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数学教案－双曲线的几何性质
8．4 双曲线的几何性质（第1课时）
㈠课时目标
1．熟识双曲线的几何性质。
2．能理解离心率的大小对双曲线外形的影响。
3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
㈡教学过程（）
[情景设置]
表达椭圆 的几何性质，并填写下表：
方程
性质
图像（略）
范围-a≤x≤a，-b≤y≤b
对称性对称轴、对称中心
顶点（a,0）、（b,0）
离心率e= (几何意义)

[探究讨论]
1．类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
双曲线与椭圆的几何性质比照如下：

方程
性质
图像（略） （略）
范围-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R
对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心
顶点（a,0）、（b,0）（-a,0）、（a,0）
离心率0＜e= ＜1
e= ＞1
下面连续讨论离心率的几何意义：
（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e= ＞1）
2.渐近线的发觉与论证
依据椭圆的上述四共性质，能较为精确地把 画出来吗？（能）
依据上述双曲线的四共性质，能较为精确地把 画出来吗？（不能）
通过列表描点，能把双曲线的顶点及四周的点，比拟准确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清晰。
我们能较为精确地画出曲线y= ,这是为什么？（由于当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y= 的渐近线。
问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？
引导猜测：在讨论双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：
y= =
当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=
与直线y= 无限接近。
这使我们猜测直线y= 为双曲线的渐近线。
直线y= 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=a, y=b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？明显，只要考虑第一象限即可。
证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则
y0= ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：
∣MQ∣= =
= ．
点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就渐渐减小，M点就无限接近于 y=
故把y= 叫做双曲线 的渐近线。
3．离心率的几何意义
∵e= ，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 = = =
e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）
e越大 越大，双曲线开口越大（开阔）
4．稳固练习
求以下双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。
①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知双曲线的渐近线方程为x2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程
①M（4， ） ②M（4， ）
[学问应用与解题讨论]
例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2 双曲线型自然通风塔的形状，是双曲线的一局部绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（准确到1m）
㈣提炼总结
1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。
2.渐近线是双曲线特有的性质，其发觉证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。