【全程复习方略】2013版高中数学-9.5几何概型课时提能训练-苏教版.doc

【全程复习方略】2013版高中数学 9.5几何概型课时提能训练 苏教版
(45分钟 100分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1.(2012·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=，在区间［，3］上任取一点x,使得f(x)＞0的概率为_________.
2.四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点.在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为______.
3.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为______.
4.(2012·徐州模拟)已知正方形的四个顶点分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，2)，C(0，2)，直线y=1-2x与x轴、y轴围成的区域为M.在正方形OABC内任取一点P，则点P恰好在区域M内的概率为______.
5.已知k∈［－2,2］，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于______.
6.(2012·南京模拟)把一根均匀的木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______.
7.(2012·南通模拟)设函数y＝f(x)在区间［0,1］上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间［0,1］上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为______.
8.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是______.
二、解答题(每小题15分，共45分)
9.甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.
(1)求空弹出现在第一枪的概率；
(2)求空弹出现在前三枪的概率;
(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P,Q,R，第四枪瞄准了三角形PQR射击,第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小).
10.投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；
(2)若以落在区域C：x2＋y2≤10上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M.在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.
11.将长为1的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
【探究创新】
(15分)在区间［0,1］上任意取两个实数a，b，求函数f(x)＝x3＋ax－b在区间［－1,1］上有且仅有一个零点的概率.
答案解析
1.【解析】由f(x)＞0得＞0，
即lnx＞0得x＞1，
又∵x∈［，3］，∴P=.
答案：
2. 【解析】如图，根据几何概型的概率公式得概率为
P＝.
答案：1-
3.【解析】如图，在Rt△ABC中，作AM⊥BC，M为垂足.

由题意知：AB＝1，BC＝2，可得BM＝，则∠AMB≥90°的概率为：P＝.
答案：
4.【解题指南】本题属于几何概型问题，如图正方形的边长为2，面积为4，直线y=1-2x与x轴、y轴围成的区域M为图中阴影部分的直角三角形，面积为
××1=，根据几何概型的概率计算公式可求.
【解析】如图，正方形的边长为2，面积为4，

直线y=1-2x与x轴、y轴围成的区域M为图中阴影部分的直角三角形，面积为
××1=，根据几何概型的概率计算公式可得P=.
答案：
【变式备选】若a，b在区间［0，］上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是______.
【解题指南】f(x) 在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0.
【解析】易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个
相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2－12a2>0，又a，b在区间［0，］上取值，则a>0，b>a，满足点(a，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.
答案：
5.【解题指南】由过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切，可得点A在圆外，由此可得k的取值范围.
【解析】∵圆的方程化为(x＋)2＋(y－1)2
＝＋1，
∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.
∵过A(1,1)可以作两条直线与圆(x＋)2＋(y－1)2＝＋1相切，
∴A(1,1)在圆外，得(1＋)2＋(1－1)2>＋1，
∴k<0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k∈［－2,2］，其区间长度为4，所以P＝.
答案：
6.【解析】如图所示，将一根木棒三等分，则在线段AB中或线段CD中拆开时满
足条件，则概率P=.
答案：
7.【解析】这种随机模拟的方法是在［0,1］内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为.
答案：
【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤：
(1)用计算器或计算机产生一系列［0,1］内的随机数；
(2)经平移和伸缩变换，x＝(b－a)x1＋a，y＝(d－c)y1＋c，使得随机数x的范围在［a，b］内，随机数y的范围在［c，d］内；
(3)统计落在所求区域内的随机数组(x，y)的个数N(有时需计算检验);
(4)应用公式S′=·S计算近似的面积，其中S为相应矩形面积(b－a)×(d－c)，M为总的随机数组(x，y)的个数，S′为所求图形(往往是不规则)的面积的近似值.
8.【解题指南】本题实质上就是硬币与两条平行线相离，故可转化为硬币中心到直线的距离问题.
【解析】把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为
事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近
的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM
的长度(记作|OM|)的取值范围就是［0,a］，只有当r＜|OM|
≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是
P(A)=.
答案：
9.【解析】设四发子弹编号为0(空弹)，1，2，3，
(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，第一枪有4个基本事件,则：P(A)=.
(2)方法一:前三枪出现“空弹”的事件为B,则第四枪出现“空弹”的事件为, 那么P()=P(A)，P(B)=1-P()=1-P(A)=1-=.
方法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三个, 则P(B)=.
(3)Rt△PQR的面积为6， 分别以P,Q,R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为,
设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,P(C)=.
10.【解析】(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，
(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，
(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10
上的点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共
4种.
故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为.
(2)区域M为一个边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.
11.【解题指南】设出其中两边，再根据任意两边之和大于第三边构造不等式求解.
【解析】设事件A表示“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为1－x－y，则试验的全部结果可构成集合Ω={(x,y)|0<x<1,0<y<1,0<x+y<1}，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>1－x－y⇒x+y>,x+1－x－y>y⇒y<,y+1－x－y>x⇒x<.
故所求结果构成集合A={(x,y)|x+y>,y<,x<}.
由图可知，所求概率为
P(A)=.
【探究创新】
【解析】f′(x)＝x2＋a≥0，故函数f(x)＝x3＋ax－b在区间［－1,1］上有且仅有一个零点等价于f(－1)·f(1)≤0，
即(－－a－b)·(＋a－b)≤0，
得(＋a＋b)·(＋a－b)≥0，
又0≤a≤1,0≤b≤1，所以得
画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分，
由得
令a＝0，代入a－b＋＝0，
得
所以阴影部分的面积为1－.
所以P＝＝.
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