积分变换讲名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,积分变换,第6讲,第1页,1,拉氏变换性质,本讲介绍拉氏变换几个性质,它们在拉氏变换实际应用中都是很有用.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换函数都满足拉氏变换存在定理中条件,而且把这些函数增加指数都统一地取为,c,.在证实性质时不再重述这些条件,第2页,2,1.线性性质,若,a,b,是常数,L,f,1,(,t,)=,F,1,(,s,),L,f,2,(,t,)=,F,2,(,s,),则有,L,a,f,1,(,t,)+,b,f,2,(,t,)=,a,F,1,(,s,)+,b,F,2,(,s,),L,-,1,a,F,1,(,s,)+,b,F,2,(,s,)=,a,f,1,(,t,)+,b,f,2,(,t,),此线性性质依据拉氏变换定义就可得出.,第3页,3,微分性质,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则有,L,f,(,t,)=,sF,(,s,),-,f,(0)(2.3),证,依据分部积分公式和拉氏变换公式,第4页,4,推论,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,L,f,(,t,)=,s,L,f,(,t,),-,f,(0)=,s,s,L,f,(,t,),-,f,(0),-,f,(0)=,s,2,L,f,(,t,),-,sf,(0),-,f,(0).,L,f,(,n,),(,t,)=,s,L,f,(,n,-,1),(,t,),-,f,(,n,-,1),(0)=,s,n,F,(,s,),-,s,n,-,1,f,(0),-,s,n,-,2,f,(0),-,.,-,f,(,n,-1),(0)(2.4),第5页,5,尤其,当初值,f,(0)=,f,(0)=.=,f,(,n,-,1),(0)=0时,有,L,f,(,t,)=,sF,(,s,),L,f,(,t,)=,s,2,F,(,s,),.,L,f,(,n,),(,t,)=,s,n,F,(,s,)(2.5)此性质能够使我们有可能将,f,(,t,)微分方程转化为,F,(,s,)代数方程.,第6页,6,例1,利用微分性质求函数,f,(,t,)=cos,kt,拉氏变换.因为,f,(0)=1,f,(0)=0,f,(,t,)=,-,k,2,cos,kt,则,L,-,k,2,cos,kt,=,L,f,(,t,)=,s,2,L,f,(,t,),-,sf,(0),-,f,(0).即,-,k,2,L,cos,kt,=,s,2,L,cos,kt,-,s,移项化简得,第7页,7,例2,利用微分性质,求函数,f,(,t,)=,t,m,拉氏变换,其中,m,是正整数.因为,f,(0)=,f,(0)=.=,f,(,m,-,1),(0)=0,而,f,(,m,),(,t,)=,m,!所以,L,m,!=,L,f,(,m,),(,t,)=,s,m,L,f,(,t,),-,s,m,-,1,f0),-,s,m,-,2,f,(0),-,.,-,f,(,m,-,1),(0)即,L,m,!=,s,m,L,t,m,第8页,8,另外,由拉氏变换存在定理,还能够得到象函数微分性质:若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,F,(,s,)=,L,-,tf,(,t,),Re(,s,),c,.(2.6)和,F,(,n,),(,s,)=,L,(,-,t,),n,f,(,t,),Re(,s,),c,.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛积分积分和求导能够调换次序,第9页,9,例3,求函数,f,(,t,)=,t,sin,kt,拉氏变换.,第10页,10,3.积分性质,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),第11页,11,重复应用(2.8)式,就可得到:,第12页,12,由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,第13页,13,例4,求函数,拉氏变换.,第14页,14,其中,F,(,s,)=,L,f,(,t,).此公式惯用来计算一些积分.比如,第15页,15,4.位移性质,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则有,L,e,at,f,(,t,)=,F,(,s,-,a,)(Re(,s,-,a,),c,).(2.12),证,依据拉氏变换式,有,上式右方只是在,F,(,s,)中将,s,换为,s,-,a,所以,L,e,at,f,(,t,)=,F,(,s,-,a,)(Re(,s,-,a,),c,),第16页,16,例5,求,L,e,at,t,m,.,例6,求,L,e,-,at,sin,kt,第17页,17,5.,延迟性质 若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),又,t,0时,有|e,-,s,t,|0,有,第23页,23,例9,求如图所表示单个半正弦波,f,(,t,)拉氏变换,O,T,2,t,E,f,(,t,),T,2,T,2,O,O,E,E,T,T,t,f,1,(,t,),f,2,(,t,),t,第24页,24,由前图可知,f,(,t,)=,f,1,(,t,)+,f,2,(,t,),所以,第25页,25,例10,求以下列图所表示半波正弦函数,f,T,(,t,)拉氏变换,T,2,3,T,2,5,T,2,t,T,2T,O,E,f,T,(,t,),第26页,26,由例9可得从,t,=0开始单个半正弦波拉氏变换为,从而,第27页,27,这是一个求周期函数拉氏变换简单方法,即设,f,T,(,t,)(,t,0)是周期为,T,周期函数,假如,且,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,第28页,28,初值定理与终值定理,第29页,29,证,依据拉氏变换微分性质,有,L,f,(,t,)=,L,f,(,t,),-,f,(0)=,sF,(,s,),-,f,(0)两边同时将,s,趋向于实正无穷大,并因为,第30页,30,(2)终值定理,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),且,sF,(,s,)在Re(,s,),0区域解析,则,第31页,31,证,依据定理给出条件和微分性质,L,f,(,t,)=,sF,(,s,),-,f,(0),两边取,s,0极限,并由,第32页,32,这个性质表明,f,(,t,)在,t,时数值(稳定值),能够经过,f,(,t,)拉氏变换乘以,s,取,s,0时极限值而得到,它建立了函数,f,(,t,)在无限远值与函数,sF,(,s,)在原点值之间关系.在拉氏变换应用中,往往先得到,F,(,s,)再去求出,f,(,t,).但经常并不关心函数,f,(,t,)表示式,而是需要知道,f,(,t,)在,t,和,t,0时性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由,F,(,s,)来求出f(t)两个特殊值,f,(0),f,(+).,第33页,33,例11,若,依据初值定理和终值定理,第34页,34,第35页,35,