【赢在课堂】高中数学-3.3-几何概型配套训练-新人教A版必修3.doc

3.3　几何概型

1.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率为(　　)

A.0.1 B. C.0.3 D.0.4
答案:C
2.有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望最容易中奖,他应当选择的游戏盘为(　　)

解析:四个游戏盘中奖概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=.
∵P(A)>P(B)>P(D)>P(C),
∴A中奖率大.
答案:A

3.(2012湖北高考,文10)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
(　　)
A. B.
C.1- D.

解析:设OA=OB=2R,连接AB,如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积,S阴影=π(2R)2-×(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率是=1-.
答案:C
4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径为r(r<a)的硬币任意抛掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.

解:设“硬币不与任一平行线相碰”为事件A,硬币中心为O,过O向较近的平行线作垂线,垂足为M,则0≤OM≤a,而A要发生,则有r<OM≤a,∴P(A)=.
5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在正方体内随机取点M.
(1)求M与面ABCD的距离大于的概率;
(2)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率.
解:V正方体=a3.(1)所求概率为.
(2)所求概率为.

6.如图所示,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,试求△AOC为钝角三角形的概率.
解:先看使△AOC为直角三角形的情况:
若∠OCA=90°,则OC=1;
若∠OAC=90°,则OC=4.

如图,C1和C2分别是适合以上两种情况的点C,它们均在线段OB上,由题意知,当点C在线段OC1或C2B上时,△AOC为钝角三角形.
又OB=5,OC1+C2B=1+1=2,
则△AOC为钝角三角形的概率为.

7.已知函数f(x)=-x2+ax-b,若a,b都是从区间[0,4]内任取的一个数,则f(1)>0成立的概率是(　　)
A. B. C. D.

解析:f(1)=-1+a-b,令f(1)>0,则a-b>1.又0≤a≤4,0≤b≤4,满足a-b>1的阴影部分如图所示.
∴P=.
答案:B

8.如图,在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖.设投中线上或没有投中木板时不算,可重投,则:
(1)投中大圆内的概率是　　　　. 
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是　　　　. 
(3)投中大圆之外的概率是　　　　. 
解析:设事件A={投中大圆内},事件B={投中小圆与中圆形成的圆环},事件C={投中大圆外}.S正方形=162=256(cm2),S大圆=62π=36π(cm2),S中圆-S小圆=12π(cm2),S大圆外=S正方形-S大圆=(256-36π)(cm2).由几何概型概率公式得P(A)=,P(B)=,P(C)==1-.
答案:(1)　(2)π　(3)1-
9.在△ABC内任取一点P,求△ABP与△ABC的面积之比大于的概率.

解:如图,设点P,C到边AB的距离分别为dP,dC,则S△ABP=AB·dP,S△ABC=AB·dC,
所以.要使,只需点P落在某条与AB平行的直线EF的上方,当然点P应在△ABC之内,而这条与AB平行的直线EF与AB的距离等于dC,由几何概型概率公式,得P=.
10.两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时,求有一艘船欲停靠泊位时必须等待一段时间的概率.

解:分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间,一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0≤x-y≤2,0≤y-x≤1,即(x,y)落入如图阴影区域,因此所求概率为
≈0.121.
11.某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件东西丢在了途中,若东西掉在河里,则找不到;若东西不掉在河里,则能找到,已知该件东西能被找到的概率为,问河宽为多少?
解:设“该件东西能被找到”为事件A,由已知P(A)=,得x=100.
答:河宽为100m.

12.在区间[-1,1]上任取两实数a,b,求方程x2+ax+b2=0的两根:
(1)都是实数的概率;
(2)都是正数的概率.

解:如图,把a,b分别看作平面直角坐标系中的横坐标、纵坐标,则总区域面积为4.
(1)要使方程两根为实数,只需Δ=a2-4b2≥0,
则|a|≥2|b|,
区域为图中所示阴影部分,面积为1,
所以所求概率为.
(2)要使两根均为正数,则应满足:
所以区域仅为阴影部分的左半部分,面积为,故所求概率为.

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