具有退化鞍点的同宿轨附近的Melnikov展开式.pdf

第 卷 第 期 年 月山 东 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)().收稿日期:基金项目:山东省高等教育本科教学改革研究项目()第一作者:尚德生男.文章编号:()具有退化鞍点的同宿轨附近的 展开式尚德生 陈琛(.山东理工大学 数学与统计学院 山东 淄博.国网山东省电力公司 淄博供电公司 山东 淄博)摘要:对具有退化鞍点的同宿轨附近的一阶 函数的展开式进行探索导出了其具体展开式并对 时的情形给出展开式前八项及其系数关键词:退化鞍点 函数极限环同宿轨分支中图分类号:.文献标志码:(.):.:同宿和异宿分支的研究是平面分支理论研究中的一个非常复杂又有意义的课题 当一个给定系统的奇闭轨是同宿或异宿于双曲鞍点时已经有很多比较完善的理论和应用成果但是当奇闭轨是同宿或异宿于非双曲鞍点或者更加复杂的退化奇点(如退化鞍点或者尖点)时的分支问题研究却是一个非常复杂而有意义的挑战 对于奇点是幂零鞍点和幂零尖点的情形下的奇闭轨分支学者都进行了比较系统的讨论并给出了同宿轨附近具体的 函数展开式后来陆续对一些不同类型的相关微分系统作了讨论和应用 但是对更进一步的退化奇点情形的同宿或异宿分支问题至今还很少见到有意义的成果 文献对退化尖点环附近的 函数展开式作了一些探索 本文在文献的启发下对一类具有退化鞍点的同宿轨附近的 函数展开式进行探讨并对 在一个等于 另一个大于 时的幂零鞍点环的展开式情况与文献的结果加以比较验证考虑微分系统()()()()()式中()()为 的多项式假设在 时对应的 系统 ()相应的 函数()满足:()且()()()其中()()的系数满足 说明:)当 时原点是系统()的初等鞍点)当 中一个等于 另一个大于 时原点是系统()的幂零鞍点)当 都大于 时原点是系统()的退化鞍点假设未扰系统()具有通过鞍点()的同宿轨 和双同宿轨 以及围绕这些奇闭轨的左右周期轨 ()和围绕的大周期轨 ()这里 都大于零由假设可令多项式()()满足:()()()()其中()()且()为了后面计算方便记 其中()()()()()()()是原点附近 与 轴的交点且 在周期环域:()()()内扰动系统()的极限环个数可由周期扰动下的一阶 函数()()()的零点个数来确定根据格林公式得只需要讨论系统()的一阶 函数()()()式中:()()()()是系统()的扰动参数首先当 成立若设()()()()()()则将式()、式()代入式()后借助数学计算软件 可根据需要递推地求得前面各项的系数 这样变换式()下()转化为()且存在唯一的正数 使得()成立将式()、式()代入式()得()()()()式 中:()()()()()()()()记()()()式中 是参数 的函数关系式()()显然直接计算式()得()()()()对于()()()有下述结论成立 引理 对非负整数 ()满足如下递推公式:()()()()()()()()()()()()()()()()()()证明利用分部积分法式()可化为()()()()()()()即()()()()()整理可得式()成立同样利用分部积分法式()化为第 期 尚德生等:具有退化鞍点的同宿轨附近的 展开式()()()()()()即 ()()()()整理可得式()成立因为对任意 存在唯一的非负整数 使得 其中 根据引理 可以递推地得到引理 引理 对非负整数 存在解析函数()使得()满足()()()()式中:且 分别为:()()()()()()()()()()()()()()()()()()由于()()()()()根据引理 递推地可以得到对满足 的正整数都有()当 时对于()的具体表达式可以给出如下结论引理 当 且 满足 时存在与 无关的常数及()使得()()()成立其中 满足下列式子:)当 时()()()()()()()()()当 时有()()()证明 当 时式()可写成()()()()通过变量变换 ()可将式()化为()()()()当 时 根据泰勒公式()其中 将式()化为山 东 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)年()()()显然 ()当且仅当 且 满足 成立 这时易得式()成立而当 满足 时式()可化为()()()式中:()()收敛且是与 无关的常数()()()()下面推导 的具体表达式因为 与 无关不失一般性不妨取 则()()()这样一方面对式()两边关于 求导得()()()()()()另一方面由式()取 并两边关于 求导得()()()()同样经过式()变换可将式()化为()()()()这样当 时由于()()()()()()()()()()()所以结合式()和式()可得()()()()()()()()()()()()同时根据式()可得 ()成立这样根据式()并结合引理 及引理 可得对 且当 满足 时有()()()当 满足 时有第 期 尚德生等:具有退化鞍点的同宿轨附近的 展开式()()()()因此利用式()和式()结合引理 引理并将式()和式()代入式()可以得到 函数在 附近的展开式定理 在文中所给的退化鞍点环的假设下未扰系统()在退化鞍点环附近的 函数展开式为()()()()()()()()式中()说明:)定理 中 当 时则有 而()()即为 这时式()变为()()这个结果与文献的结论完全相同)定理 中 当 时则有 而()()即为 这时式()变为()()()这个结果用于计算文献中幂零鞍点处的双同宿轨附近展开式会更简单一些另外在 时的 函数展开式有推论 推论 在 时系统()在退化鞍点环 附近的 函数展开式为()()并且展开式的系数为:()()()()()()()()其中:()/.()/.()/()/.()/()/.推论 的证明利用文献的证明可以直接得到 的结果 由引理 引理 以及所给的定理 利用 并根据式()即可推导出系数 参考文献:韩茂安.动力系统的周期解和分支理论.北京:科学出版社.韩茂安.极限环分支理论.北京:科学出版社.():.(下转第 页)山 东 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)年参考文献:李阳许占民.产品造型创新设计的文法化推演研究.机械设计():.曾栋程海峰李坤刚等.感性工学在汽车造型设计中的应用现状与发展趋势.现代制造工程():.程东燚郑刚强易梓寒.基于感性工学的电动平衡车外观设计研究.艺术与设计(理论)():.王伟伟杨延璞杨晓燕等.基于形状文法的产品形态创新设计研究与实践.图学学报():.苏建宁李晓晓王鹏等.面向品牌风格的机械装备造型创新设计研究.包装工程():.苏建宁王鹏张书涛等.产品意象造型设计关键技术研究进展.机械设计():.伍琴吕健潘伟杰等.基于案例的文化创意产品设计方法研究.工程设计学报():.韩蕴晖沙强.基于形状文法的电动汽车设计研究.设计():.柳禄章永年丁为民等.多目标驱动的拖拉机产品族外形基因设计.农业工程学报():.郭惠萍.基于前脸特征的轮式拖拉机形态设计与感性评价方法研究.陕西杨凌:西北农林科技大学.(编辑:郝秀清)(上接第 页).:/:.():.():.:():.():.尚德生王政.一类退化尖点环附近 函数展开式.山东理工大学学报(自然科学版)():.(编辑:杜清玲)山 东 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)年