资源描述
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．
1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝____________________________________________________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.
tan α·tan β＝______________________________________________________________.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝______________________________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.
tan αtan β＝______________________________________________________________.
一、选择题
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )
A. B．－ C．－7 D．－
3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
A. B. C. D.
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2 C．tan 10° D.tan 20°
6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.＝________.
8．已知tan＝2，则的值为________．
9．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求tan(α＋β)的值．
能力提升
13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
答案
知识梳理
1．(1) (2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1
作业设计
1．A 2.C 3.C
4．A [tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．]
5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)
＝tan 30°＝1.]
6．B [tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，即＝，解得tan A·tan B＝.]
7．－
8.
解析 ∵tan＝2，∴＝2，
解得tan α＝. ∴＝＝＝＝.
9．－
解析 ＝＝＝＝－.
10．1
解析 tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
11．解 由tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)．
∴tan(B＋C)＝＝，
又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝.
又tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，
∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，
∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为等腰三角形．
12．解 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
tan(α＋β)＝＝＝－3.
13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0.
而α∈(0，π)，故α∈(0，)．
∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π.
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－.
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，
∴2α－β＝－.
14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴⇒⇒＝2，所以tan A＝2tan B.
(2)解 ∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－，即＝－.
将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0.
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝.
∴tan A＝2tan B＝2＋.设AB边上的高为CD.
则AB＝AD＋DB＝＋＝.
由AB＝3，得CD＝2＋.∴AB边上的高等于2＋.
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