具p-Laplacian算子的分数阶非局部边值问题解的存在唯一性.pdf

第 44 卷第 3 期2023 年 6 月喀什大学学报Journal of Kashi UniversityVol.44 No.3Jun.2023DOI：10.13933/ki.2096-2134.2023.03.002具p-Laplacian算子的分数阶非局部边值问题解的存在唯一性王和香(喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844000)摘要：利用 Schaefer不动点定理和压缩映射原理，研究一类含 p-laplacian 算子的分数阶非局部边值问题解的存在性和唯一性，并用两个例子验证了所得结果的有效性.关键词：分数阶边值问题；p-Laplacian算子；非局部边值问题中图分类号：O175.8文献标志码：A文章编号：2096-2134（2023）03-0006-040引言随着数学家和科技工作者的不懈努力，人们发现在描述一些复杂运动、记忆特征、中间过程等现象时，分数阶微积分是一个恰当的数学工具1.分数阶微分方程的优势在于：更适合描述函数发展的历史依赖过程，与实验结果更吻合，构建的模型更贴合实际，表述更简洁等.这些优势极大的推动了分数阶微分方程的发展，也使得分数阶微分方程成为当前国际上的一个研究热点.文献2利用不动点定理，得到了一类非局部边界条件的分数阶微分方程D0+u(t)+a(t)f(t,u(t)=0（0 t 1,u(0)=0,u(1)=i=1iu(i)正解的存在性；文献3利用格林函数的性质和单调迭代方法，研究了一类含Ricmann-Liouville分数阶导数的非局部积分边界条件的分数阶微分方程边值问题；文献4利用Schaefer不动点定理和Banach压缩映射原理，研究了一类带p-Laplacian算子的非线性分数阶微分方程积分边值问题CD0+p()CD0+x(t)=f(t,x(t),(0 t 1,x(0)=01g(s)x(s)ds,x(1)=0)和p()CD0+x(0)=p()CD0+x(1)=01h(s)p()CD0+x(s)ds解的存在唯一性，其中CD0+,CD0+为Caputo导数；文献5利用迭代序列和锥上的不动点定理，证明了一类具 p-Laplacian算子含参数积分边界条件的分数阶边值问题CD0+p()CD0+x(t)=f(t,x(t)(0 t 1,x(0)=01g(s)x(s)ds,x(1)=0)和p()CD0+x(0)=p()CD0+x(1)=01h(s)p()CD0+x(s)ds正解的存在性和唯一性.受以上文献启发，本文将研究一类具p-Laplacian算子的分数阶非局部边值问题 CD0+()p()CD0+u(t)=f(t,u(t),0 t 1,CD0+u(0)=u(0)=u(0)=u(1)=0,u(1)=g(u)（1）解的存在唯一性，其中：0 1，3 1,p-1=q,1p+1q=1),f(t,x):0,1 R R和g(x):C()0,1,R R均为连续函数.1预备知识定义16函数y:(0,+)R的 0阶Riemann-Liouville积分是指I0+y(t)=1()0t(t-s)-1y(s)ds,其中：表示的整数部分,右边是在(0,+)上逐点定义的.定义 26设函数y:(0,+)R的(0)阶 Caputo导数是指收稿日期：2023-03-06基金项目：喀什大学南疆经济与社会发展研究中心项目“含 p-laplacian 算子的分数阶微分系统边值问题研究”（NFK2201）；新疆维吾尔自治区自然科学基金项目“分数阶脉冲微分系统边值问题研究”（2019D01B01）.作者简介：王和香（1990-），四川资阳人，副教授，理学硕士，主要从事微分方程理论与应用研究.第 3 期王和香：具p-Laplacian算子的分数阶非局部边值问题解的存在唯一性CD0+f(t)=1(n-)0t(t-s)n-1f(n)(s)ds,其中：表示的整数部分,右边是在(0,+)上逐点定义的.定义36设 0,则分数阶微分方程CD0+u(t)=0的解可以表示为u(t)=c0+c1t+cn-1tn-1,其中：ci R;i=0,1,2,n-1;n=+1，表示的整数部分.引理16设 0,则有(i)I0+(CD0+u(t)=u()t+c0+c1t+cn-1tn-1,ci R,n=+1;(ii)CD0+I0+u(t)=u()t.引理 27(Arzel-Ascoli定理)集合M C()J,R1相对列紧的充要条件是：(i)M中的函数一致有界,即存在常数K 0,使得对一切u=u(t)M，都有|u(t)K,t J；(ii)M中的函数等度连续,即对任给的 0，存在=()0，使 得 当t1,t2 J,|t1-t2 时，对 任 给u=u(t)M都有|u(t1)-u(t2).引理38（Schaefer不动点定理）令X为Banach空间,且T:X X是 一 个 全 连 续 算 子.如 果 集 合E=u|X u=Tu,0 1有界,则T在X上至少存在一个不动点.引理49p-laplacian算子具有以下性质：(i)若1 p 0,|x,|y m 0,则|p(x)-p(y)(p-1)mp-2|x-y；(ii)若p 2,|x,|y M,则|p(x)-p(y)(p-1)Mp-2|x-y.引理510设3 4,h C()0,1,R，则边值问题 CD0+u(t)=h(t),0 t 1,u(0)=u(0)=u(1)=0,u(1)=g(u)等价于积分方程u(t)=01K(t,s)h(s)ds+g(u)t2(t-3)6,其中K(t,s)=t2(3-t)(1-s)-46(-3)-t2(1-s)-32(-2)+(t-s)-1(),0 s t 1,0,0 t s 1.引理6边值问题（1）等价于积分方程u(t)=01K(t,s)q()1()0s(s-)-1f(),u()d ds+g(u)t2(t-3)6.（2）证明 令=CD0+u(t),v=p(),f(t,u(t)=y(t),则方程CD0+v(t)=y(t),v(0)=0有解v(t)=I0+y(t)-c0,注意到v(0)=0，有c0=0，即v(t)=1()0t(t-s)-1y(s)ds(t 0,1)，故有CD0+u(t)=q(1()0t(t-s)-1y(s)ds).再由引理5即可得证引理6.引理7函数K(t,s)满足：01K(t,s)ds23(-2)+12(-1)+1(+1).证明考虑到01K(t,s)ds 01|K(t,s)ds|t2(3-t)6(-3)01(1-s)-4ds+|t22(-2)01(1-s)-3ds+|1()0t(t-s)-1ds|t2(3-t)6(-2)+|t22(-1)+1(+1)23(-2)+12(-1)+1(+1).2主要结论设Banach空间E=C()0,1,R，定义最大模范数u=sup0 t 1|u()t，定义锥P E,P=u E:u 0，使得|g(x)-g(y)k|x-y，且有 1.则边值问题（1）存在唯一解.证明设x,y R,t 0,1，由条件(H1)和(H2)有7喀什大学学报第 44 卷|Ax(t)-Ay(t)()1()q-101K(t,s)|q()0s(s-)-1f(),x()d|-q()0s(s-)-1f(),y()dds+|t2(t-3)6|g(x)-g(y)()1()q-101K(t,s)dslx-y+|t2(t-3)6kx-y()1()q-1()1(-2)+1(-1)+1(+1)l+kx-y由 0，对u R，有|g(u).则边值问题（1）至少有一解.证明（1）首先证明算子A连续.设 un为R上一序列且满足un u,t 0,1，则|Axn(t)-Ax(t)()1()q-101K(t,s)|q()0s(s-)-1f(),xn()d|-q()0s(s-)-1f(),x()d ds+|t2(t-3)6|g(xn)-g(x)()1()q-101K(t,s)dssupt 0,1|q()0s(s-)-1f(),xn()d|-q()0s(s-)-1f(),x()d+|t2(t-3)6|g(xn)-g(x).又因为f,g均为连续函数，所以算子A也连续.（2）再证算子A一致有界.设w=supt 0,1|w(t),w(t)+23，定义集合B=u C()0,1,R:u，其中=()1(+1)q-1()1(-2)+1(-1)+1(+1),由条件(H3)和(H4)有Au(t)=supt0,101K(t,s)q(1()0s(s-)-1f(),u()d)ds+g(u)t2(t-3)6 supt0,1|q(1()0s(s-)-1|f(),u()d)ds+|g(u)t2(t-3)6w(t)+23,故算子A在B上一致有界.（3）最后证A(B)等度连续.令sup(t,u)0,1B|f()t,u(t)=fp-1m+，对t1,t20,1且t1 2，|0s(s-)-1/2etsinu64d e32,故由引理4得|q()0s(s-)-1/2etsinx64d|-q()0s(s-)-1/2etsiny64d32()e321 2e64|0s(s-)-1d|sinx-siny3264 8e3 2|x-y,故l=3264 8e3 2，满足条件(H1)；又由|g(x)-g(y)=10-2|x1+|x-|y1+|y 10-2|x-y，故k=10-2，满足条件(H2)，且有8第 3 期王和香：具p-Laplacian算子的分数阶非局部边值问题解的存在唯一性=()1(1/2)3 2()1(3/2)+1(5/2)+1(9/2)3264 8e3 2+10-20.04 1,故由定理1可知，故边值问题（3）有唯一解.例2考虑边值问题CD2 30+()3 2()CD16 30+u(t)=cosu8(1+t2),0 t 1,CD16 30+u(t)=u(0)=u(0)=u(1)=0,u(1)=arctan(3-u).（4）解易得=23,=163,p=32,q=3,f(t,u)=cosu8(1+t2),g(u)=arctan(3-u)，则有|f(t,u)=|cosu8(1+t2)18(1+t2)，故w(t)=18(1+t2)，满足条件(H3)；又因为|g(u)=|arctan(3-u)1，故=1，满足条件(H4).由定理2可知，边值问题（4）至少有一解.参考文献:1 王在华.分数阶微积分:描述记忆特性与中间过程的数学工具J.科学中国人,2011,（3）:76-78.2 Gao H,Han X.Existence of Positive Solutions for Fractional Differential Equation with Nonlocal Boundary Condition J.International Journal of Differential Equations,2011,2011:1-10.3 Noureddine B,Benaicha S,Djourdem H.Positive solutionsfor nonlinear fractional differential equation with nonlocalboundary conditions J.Universal Journal of Mathematicsand Applications,2018,（1）:39-45.4 Pak S A,Jong K S,Kyunam O,et al.Existence Results fora Class of p-Laplacian Fractional Differential Equationswith Integral Boundary Conditions J.Abstract and Applied Analysis,2020,(105):1-11.5 Ahmadkhanlu A.On the existence and uniqueness of positive solutions for a p-Laplacian fractional boundary valueproblem with an integral boundary condition with a parameter J.University of Tabriz,2021，9（4）：1001-1012.6 Kilbas A A,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations M.Elsevier,The Netherlands,2006.7 郭大钩,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法M.济南:山东科学技术出版社,1995.8 孙经先.非线性泛函分析及其应用M.北京:科学出版社,2008.9 Liu X,Jia M,Xiang X.On the solvability of a fractional differential equation model involving the p-laplacian operatorJ.Comput.Math.Appl.,2012,64:3276-3275.10 Verma S K,Vats R K,Nain A K.Existence and Uniqueness Results for a Fractional Differential Equations withNonlocal Boundary Conditions J.Bol.Soc.Paran.Mat.,2022,40:1-7.11 Smart D R.Fixed point theorems M.Cambridge Universitypress,1980.Existence and Uniqueness of Solutions for a Class of NonlocalBoundary Value Problem with p-Laplacian OperatorWANG He-xiang（School of Mathematics and Statistics,Kashi University,Kashi 844000,Xinjiang,China）Abstract:By using the fixed point theorems and contraction mapping principle,we study the existence anduniqueness of solutions for a class of nonlocal boundary value problems with the p-Laplacian operator,Finally,we can give two examples that exemplify our results.Key words：fractional boundary value problem;p-Laplacian operator;nonlocal boundary9