考虑前置通信与时变时滞的车辆跟随系统稳定性分析.pdf

ISSN 1674-8484CN 11-5904/U汽车安全与节能学报,第14 卷 第 4 期,2023 年J Automotive Safety and Energy,Vol.14 No.4,2023考虑前置通信与时变时滞的车辆跟随系统稳定性分析周俐光1，许 航2，上官星辰2，闫 晨3（1.湖南中车智行科技有限公司，长沙 410000，中国；2.中国地质大学(武汉)自动化学院，武汉430074，中国；3.长江三峡通航管理局，宜昌 443000，中国）摘 要：为提高汽车队列行驶的安全性，针对存在时变时滞的车辆跟随系统稳定性问题，提出了基于Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF)的时滞相关稳定分析方法，以估计系统稳定容许时滞变化范围。对具有时变时滞的车辆跟随系统，建立了 具有双时变时滞的系统模型；考虑2个时变时滞变量的关系构造LKF，通过矩阵不等式处理后给出具有双时变时滞系统的稳定性判据；针对4 车队列利用MATLAB 软件计算不同控制参数下的时滞容许范围。结果表明：在测试设定的车辆跟随系统的参数下，控制器增益与系统能够容许的最大时滞成反比关系；相同参数下，高速行驶的车辆队列受时滞的影响更大；提出的稳定分析方法可以得到保证系统稳定最大容许时滞，为设计实际车辆跟随队列的控制器提供稳定性判据。关键词：车辆跟随系统；时变时滞;稳定性分析；Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF)中图分类号：U 461.6 文献标识码：A DOI:10.3969/j.issn.1674-8484.2023.04.008Stability analysis of the vehicle platoon system considering predecessor following and time-varying delayZHOU Liguang1,XU Hang2,SHANGGUAN Xingchen2,YAN Chen3(1.Hunan CRRC Zhixing Technology Co.,LTD,Changsha 410000,China;2.School of Automation,China University of Geosciences(Wuhan),Wuhan 430074,China;3.Three Gorges Navigation Authority,Yichang 443000,China)Abstract:In order to improve the safety of vehicle queuing,a delay-dependent stability analysis method based on Lyapunov-Krasovskii functional(LKF)was proposed to estimate the range of allowable time delay for vehicle following system with time-varying delay.For the vehicle following system with time-varying delay,a system model with double time-varying delay was established.Considering the relationship between two time-varying delay variables,LKF was constructed,and the stability criterion of the system with double time-varying delay was given after processing by matrix inequalities.The allowable range of time delay under different control parameters was calculated by MATLAB software for 4 vehicle lines.The results show that the controller gain is inversely proportional to the maximum time delay allowed by the system under the parameters of the vehicle following system;and under the same parameters,the delay is more important to 收稿日期/Received：2022-10-04。修回日期/Revised：2023-06-13。基金项目/Supported by：国家自然科学基金青年项目(62203409)。第一作者/First author：周俐光(1985)，男(汉)，湖北，工程师。E-mail：。8/14463 471汽车安全与节能学报464第 14 卷 第 4 期 2023 年the high-speed vehicle queue;The proposed stability analysis method can obtain the maximum allowable time delay to ensure the stability of the system,and provide stability criteria for designing the controller of the actual vehicle following queue.Key words:vehicle platoon system;time-varying delay;stability analysis;Lyapunov-Krasovskii functional(LKF)随着移动互联、大数据等新兴技术的迅速发展，以提高交通安全和效率为目标，汽车智能化、网联化已成为汽车产业发展的必然趋势。智能网联汽车最关键的问题是如何有效分析和确保车辆跟随系统的稳定性，稳定意味着车辆能够保持合理的车辆间距而队列有序行驶。车辆的队列行驶形式一般为 Leader-Follower 形式1，即车辆进行队列行驶时，其分为引导车辆和跟随车辆，跟随车辆的状态受引导车辆状态变化的影响。在考虑车辆跟随系统中车辆的跟驰行为时，其会受到通信模式、车辆间距策略、控制架构和通信时滞的影响，所以学者们在建立系统模型时往往会综合考虑这些 因素。考虑跟驰行为时，由于前后车在速度方面一般需要保持一致，而在位置方面就需要确立车辆间距策略。文献 2-4 聚焦于车辆间距的问题，利用恒定时距策略解决了车辆队列的行驶问题。另外，于晓海等5通过考虑车辆间通信受限或受损的情况，提出了一种车队控制的通用可变时距策略，这是恒定时距策略的推广。当车辆间距策略确立以后，车辆需要决定通信模式。常见的通信模式有前置跟随（predecessor following，PF）、双前置跟随模式（two-predecessor following，TPF）6。文献 7 为提高队列行驶道路利用率，针对通信拓扑不确定问题，提出了分布式 H控制方法。控制架构分为集中式控制架构和分散式控制架构，基于不同架构的系统在通信过程中不可避免地会存在时滞现象8。考虑到车辆跟随系统中的车辆相互耦合，任何微小时滞引起的操作误差，都有可能沿着车辆队列向后传播，影响到控制的实时性和有效性，降低系统的动态性能，甚至破坏系统的稳定性，导致发生交通事故。可见，分析具有时滞现象的车辆跟随系统的稳定性是 必要的。针对车辆跟随系统中的时滞现象，主要利用Lyapunov 函数分析系统的稳定性。文献 9 为提高协作式的自动驾驶车队的纵向控制器的鲁棒性，提出了考虑车辆执行器时延和车车通信时延因素的纵向控制方法。文献 10 为分析存在时滞的切换通信跟车队列稳定性，基于 Lyapunov-Krasovskii 泛函(Lyapunov-Krasovskii function,LKF)提出了一种自适应的分布式控制策略。在与车辆队列相关的泛函构造方法里，文献 11 构造 LKF 时考虑了增广型泛函，进而分析了车辆队列的稳定性。文献 12 在构造 LKF 时使用了时滞分割型泛函，并研究了具有概率故障和时变通信延迟的车辆事件触发队列控制。在分析车辆队列稳定性而设计的 LKF 时，文献 13 基于 Leader-Follower 模式和多智能体系统框架，利用 Moon 不等式分析系统的稳定性，提出了一种新的分布式鲁棒 PID 控制方法。文献 14 针对异构车辆车队控制问题，利用自由权矩阵方法对 LKF 的导数中积分项进行处理，降低了系统的保守性。文献 15 建立了考虑通信信道衰落引起的具有时变时滞的车辆网联控制系统模型，并利用 Bessel-Legendre 积分不等式来处理 LKF 的导数。为了探究线性跟随模型的通信时滞上限，为实际通信下采用反馈控制的车辆系统提供参考。文本基于前置跟随通信模式与集中式控制架构，建立了具有双时变时滞特性的线性系统模型；针对系统具有双时变时滞的特性，通过考虑 2 个时变时滞变量相关参数之间的关系构造 LKF，并利用 Wirtinger 积分不等式和改进逆凸矩阵不等式对泛函导数中的积分项进行处理，得到了稳定性准则；最后计算了保证系统稳定时的最大容许时滞，并通过仿真实例验证系统的稳定性。1 考虑前置跟随通信模式的系统建模考虑一列通过无线通信进行信息交互的车辆跟随系统，由于系统的通信条件受到环境限制。在无线通信情况下，为保证系统中的前后车辆仍能进行正常的信息交互，选择前车的信息向队列中后车直接传输的通信模式，即 PF 通信模式。系统采用集中式控制架构，此控制结构如图1所示。控制器通信装置.动力系统动力系统第(i+1)辆车第(i-1)辆车通信装置动力系统第i辆车通信装置图 1 集中式控制架构控制结构图465周俐光，等：考虑前置通信与时变时滞的车辆跟随系统稳定性分析从图1可以看到，车辆需要通过传感器和通信装置获取其他车辆的相关信息，然后通过通信装置发送给主机；由主机根据数据和控制算法计算出控制量，由通信装置接收；再根据控制量对车辆进行调整。因此，对于第 i 辆车存在 2 条信息传输通道：1）通信装置（i1）至通信装置（i）再至控制器的信息接收通道；2）控制器至通信装置（i）的信息发送通道。但这 2 条信息传输通道均存在通信时滞。考虑到采用的集中式控制架构中，所有车辆均需与主机进行通信，但发送与接收 2 个通道的信息传输都存在时滞现象，且 2 个通道传输的通信条件有可能不同，意味着时滞的属性可能各不相同。为了使建模更贴近实际情况，将通信中的时滞视为双时变时滞。因此基于 PF 通信模式拓扑结构和车辆动力学分析，将车辆跟随系统建模为双时变时滞系统。选用线性车辆模型，针对汽车的位置、速度与加速度之间的线性关系进行系统稳定性分析，且采用的车辆动力参数均相同。基于车辆的线性动力学模型，车辆队列中每辆车的位置、速度与加速度的关系为 (1)其中：si(t)、vi(t)、ai(t)、ui(t)分别为第i辆车的位置、速度、加速度与控制输入，是动力时间常数。将(1)写作状态空间表达式可得：(2)其中，。车辆队列的引导车会按照预定的情形进行行驶，在预定行驶条件下，其位置、速度与加速度满足 (3)其中：x0(t)=s0(t)v0(t)a0(t)，s0(t)、v0(t)以及 a0(t)分别为预定行驶情形下的车辆的位置、速度、加速度。根据 PF 通信模式，规定车辆跟随系统中车辆正常行驶需要满足(4)的条件：(4)其中，di-1,i表示第 i1 辆车与第 i 辆车之间的理论跟随间距。考虑控制车辆时的时滞现象并选取比例控制器 如下：.其中：ei(t)=xi-1(t)xi(t)Di-1,i为第 i 辆车的误差函数，KP为控制器增益，Di-1,i=di-1,i 0 0T为间距矩阵，U=U1 U2 0 为误差补偿系数矩阵，1(t)与 2(t)为通信时滞，s 表示位置差量，v 表示速度差量。对控制器进行变换，可以得到：其中：e t1(t)2(t)=cole1t1(t)2(t),en t1(t)2(t)，(U)=diagU,U。对上述误差函数进行求导，进行变换可以得到：.(5)(6)汽车安全与节能学报466第 14 卷 第 4 期 2023 年其中，f(A)=diagA,A，.此外，由矩阵 A 与 D 的定义可得 ADi,i-1=0。综合以上的分析，同时为了便于分析与表达，基于PF通信模式与双时变时滞建立的系统状态空间表达式为.(7)该系统的双时滞 1(t)与 2(t)及其导数满足：(8)其中：h1与 h2为时滞变量上界，1与 2为时滞导数绝对值的上界。为了便于后续的描述，对时滞表达形式进行如下定义：(9)2 基于时滞分割泛函的稳定性分析为了分析双时变时滞对于车辆跟随系统稳定性的影响，本文对存在双时变时滞的车辆跟随系统，基于Lyapunov 稳定性理论，利用双时变时滞变量相关参数之间的关系，通过时滞分割的方式构造LKF，并利用积分不等式方法来估计泛函导数，进而提出了稳定性准则。2.1 时滞分割泛函构造构造如下的泛函：(10)其中：上述构造的时滞分割泛函中，引入了3(t)=1(t)+h2，对时滞区间进行分割，得到了t-h,t-3(t)、t-3(t),t-(t)、t-(t),t-1(t)、t-1(t),t 共 4 个区间，并对 2 个时滞变量相关参数之间的大小关系进行组合。这样的分割方式减小了使用积分不等式估计时的误差，同时用状态变量围绕分割后的时滞区间构造 LKF，将 t-3(t)引入积分上下界后构造 V1(t)和 V2(t)，充分利用了时滞相关的信息。稳定性分析过程中使用的引理如下。引理 1(Wirtinger 积分不等式)16：对于满足 a b的标量 a 和 b，若存在正定矩阵 R 和向量，则下列不等式成立：(11)其中，。引理 2 (改进逆凸矩阵不等式)17：对于满足条件(0,1)的标量 和正定矩阵 R1、R2，若存在合适维度的任意矩阵 S1,S2，则下列不等式成立：（12）其中：，*表示对称矩阵。引理 3 (Schur 补)18：对 于 给 定 的 对 称 矩 阵，其中，以下条件是等价的：2.2 稳定性准则针对基于集中式控制架构与 PF 通信模式建立的系统，见式（7）所示，通过考虑状态增广和时滞分割方式来构造 LKF，并利用 Wirtinger 积分不等式和改进逆凸矩阵不等式估计泛函导数积分项，可以得到如下稳定性准则。定理 1：对于给定标量 h1、h2、1、2，若存在正定矩阵 P、Q1、Q2、Q3、Q4和 R 合适维度的任意矩阵 S1、S2，使得不等式(13)对于 1(t)0,h1、2(t)0,h2，其导数绝对值|1(t)|-1,1、|2(t)|-2,2均成立，467周俐光，等：考虑前置通信与时变时滞的车辆跟随系统稳定性分析那么系统(6)是渐近稳定的。(13)其中：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)证明：若 P 0，Q1 0，Q2 0，Q3 0，Q4 0，以及 R 0 成立，则存在足够小的标量 0，使得V(t)|x(t)|2成立，即 L-K 泛函自身正定。V1(t)的导数计算可以得到 (24)其中，F1和 F2的定义见式(17)和式(18)。.V2(t)的导数计算得到 （25）汽车安全与节能学报468第 14 卷 第 4 期 2023 年其中，G 的定义见(19)。V3(t)的导数为 （26）那么V(t)的导数可以表示为 （27）其中，。针对上式泛函导数出现的积分项，根据时滞变量之间的关系，对其进行上下限分段处理：（28）对时滞分段后的积分项使用引理1得到 （29）其中，Ei和 R的定义见式(17)和式(19)。同理可得：（30）（31）（32）对以上4 式进行处理得到：(33）（34）使用引理 2 对以上两式右边的项进行处理可以得到：（35）469周俐光，等：考虑前置通信与时变时滞的车辆跟随系统稳定性分析其中，d的定义见式(14)。基于引理 3，LKF 导数中函数成立等价于式(13)成立。基于凸组合技术19可知，函数 2(t)分别对时滞变量及其导数为线性相关，满足式(8)，则存在足够小的标量 0，使得V(t)|x(t)|2成立，即系统(7)渐近稳定。3 实例分析基于建立的双时变时滞车辆跟随模型，见式(7)，根据定理1，算出由 1辆引导车 3 辆跟随车构成的 4 车队列在不同控制参数下的时滞稳定裕度(即保证系统稳定前提下，其能够容许的时滞变量最大上界)，并对时滞稳定裕度与控制增益之间的关系进行分析，并确定控制参数。根据中华人民共和国道路交通安全法有关规定，对4 车队列分别进行 2 种条件的仿真实验，并分析在给定控制情形下的系统稳定性，同时验证稳定性准则的有效性。仿真实验条件：1）在没有道路中心线公路上以较低速度行驶；2）在高速公路上以较高速度行驶。3.1 时滞稳定裕度计算针对跟随车辆数目n=3 的 4 车队列，考虑具备以下参数的双时变时滞车辆跟随系统模型：.各时滞变量满足条件：02(t)0.2，|1(t)|0.8，|2(t)|0.1。当系统考虑不同的控制器增益与控制补偿参数时，在保证系统稳定前提下，其能够容许的时滞变量最大上界如表 1所示。表 1 4 车队列时滞变量上界误差补偿矩阵U时滞变量上界 2(t)Kp=0.7Kp=0.9Kp=1.0Kp=1.10.4 1.0 00.730 70.577 90.517 80.465 10.5 1.0 00.575 00.463 60.421 10.379 20.9 1.0 00.172 60.137 00.118 40.101 81.0 1.0 00.103 80.075 90.063 70.048 6综合表 1的数据可以看出，随着控制器增益 Kp的增大，时滞稳定裕度逐渐减小，这是因为增大控制器增益 Kp可以提高系统响应速度。但同时由于系统具有惯性，控制增益增大也会增大系统的超调量。对于车辆跟随系统而言，车辆的误差会沿着车辆队列向后逐渐放大，而这个超调量导致超出预期速度的部分需要更严格的通信条件，通过控制器及时调整，这也就导致了系统的时滞稳定裕度逐渐减小。除此之外，控制器的误差补偿矩阵能够补偿控制器的动力损失，并与控制输入正相关，所以补偿系数的增大在控制效果上等价于增大控制增益，从而增大系统的超调量，使得时滞稳定裕度减小。3.2 车辆队列行驶情形仿真考虑跟车车辆数目n=3，动力时间常数 =0.5 的4 车队列，结合表 1中的数据，针对控制器增益 Kp=1.0，误差补偿矩阵的情形，在 MATLAB 软件 SIMULINK中搭建模型，其中时变时滞设定为 (39)该时变时滞显然满足时滞变量对于其导数的要求。根据有关车辆行驶速度的规定可知，机动车在没 （36）那么积分项可以估计为如下形式：（37）其中，1、2、3、4的定义见式(15)、(16)、(21)、(22)。那么，LKF 的导数表示为 （38）汽车安全与节能学报470第 14 卷 第 4 期 2023 年有道路中心线的公路上行驶，最高行驶速度为 40 km/h。据此，为了模拟车辆在没有道路中心线公路上的行驶情形，所设置的引导车速度函数描述如下：(40)其中：v 单位为 m/s，t 单位为 s。对于车辆队列而言，计算相邻两车之间的间隔距离，并将其作为位置判断依据，取函数Di=Si-1(t)-Si(t)作为相邻两车间隔距离函数。在上述设定下，车辆队列中相邻两车间隔距离响应曲线如图 2 所示，可以看到没有出现负值，也就意味着没有出现撞车的情形，且车辆间距最近不超过 6 m，行驶情形安全。510150100200300s/mt/sD1D2D3图 2 城市公路行驶情形相邻两车间距响应曲线3 辆跟随车的速度响应曲线如图 3 所示，由图可见，并没有出现负值，这也就意味着没有倒车的情形，且对于队列中的所有车辆，速度曲线振荡的幅度较小，表明实际情况中乘坐车辆时顿挫感小，驾驶体验较好。根据有关车辆行驶速度的规定可知，机动车在高速公路上行驶，最低时速需要达到 60 km/h，而最高行驶速度不得超过 120 km/h。为了模拟车辆在高速公路上的行驶情形，所设置的速度函数描述如下：(41)0510150100200300v/(m s-1)t/sV0V1V2V3图 3 城市公路行驶情形车辆速度响应曲线同样取函数Di=Si-1(t)-Si(t)作为相邻两车间隔距离函数。在高速公路设定下，车辆队列中相邻两车间隔距离响应曲线如图 4 所示，可以看到，虽然没有出现负值，但是D3几乎接近 0 值，代表前车与后车之间很有可能相撞，是不安全的行驶环境0102030400100200300s/mt/sD1D2D3图 4 高速公路行驶情形相邻两车间距响应曲线3 辆跟随车的速度响应曲线如图 5 所示，可以看到，并没有出现负值，这也就意味着虽然没有倒车的情形，但对于队列中最后一辆车而言，图像表明该车在开始阶段速度振荡较大，在实际乘车体验中呈现顿挫感，乘车体验不舒适。通过以上的分析，可见时滞现象对高速行驶的车辆通信有明显的影响，体现在车辆行驶状态变化幅度大，需要进行保守性更低的稳定性分析与响应效果更好的车辆队列控制器设计。通过以上的分析，可见车辆行驶状态变化幅度大，表明时滞现象对高速行驶的车辆通信有明显的影响因此，需要进行保守性更低的稳定性分析与响应效果更好的车辆队列控制器设计。471周俐光，等：考虑前置通信与时变时滞的车辆跟随系统稳定性分析010203040500100200300v/(m s-1)t/sV0V1V2V3图 5 高速公路行驶情形车辆速度响应曲线4 结 论本文研究具有双时变时滞的车辆跟随系统的稳定性问题。基于集中式控制架构与 PF 通信拓扑结构建立系统模型；基于 Lyapunov 稳定性理论，利用时滞分割和状态增广方式构造 LKF；利用 Wirtinger 积分不等式和改进逆凸矩阵不等式估计泛函导数，从而推导出稳定性准则；并通过数值计算探究控制增益与误差补偿系数对系统稳定裕度的影响。最后通过仿真实例，验证具有双时变时滞系统运行的稳定性。数值计算结果表明，控制增益与补偿系数的增大均会降低具有双时变时滞系统的时滞稳定裕度；仿真结果表明，时滞现象对高速行驶的车辆通信有明显的影响。因此，需要进行保守性更低的稳定性分析与响应效果更好的车辆队列控制器设计。参考文献（References）1 CAI He,HU Guoqiang.Distributed tracking control of an interconnected leader-follower multi-agent system J.IEEE Trans Autom Contr,2017,62(7):3494-3501.2 Studli S,Seron M M,Middleton R H.Vehicular platoons in cyclic intercom-nections J.Automatica,2018,94:283-293.3 ZHANG Jilie,FENG Tao,YAN Fei,et al.Analysis and design on intervehicle 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