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一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )
A．6 B．3
C．11 D．12
2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )
A．32 B．28
C．24 D．20
3．(11～12学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧
视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )
A．1 B.
C. D.
4．体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
A．54cm3 B．54πcm3
C．58cm3 D．58πcm3
5．圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )
A．1:1 B．1:6
C．1:7 D．1:8
6．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
A. B．5
C．4 D.
7．(2009·陕西高考)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
8．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
9．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )
A．6π B．5π
C．4π D．3π
10．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A．29cm B．30cm
C．32cm D．48cm
二、填空题
11．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
12.(2010·天津理)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为____．
13．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1:V2＝________.
14．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
三、解答题
15．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
17．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出多面体的俯视图．
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
18．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．
详解答案
1[答案] A
[解析] 设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.
2[答案] B
[解析] 上底面积S1＝6××22＝6，
下底面积S2＝6××42＝24，
体积V＝(S1＋S2＋)·h
＝(6＋24＋)×2＝28.
3[答案] D
[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．
体积V＝××1×1×1＝.
4[答案] A
[解析] 由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26，∴ 小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.
5[答案] C
[解析] 如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，
∵O′为PO中点，∴PO′＝，
∵＝＝，∴O′A＝，
∴V圆锥PO′＝π·2·
＝πR2h.
V圆台O′O＝··＝πR2h.
∴＝，故选C.
[点评] 由圆锥的平行于底面的截面性质，截得小圆锥与原来圆锥的高的比为1:2，故体积比为1:8，因而上、下两部分体积比为1:7.
6[答案] C
[解析] 本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为边长为1的正六边形，高为1，则直接代公式可求．
7[答案] B
[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B.
8[答案] C
[解析] 若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π×()2×1＝≠，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝(π×12×1)＝≠，所以D选项不是；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝×1×1×1＝，所以C选项符合题意，故选C.
9[答案] D
[解析] 如图所示，所形成的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分，这两个圆锥的底面半径r＝AD＝ABsin60°＝2×＝，小圆锥的高是BD＝ABcos60°＝2×＝1，大圆锥的高是CD＝BD＋BC＝1＋3＝4，则所形成的几何体的体积是×π×()2×4－×π×()2×1＝3π.
10[答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)．
11[答案]
[解析] 设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
12[答案]
[解析] 由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝.
13[答案] 7:5
[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E、F分别为AC、AB的中点，
所以S△AEF＝S，所以V1＝h(S＋S＋)＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.
所以V1:V2＝7:5.
14[答案]
[解析] 两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，
所以所求几何体的体积为.
15[答案] 或
[解析] 如图所示，当BC为底面周长时，半径r1＝，
则体积V＝πr·AB＝π()2×6＝；
当AB的底面周长时，半径r2＝＝，
则体积V＝πr·BC＝π()2×3＝.
16[解] 由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD.如图所示．
AB＝8，BC＝6，高VO＝4.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥中侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形．
在△VBC中，BC边上的高
h＝＝＝4.
在△VAB中，AB边上的高
h2＝＝＝5.
所以此几何体的侧面积
S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.
17[解] (1)俯视图如图所示．
(2)所求多面体体积
V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－×(×2×2)×2
＝(cm3)．
18[答案] 144
[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.
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