数学归纳法要点梳理归纳法由一系列有限的特殊事例市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,13.5 数学归纳法,关键点梳理,1.归纳法,由一系列有限特殊事例得出,推理,方法叫归纳法.依据推理过程中考查对象是涉,及事物全体或部分可分为,归纳法和,归纳法.,普通结论,完全,不完,全,基础知识 自主学习,1/48,2.数学归纳法,(1)数学归纳法：设,P,n,是一个与正整数相关,命题集合，假如,证实起始命题,P,1,（或,P,0,),成立；在假设,P,k,成立前提下，推出,P,k,+1,也成立，那么能够断定,P,n,对一切正整数成立.,(2)数学归纳法证题步骤,(归纳奠基)证实当,n,取第一个值,时,命题,成立.,(归纳递推）假设,(,k,n,0,k,N,+,)时命题,成立，证实当,时命题也成立.,只要完成这两个步骤就能够断定命题对从,n,0,开始,全部正整数,n,都成立.,n,=,n,0,n,=,k,n,=,k,+1,2/48,基础自测,1.用数学归纳法证实：“1+,a,+,a,2,+,a,n,+1,(,a,1)”在验证,n,=1时，左端计算所得项,为(),A.1 B.1+,a,C.1+,a,+,a,2,D.1+,a,+,a,2,+,a,3,C,3/48,2.在应用数学归纳法证实凸,n,边形对角线为,条时，第一 步检验第一个值,n,0,等于(),A.1 B.2 C.3 D.0,解析,边数最少凸,n,边形是三角形.,C,4/48,3.假如命题,p,(,n,)对,n,=,k,成立，则它对,n,=,k,+2也成立.,若,p,(,n,)对,n,=2成立，则以下结论正确是(),A.,p,(,n,)对全部正整数,n,都成立,B.,p,(,n,)对全部正偶数,n,都成立,C.,p,(,n,)对全部正奇数,n,都成立,D.,p,(,n,)对全部自然数,n,都成立,解析,归纳奠基是：,n,=2成立.,归纳递推是：,n,=,k,成立，则对,n,=,k,+2成立.,p,（,n,）对全部正偶数,n,都成立.,B,5/48,4.某个命题与自然数,n,相关，若,n,=,k,(,k,N,+,)时命题,成立，那么可推得当,n,=,k,+1时该命题也成立，现,已知,n,=5时,该命题不成立,那么能够推得(),A.,n,=6时该命题不成立 B.,n,=6时该命题成立,C.,n,=4时该命题不成立 D.,n,=4时该命题成立,解析,方法一,由,n,=,k,(,k,N,+,)成立,可推得当,n,=,k,+1时该命题也成立.因而若,n,=4成立，必有,n,=5成立.现知,n,=5不成立，所以,n,=4一定不成立.,方法二,其逆否命题“若当,n,=,k,+1时该命题不成,立，则当,n,=,k,时也不成立”为真，故“,n,=5时不,成立”,“,n,=4时不成立”.,C,6/48,5.用数学归纳法证实1+2+3+,n,2,=,则当,n,=,k,+1时左端应在,n,=,k,基础上加上(),A.,k,2,+1,B.（,k,+1）,2,C.,D.（,k,2,+1）+（,k,2,+2）+（,k,2,+3）+（,k,+1）,2,解析,当,n,=,k,时，左边=1+2+3+,k,2,，,当,n,=,k,+1时，,左边=1+2+3+,k,2,+（,k,2,+1）+（,k,+1）,2,，,当,n,=,k,+1时，左端应在,n,=,k,基础上加上,（,k,2,+1）+（,k,2,+2）+（,k,2,+3）+（,k,+1）,2,.,C,7/48,题型一 用数学归纳法证实等式,用数学归纳法证实:,对任意,n,N,+,用数学归纳法证实步骤为：归纳,奠基：验证当,n,=1时结论成立；归纳递推：假,设当,n,=,k,（,k,N,+,）时成立，推出当,n,=,k,+1时结论,也成立.,题型分类 深度剖析,8/48,证实,所以等式成立.,(2)假设当,n,=,k,(,k,N,+,)时等式成立,即有,9/48,所以当,n,=,k,+1时,等式也成立.,由（1）（2）可知,对一切,n,N,+,等式都成立.,用数学归纳法证实与正整数相关一,些等式时，关键在于“先看项”，搞清等式两边,组成规律，等式两边各有多少项，项多少与,n,取值是否相关，由,n,=,k,到,n,=,k,+1时等式两边变,化项，然后正确写出归纳证实步骤，使问题,得以证实.,10/48,知能迁移1,用数学归纳法证实：,证,明,（1）当,n,=1时，等式左边,等式右边 所以等式成立.,（2）假设,n,=,k,（,k,N,+,）时等式成立，,那么当,n,=,k,+1时，,11/48,即,n,=,k,+1时等式成立.,由（1）（2）可知，对任意,n,N,+,等式均成立.,12/48,题型二 用数学归纳法证实整除问题,用数学归纳法证实,a,n,+1,+(,a,+1),2,n,-1,(,n,N,+,）,能被,a,2,+,a,+1整除.,解,（1）当,n,=1时，,a,2,+(,a,+1)=,a,2,+,a,+1,可被,a,2,+,a,+1,整除,.,（2）假设,n,=,k,(,k,N,+,)时，,a,k,+1,+(,a,+1),2,k,-1,能被,a,2,+,a,+1整除，,验证,n,=1时命题是否成立,假设,n,=,k,时命题成立,推证,n,=,k,+1时命题成立,得结论,13/48,则当,n,=,k,+1时，,a,k,+2,+(,a,+1),2,k,+1,=,a,a,k,+1,+(,a,+1),2,(,a,+1),2,k,-1,=,a,a,k,+1,+,a,(,a,+1),2,k,-1,+(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2,k,-1,=,a,a,k,+1,+(,a,+1),2,k,-1,+(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2,k,-1,由假设可知,a,a,k,+1,+(,a,+1),2,k,-1,能被,a,2,+,a,+1,整除，,(,a,2,+,a,+1)(,a,+1),2,k,-1,也能被,a,2,+,a,+1,整除，,a,k,+2,+,（,a,+1,）,2,k,+1,也能被,a,2,+,a,+1,整除，,即,n,=,k,+1时命题也成立，,对任意,n,N,+,原命题成立.,证实整除问题关键是“凑项”，而,采取增项、减项、拆项和因式分解等伎俩，凑出,n,=,k,时情形，从而利用归纳假设使问题获证.,14/48,知能迁移2,求证：（3,n,+1）7,n,-1(,n,N,+,)能被9,整除.,证实,(1)当,n,=1时,(3,n,+1)7,n,-1=27能被9整除.,(2)假设,n,=,k,(,k,N,+,)时命题成立，即,(3,k,+1)7,k,-1能被9整除，,那么,n,=,k,+1时：,3(,k,+1)+17,k,+1,-1=(3,k,+1)+3(1+6)7,k,-1,=(3,k,+1)7,k,-1+(3,k,+1)67,k,+217,k,=(3,k,+1)7,k,-1+3,k,67,k,+(6+21)7,k,.,以上三项均能被9整除.,则由（1）（2）可知，命题对任意,n,N,+,都成立.,15/48,题型三 用数学归纳法证实不等式,用数学归纳法证实：对一切大于1自然,数，不等式,均成立.,应注意到题目条件，第一步应验证,n,=2时不等式成立.,证实,（1）当,n,=2时，左边,左边右边，不等式成立.,（2）假设,n,=,k,(,k,2,且,k,N,+,)时不等式成立，,16/48,则当,n,=,k,+1时，,当,n,=,k,+1时，不等式也成立.,由（1）（2）知，对于一切大于1自然数,n,不等,式都成立.,17/48,在由,n,=,k,到,n,=,k,+1推证过程中，应用放,缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证实不等,式问题时，从,n,=,k,到,n,=,k,+1推证过程中，证实不等,式惯用方法有比较法、分析法、综正当、放缩,法等.,18/48,知能迁移3,已知函数,f,(,x,)=,x,-sin,x,数列,a,n,满足:,0,a,1,1,a,n,+1,=,f,(,a,n,),n,=1,2,3,.,证实:,(1),0,a,n,+1,a,n,1,(2),证实,(1)先用数学归纳法证实0,a,n,1,n,=1,2,3,.,()当,n,=1时，由已知结论成立.,()假设当,n,=,k,(,k,N,+,)时结论成立，即0,a,k,1.,因为0,x,0,所以,f,(,x,)在(0,1)上是增函数.,又,f,(,x,)在0，1上连续，,从而,f,(0),f,(,a,k,),f,(1),即0,a,k,+1,1-sin 11.,19/48,故当,n,=,k,+1时，结论成立.,由()()可知，0,a,n,1对一切正整数都成立.,又因为0,a,n,1时，,a,n,+1,-,a,n,=,a,n,-sin,a,n,-,a,n,=-sin,a,n,0,所以,a,n,+1,a,n,.,总而言之,0,a,n,+1,a,n,1.,（2）设函数,g,(,x,)=sin,x,-,x,+,由（1）知，当0,x,1时，sin,x,x,.,从而,g,(,x,)=,20/48,所以,g,(,x,)在（0，1）上是增函数.,又,g,(,x,)在0，1上连续，且,g,(0)=0，,所以当0,x,0成立.,于是,g,(,a,n,)0,即,21/48,题型四 归纳、猜测、证实,（12分）已知等差数列,a,n,公差,d,大于0,且,a,2,a,5,是方程,x,2,-12,x,+27=0两根，数列,b,n,前,n,项和为,T,n,，且,（1）求数列,a,n,、,b,n,通项公式；,（2）设数列,a,n,前,n,项和为,S,n,，试比较 与,S,n,+1,大小，并说明理由.,(1)由,a,2,、,a,5,是方程根，求出,a,n,，再,由 求出,b,n,.,(2)先猜测 与,S,n,+1,大小关系，再用数学归纳,法证实,.,22/48,解,又,a,n,公差大于,0,，,a,5,a,2,a,2,=3,a,5,=9.,5分,23/48,6分,24/48,下面用数学归纳法证实：,当,n,=4时，已证.,9分,25/48,=(,k,2,+4,k,+4)+2,k,2,+2,k,-1(,k,+1)+1,2,=,S,(,k,+1)+1,11分,12分,26/48,（1）归纳猜测证实是高考重点,考查内容之一，这类问题可分为归纳性问题和,存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况,入手，经过观察、分析、归纳、猜测，探索出一,般规律.,（2）数列是定义在N,+,上函数，这与数学归纳法,利用范围是一致，而且数列递推公式与归,纳原理实质上是一致，数列中有不少问题惯用,数学归纳法处理.,27/48,知能迁移4,如图所表示，,P,1,（,x,1,，,y,1,）、,P,2,（,x,2,，,y,2,）、,、,P,n,（,x,n,，,y,n,）（0,y,1,y,2,y,n,）是曲线,C,：,y,2,=3,x,（,y,0）上,n,个点，点,A,i,（,a,i,，0）（,i,=1，,2，3，,n,）在,x,轴正半轴上，且,A,i,-1,A,i,P,i,是,正三角形（,A,0,是坐标原点）.,(1)写出,a,1,、,a,2,、,a,3,；,(2)求出点,A,n,（,a,n,，0）（,n,N,+,）横坐标,a,n,关于,n,表示式并证实.,28/48,解,（1）,a,1,=2,a,2,=6,a,3,=12.,(2)依题意，得,即(,a,n,-,a,n,-1,),2,=2(,a,n,-1,+,a,n,).,由（1）可猜测：,a,n,=,n,(,n,+1)(,n,N,+,).,下面用数学归纳法给予证实：,当,n,=1时，命题显然成立；,假设当,n,=,k,(,k,N,+,)时命题成立,即有,a,n,=,k,(,k,+1),则当,n,=,k,+1时，由归纳假设及(,a,k,+1,-,a,k,),2,=2(,a,k,+,a,k,+1,),29/48,得,a,k,+1,-,k,(,k,+1),2,=2,k,(,k,+1)+,a,k,+1,即(,a,k,+1,),2,-2(,k,2,+,k,+1),a,k,+1,+,k,(,k,-1)（,k,1）（,k,+2）=0，,解之得，,a,k,+1,=(,k,+1)(,k,+2)(,a,k,+1,=,k,(,k,-1)1)”时，由,n,=,k,(,k,1)不等式成立，,推证,n,=,k,+1时，左边应增加项数是 (),A.2,k,-1,B.2,k,-1,C.2,k,D.2,k,+1,解析,增加项数为（2,k,+1,-1）-(2,k,-1)=,2,k,+1,-2,k,=2,k,.,C,34/48,3.对于不等式 (,n,N,+,)，某同学用数学归纳法,证实过程以下：,（1）当,n,=1时，不等式成立.,（2）假设当,n,=,k,(,k,N,+,)时，不等式成立，,即 则当,n,=,k,+1时，,所以当,n,=,k,+1时，不等式成立，则上述证法(),A.过程全部正确 B.,n,=1验得不正确,C.归纳假设不正确 D.从,n,=,k,到,n,=,k,+1推理不正确,解析,在,n,=,k,+1时，没有应用,n,=,k,时假设,不是数,学归纳法.,D,35/48,4.用数学归纳法证实“,n,3,+(,n,+1),3,+(,n,+2),3,(,n,N,+,)能被9,整除”，要利用归纳假设证,n,=,k,+1时情况,只需展开,(),A.(,k,+3),3,B.(,k,+2),3,C.(,k,+1),3,D.(,k,+1),3,+(,k,+2),3,解析,假设当,n,=,k,时，原式能被9整除,即,k,3,+(,k,+1),3,+(,k,+2),3,能被9整除.,当,n,=,k,+1时,(,k,+1),3,+(,k,+2),3,+(,k,+3),3,为了能用上面,归纳假设，只需将(,k,+3),3,展开，让其出现,k,3,即,可.,A,36/48,5.证实 当,n,=2时，,左边式子等于 (),A.1 B.,C.D.,解析,当,n,=2时，左边式子为,D,37/48,6.用数学归纳法证实不等式,(,n,2,n,N,+,)过程中，由,n,=,k,递推到,n,=,k,+1时不等,式左边 (),A.增加了一项,B.增加了两项,C.增加了B中两项但降低了一项,D.以上各种情况均不对,38/48,解析,答案,C,39/48,二、填空题,7.若,f,(,n,)=1,2,+2,2,+3,2,+(2,n,),2,则,f,(,k,+1)与,f,(,k,)递推,关系式是,.,解析,f,(,k,)=1,2,+2,2,+(2,k,),2,，,f,(,k,+1)=1,2,+2,2,+(2,k,),2,+(2,k,+1),2,+(2,k,+2),2,，,f,(,k,+1)=,f,(,k,)+(2,k,+1),2,+(2,k,+2),2,.,f,(,k,+1)=,f,(,k,)+(2,k,+1),2,+(2,k,+2),2,40/48,8.用数学归纳法证实 (,n,N,且,n,1),第一步要证不等式是,.,解析,n,=2时，左边,41/48,9.已知整数对序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，则第60个数对是 .,解析 本题规律：2=1+1；3=1+2=2+1；,4=1+3=2+2=3+1；,5=1+4=2+3=3+2=4+1；,；,一个整数n所拥有数对为(n-1)对.,设1+2+3+(n-1)=60,n=11时还多5对数，且这5对数和都为12，,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，,第60个数对为（5，7）.,(5,7),42/48,三、解答题,10.已知数列,a,n,中，(,n,N,+,).证,明：0,a,n,a,n,+1,1.,证实,(1),n,=1时，,0,a,1,a,2,1,故结论成立.,(2)假设,n,=,k,（,k,N,+,）时结论成立，,即0,a,k,a,k,+1,1,43/48,即0,a,k,+1,a,k,+2,1,也就是说,n,=,k,+1时，结论也成立.,由(1)(2)可知，对一切,n,N,+,都有0,a,n,a,n,+1,1.,44/48,11.用数学归纳法证实对于任意正整数,n,(,n,2,-1)+,2(,n,2,-2,2,)+,n,(,n,2,-,n,2,)=,证实,（1）当,n,=1时，左式=1,2,-1=0,所以等式成立.,（2）假设,n,=,k,(,k,N,+,)时等式成立,即(,k,2,-1)+2(,k,2,-2,2,)+,k,(,k,2,-,k,2,),那么(,k,+1),2,-1+2(,k,+1),2,-2,2,+,k,(,k,+1),2,-,k,2,+(,k,+1)(,k,+1),2,-(,k,+1),2,45/48,=(,k,2,-1)+2(,k,2,-2,2,)+,k,(,k,2,-,k,2,)+(2,k,+1)(1+2+,k,),所以当,n,=,k,+1时等式成立.,由（1）（2）知对任意,n,N,+,等式成立.,46/48,12.在数列,a,n,、,b,n,中，,a,1,=2,b,1,=4,且,a,n,b,n,，,a,n,+1,成,等差数列，,b,n,a,n,+1,b,n,+1,成等比数列（,n,N,+,），求,a,2,a,3,a,4,与,b,2,b,3,b,4,值，由此猜测,a,n,b,n,通,项公式，并证实你结论.,解,由条件得2,b,n,=,a,n,+,a,n,+1,=,b,n,b,n,+1,.,又,a,1,=2,b,1,=4,由此可得,a,2,=6,b,2,=9,a,3,=12,b,3,=16,a,4,=20,b,4,=25,猜测,a,n,=,n,(,n,+1),b,n,=(,n,+1),2,.,用数学归纳法证实：,当,n,=1时，,a,1,=2,b,1,=4,结论成立.,47/48,假设当,n,=,k,（,k,N,+,）时结论成立，即,a,k,=,k,(,k,+1),b,k,=（,k,+1）,2,，那么当,n,=,k,+1时，,a,k,+1,=2,b,k,-,a,k,=2(,k,+1),2,-,k,(,k,+1)=(,k,+1)(,k,+1)+1,所以,当,n,=,k,+1时，结论也成立.,由知，,a,n,=,n,(,n,+1),b,n,=(,n,+1),2,对一切正整数都,成立.,返回,48/48,