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1.3 算法案例双基达标)
1．利用秦九韶算法求P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时P(x0)的值，需做加法和乘法的次数分别为 ( )
A．n，n B．n，
C．n,2n＋1 D．2n＋1，
解析 由秦九韶算法知P(x0)＝(…((anx0＋an－1)x0＋an－2)x0＋…＋a1)x0＋a0，上式共进行了n次乘法运算和n次加法运算．
答案 A
2．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为 ( )．
A．12 B．11 C．10 D．9
解析 101(2)＝22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.
答案 B
3．4 830与3 289的最大公约数为 ( )．
A．23 B．35 C．11 D．13
解析 4 830＝1×3 289＋ 1 541；
3 289＝2×1 541＋207；
1 541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4 830与3 289的最大公约数．
答案 A
4．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．
解析 ∵36与134都是偶数，
∴第一步应为：先除以2，得到18与67.
答案 先除以2，得到18与67
5．将八进制数127(8)化成二进制数为________(2)．
解析 将127(8)化为十进制：127(8)＝1×82＋2×8＋7＝64＋16＋7＝87，再将十进制数87化为二进制数为：
∴87＝1010111(2)．
答案 1010111
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
解 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以v0＝7
v1＝7×3＋6＝27
v2＝27×3＋5＝86
v3＝86×3＋4＝262
v4＝262×3＋3＝789
v5＝789×3＋2＝2 369
v6＝2 369×3＋1＝7 108
v7＝7 108×3＝21 324，
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
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7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2，当x＝4时的值时，先算的是 ( )．
A．4×4＝16 B．7×4＝28
C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34
解析 因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34.
答案 D
8．下列各数中最小的数是 ( )．
A．101 010(2) B．210(8)
C．1 001(16) D．81
解析 101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42.
210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，
1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4 097，故选A.
答案 A
9．用更相减损术求459和357的最大公约数，需要减法的次数为________．
解析 使用更相减损术有：459－357＝102；
357－102＝255；255－102＝153；153－102＝51；
102－51＝51，共作了5次减法．
答案 5
10．用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1的值时，v2的结果是________．
解析 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，
由秦九韶算法的递推关系式(k＝1,2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5.
v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.
答案 6
11．把“三进制”数2 101 211(3)转化为“八进制”的数．
解 先将三进制化为十进制，再将十进制化为八进制．
2 101 211(3)＝2×36＋1×35＋1×33＋2×32＋1×31＋1×30＝1 458＋243＋27＋18＋3＋1＝1 750(10)，
所以2 101 211(3)＝3 326(8)．
12．(创新拓展)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
解 将f(x)改写为
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值，
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
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