1000 名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱中国诗词大会节目的学生有多少名【考点】V5：用样本估计总体；VA：统计表；VC：条形统计图菁优网版权所有【专题】11：计算题；541：数据的收集与整理【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出 x 的值，进而求出 a第 24 页（共 33 页）与 b 的值即可；（2）根据 a 的值，补全条形统计图即可；（3）由中国诗词大会的百分比乘以 1000 即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：x=510%=50，a=5040%=20，b=100=30；故答案为：50；20；30；（2）中国诗词大会的人数为 20 人，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：100040%=400（名），则估计该校最喜爱中国诗词大会节目的学生有 400 名【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键22（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC=30m，从 A 点测得 D 点的俯角 为 30，测得 C 点的俯角 为 60，求这两座建筑物的高度【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有【专题】12：应用题；554：等腰三角形与直角三角形【分析】延长 CD，交 AE 于点 E，可得 DEAE，在直角三角形 ABC 中，由题意确定出 AB 的长，进而确定出 EC 的长，在直角三角形 AED 中，由题意求出 ED的长，由 ECED 求出 DC 的长即可第 25 页（共 33 页）【解答】解：延长 CD，交 AE 于点 E，可得 DEAE，在 RtAED 中，AE=BC=30m，EAD=30，ED=AEtan30=10m，在 RtABC 中，BAC=30，BC=30m，AB=30m，则 CD=ECED=ABED=3010=20m【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键23（9 分）如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=4，求ABC 外接圆的半径【考点】MA：三角形的外接圆与外心菁优网版权所有【分析】（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圆周角定理得出DBC=CAD，证出DBC=BAE，再由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出 DE=DB；（2）由（1）得：，得出 CD=BD=4，由圆周角定理得出 BC 是直径，BDC=90，由勾股定理求出 BC=4，即可得出ABC 外接圆的半径【解答】（1）证明：AD 平分BAC，BE 平分ABC，第 26 页（共 33 页）ABE=CBE，BAE=CAD，DBC=CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：连接 CD，如图所示：由（1）得：，CD=BD=4，BAC=90，BC 是直径，BDC=90，BC=4，ABC 外接圆的半径=4=2【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键24（9 分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费 y（元）与每月用水量 x（m3）之间的关系如图所示（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水 40m3（二月份用水量不超过 25m3），缴纳水费 79.8 元，则该用户二、三月份的用水量各是多少 m3？第 27 页（共 33 页）【考点】FH：一次函数的应用菁优网版权所有【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；（2）根据题意对 x 进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少 m3【解答】解：（1）当 0 x15 时，设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx，15k=27，得 k=1.8，即当 0 x15 时，y 与 x 的函数关系式为 y=1.8x，当 x15 时，设 y 与 x 的函数关系式为 y=ax+b，得，即当 x15 时，y 与 x 的函数关系式为 y=2.4x9，由上可得，y 与 x 的函数关系式为 y=；（2）设二月份的用水量是 xm3，当 15x25 时，2.4x9+2.4（40 x）9=7879.8，故此种情况不符合题意，当 0 x15 时，令 1.8x+2.4（40 x）9=79.8，解得，x=12，40 x=28，答：该用户二、三月份的用水量各是 12m3、28m3【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答25（11 分）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD第 28 页（共 33 页）的对角线，若ACB=ACD=ABD=ADB=60，则线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE 是等边三角形，故 AC=CE，所以 AC=BC+CD小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60，使AB 与 AD 重合，从而容易证明ACF 是等边三角形，故 AC=CF，所以AC=BC+CD在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=45”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明（2）小华提出：如图 5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明【考点】RB：几何变换综合题菁优网版权所有【专题】15：综合题【分析】（1）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE 是等腰三角形，再得出AEC=45，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=ABC 也可以先判断出点 A，B，C，D 四点共圆）（2）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE 是等腰三角形，再用三角函数即第 29 页（共 33 页）可得出结论【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图 1，延长 CD 至 E，使 DE=BC，连接 AE，ABD=ADB=45，AB=AD，BAD=180ABDADB=90，ACB=ACD=45，ACB+ACD=90，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC 和ADE 中，ABCADE（SAS），ACB=AED=45，AC=AE，ACE 是等腰直角三角形，CE=AC，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=AC；（2）BC+CD=2ACcos理由：如图 2，延长 CD 至 E，使 DE=BC，ABD=ADB=，AB=AD，BAD=180ABDADB=1802，ACB=ACD=，ACB+ACD=2，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，第 30 页（共 33 页）ABC=ADE，在ABC 和ADE 中，ABCADE（SAS），ACB=AED=，AC=AE，AEC=，过点 A 作 AFCE 于 F，CE=2CF，在 RtACF 中，ACD=，CF=ACcosACD=ACcos，CE=2CF=2ACcos，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道综合性较强的题目26（13 分）如图，抛物线 y=ax2+bx3 经过点 A（2，3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 在 y 轴上，且BDO=BAC，求点 D 的坐标；（3）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N第 31 页（共 33 页）为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，根据已知条件得到 AFx 轴，得到 F（1，3），设 D（0，m），则 OD=|m|即可得到结论；（3）设 M（a，a22a3），N（1，n），以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME对称轴于 E，AFx 轴于 F，于是得到ABFNME，证得 NE=AF=3，ME=BF=3，得到 M（4，5）或（2，5）；以 AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，于是得到结论【解答】解：（1）由 y=ax2+bx3 得 C（03），OC=3，OC=3OB，OB=1，B（1，0），把 A（2，3），B（1，0）代入 y=ax2+bx3 得，抛物线的解析式为 y=x22x3；（2）设连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，A（2，3），C（0，3），AFx 轴，F（1，3），第 32 页（共 33 页）BF=3，AF=3，BAC=45，设 D（0，m），则 OD=|m|，BDO=BAC，BDO=45，OD=OB=1，|m|=1，m=1，D1（0，1），D2（0，1）；（3）设 M（a，a22a3），N（1，n），以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME对称轴于 E，AFx轴于 F，则ABFNME，NE=AF=3，ME=BF=3，|a1|=3，a=4 或 a=2，M（4，5）或（2，5）；以 AB 为对角线，BN=AM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，M（0，3），综上所述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，5）或（0，3）第 33 页（共 33 页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键