全国高中数学联赛试题及解析 苏教版20.doc

2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00-9:40）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) Æ
2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )
(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎ Z
(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎ Z
3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)6
4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
6．设ω=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0
(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000°)=__________．
2．设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.
3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.
4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎN*，求f(n)=的最大值．
2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
2000年全国高中数学联赛二试题
（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
A
B
C
D
E
F
M
N
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n }满足a0=1，a1=4，a2=49，且
n=0，1，2，……
证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) Æ
解：A={2}，B={2，－1}，故选D．
2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )
(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎZ
(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎZ
解：满足sina＞0，cosa＜0的α的范围是(2kp+，2kp+π)，于是的取值范围是(+，+)，
满足sin＞cos的的取值范围为(2kp+，2kp+)．故所求范围是(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎZ．选D．
3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)6
解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，)，
∴ S=3．选C．
4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=；
△=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)2<0．选A．
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．
∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．
6．设ω=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0
(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0
解：ω5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000°)=__________.
解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－．
2．设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.
解：an=3n－2C．∴ ==，故填18．
3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.
解：q=====．填．
4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2．
故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°．
或由b2=a2－c2=a2=ac，得解．
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a，
AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH．
OH==a．V=πr3=πa3．填πa3．．
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________
解：a、c可以相等，b、d也可以相等．
⑴ 当a、c相等，b、d也相等时，有C=6种；
⑵ 当a、c相等，b、d不相等时，有A+A=8种；
⑶ 当a、c不相等，b、d相等时，有CC+C=8种；
⑷ 当a、c不相等，b、d也不相等时，有A=6种；共28种．填28．
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎN*，求f(n)=的最大值．
解：Sn=n(n+1)，f(n)= = ≤．(n=8时取得最大值)．
2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
解：⑴ 若a≤b<0，则最大值为f(b)=－b2+=2b．最小值为f(a)=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．
⑵ 若a<0<b，当x=0时，f(x)取最大值，故2b=，得b=．
当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－a2+=2a时．a=－2±，但a<0，故取a=－2－．由于|a|>|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+==2a>0．与a<0矛盾．故舍．
⑶ 0≤a<b．此时，最大值为f(a)=2b，最小值为f(b)=2a．
∴ －b2+=2a．－a2+=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3．
∴ [a，b]=[1，3]或[－2－，]．
3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
解：设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS是菱形．于是OP⊥OQ．
设P(r1cosθ，r1sinθ)，Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用△POQ的面积)．即+=1．
但+=1，即=+，
同理，=+，相加得+=1．
反之，若+=1成立，则对于椭圆上任一点P(r1cosθ，r1sinθ)，取椭圆上点Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则=+，，=+，，于是+=+=1，此时PQ与C0相切．即存在满足条件的平行四边形．
故证．
第二试
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
证明：连MN，则由FM⊥AM，FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆，且该圆的直径为AF．又ÐAMN=ÐAFN，但ÐFAN=ÐMAD，故ÐMAD+ÐAMN=ÐFAN+ÐAFN=90°．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，MN=AFsinA．
∴SAMDN=AD·MN=AD·AFsinA．
连BD，由ÐADB=ÐACF，ÐDAB=ÐCAF，得⊿ABD∽⊿AFC．
∴ AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=AB·AC．
∴ SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC．
二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n }满足a0=1，a1=4，a2=49，且
n=0，1，2，……
证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
证明 ⑴×7：7an+1=49an+42bn－21，
⑵×6：6bn+1=48an+42bn－24．
两式相减得，6bn+1－7an+1=－an－3，即6bn=7an－an－1－3．
代入⑴：an+1=14an－an－1－6．故an+1－=14(an－)－(an－1－)．
其特征方程为x2－14x+1=0，特征方程的解为x=7±4．
故an=α(7+4)n+β(7－4)n+,现a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=．
∴ an=(7+4)n+(7－4)n+=(2+)2n+(2－)2n+
=[(2+)n+(2－)n]2．
由于[(2+)n+(2－)n]是整数，故知an是整数的平方．即为完全平方数．
三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
解：由条件知，统计各n－2人组的通话次数都是3k次，共有C=C个n－2人组，若某两人通话1次，而此二人共参加了C= C个n－2人组，即每次通话都被重复计算了C次．即总通话次数应为·3k次．
由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n∙3k．
若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0．
由n－2|3k，n=3m+2，(m为自然数，且m≤k)，此时
·3k =·3k=[3m+4+]·3k－m，即3m－1|6．
∴ m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．
又：n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求．
∴ n=0，5．