聚焦内容本质的单元教学设计与实践——以《弧长》与《扇形的面积》为例.pdf

数学之友2023年第10 期案例分析聚焦内容本质的单元教学设计与实践以弧长与扇形的面积为例一张海燕（复旦大学第二附属学校，上海，2 0 0 4 3 3）摘要：单元教学设计强调以单元作为教学设计的主体，在设计中教师要整体化地把握单元的目标、结构、内容与作业等.本文将数学史融入单元教学，以弧长与扇形的面积为例，聚焦内容本质与内在联系规划单元，融入数学史帮助学生理解公式本质，运用一贯的情景引入与课堂活动突显单元整体。关键词：单元教学；数学史；弧长；扇形的面积；核心素养单元教学设计强调教师整体化地把握整个单元的内容,结合多种教学形式和教学策略,在一个单元周期内帮助学生完成对一个知识单元的相对完整的学习.单元教学与常规教学相比较，单元教学在结构上更具连贯性与完整性，以单元为教学设计的着力点,基于学生学情,构建关注知识结构与内在联系的教学方式,有利于学生整体性地建构知识内容,且能在一定程度上提高课堂教学效率.将数学史融入单元教学可以激发学生对数学的学习兴趣，呈现贯穿整个单元的核心与本质，学生可以跟随着前人的足迹感受数学思想以及数学的价值与魅力.本文以沪教版初中数学六年级上册第四章圆与扇形第2 节弧长与第4 节扇形的面积的教学为例,探讨如何在单元教学设计中进行单元规划、融入数学史料、设计整体的教学环节与活动.1聚焦内容本质与内在联系规划单元本单元是沪教版数学六年级第一学期第四章圆和扇形.教材中的课序为：4.1圆的周长（1课时），4.2 弧长（1课时），4.3 圆的面积（2 课时），4.4扇形的面积（2 课时）.本单元在第1节第1课时圆的周长与第3 节第1课时圆的面积的研究中,运用化曲为直、无限逼近的极限思想得到圆的周长、面积公式.第2 节第1课时弧长与第3 节第1课时扇形的面积运用弧与圆周、扇形面积与圆的面积间部分与整体之比转化为圆心角与周角之比推出弧长与扇形面积的公式.弧长是圆周长的一部分，扇形的面积是圆面积的一部分.基于这种部分与整体的关系（如图1所示），本单元将分为两个专题，专题一基金项目：上海市杨浦区一般课题“基于数学史的初中数学教学设计实践研究”（项目编号：2 0 18-2-2 5）.34_数学之友圆的周长与面积，通过化曲为直、无限逼近的极限思想学习圆周长与面积的公式.专题二弧长与扇形的面积,运用弧长与周长之比、扇形的面积与圆面积之比均等于圆心角与周角之比推导弧长与扇形面积公式，感受部分与整体之间的关系.圆的周长圆圆的面积2本单元相关的史料素材弧长与扇形的面积公式由圆的周长与面积公式推导得到,在历史上证明圆的周长与面积公式的方法丰富多样，核心都是围绕着微积分方法与极限思想.古希腊思想家阿基米德（公元前2 8 7 年一公元前2 12 年）运用无限逼近的极限思想来得到圆的面积公式.我国汉代的九章算术中记载了圆的面积公式“半周半径相乘，得积步”，也就是半周乘以半径得到圆面积.魏晋时期数学家刘徽（约公元2 2 5 年一公元2 9 5 年)在九章算术注中提出了“割圆术”的方法，德国数学家开普勒（公元15 7 1年一公元16 3 0年)在思考酒桶体积算法时，想出了圆的面积的计算方法.本次单元教学选择了开普勒求圆的面积的方法，这个方法可以更好地体现扇形的面积是圆的面积的一部分，也可以从几何的角度更直观地阐释教材中的方法，即由公式恒等变形得到圆的面积公式弧长扇形与圆的关系图1扇形的面积数学之友Cr以及扇形面积公式lr.223孝教学过程设计与解析3.1实际情境贯穿单元，激发学生的学习兴趣弧长一课的引人环节,以学生准备迎新年活动中需要为道具扇子准备亮晶晶的毛条彩带装饰扇子边沿的实际情景引出求扇形弧长的问题，从学生的亲身经历创设“情境”，让他们能够“触景生情”.用问题“把扇子抽象成为一个图形并试着画出这个图形”帮助学生用数学的眼光观察生活，将实物“扇子”抽象为一个扇形，让学生学会用建模的方法解决生活中的问题.在画扇形的过程中，教师引导学生体会到弧是圆的一部分，感受弧与圆之间部分与整体的关系，为弧长公式的推导做铺垫。在扇形的面积一课的最后学习环节中,回归到弧长引人环节的情境中，提出问题“如果我们想为上节课中迎新年活动的这把扇子制作一幅美丽的扇面，那么我们能求出这个扇面的面积吗？”继续解决精美扇面的面积问题，帮助学生感受数学源于生活又回归到生活的应用价值.学生可以运用在扇形的面积中学到的圆心角、半径、弧长及扇形的面积四个量的关系解决相同实际情景下的问题.这样，学生对四个量之间的依赖关系的本质才会有更深刻的理解.以学生身边的实际情景作为引人本专题的问题,同时也是本单元结束的最后一个问题，可以充分调动学生的学习热情,激发学生的学习兴趣，同时也实现了首尾呼应，体现了教学内容的整体感。3.2公式推导深化理解，感悟内容本质学生经过第二章分数的学习后已经知道部分与整体的关系可以用分数，也就是几分之几表示.在弧长的教学中通过问题链，能激励学生自主思考，帮助学生认识到弧是圆的一部分，弧的大小与圆心角的大小有关.学生自然地结合本单元学习圆的面积公式的经验说出“沿半径将圆3 6 0 等分，每一份弧所对应的圆心角是1，弧长占圆周长的几分之几就等于它所对圆心角占圆周角（3 6 0）的几分之几”.教师再追问“这样等分的依据是什么？椭圆可以这样等分吗？”让学生意识到等分的依据是圆的旋转不变性.在此环节中，学生对弧与圆之间的部分与整体关系的深刻理解是学习扇形的面积的基础.在扇形的面积的教学中,复习回顾推导弧长2023年第10 期公式的方法，类比弧长公式的推导过程，运用扇形的面积与圆的面积之间的关系（部分与整体），学生可以自然地说出“扇形面积占圆面积的几分之几等于扇形所对的圆心角占圆周角的几分之几”.课堂中扇形的面积公式的自然生成正是对单元教学意义与价值的反馈与印证.3.3融入数学史，理解公式本质利用部分与整体的关系，学生在弧长公式推导的基础上可以直接类比得到扇形的面积公式，推导出扇形的面积公式后再运用弧长与扇形的面积公式变形,学生可以自主推导出扇形的面积还可以等于扇形的弧长与半径乘积的一半,即 Sm=宁s历史上开普勒通过无穷分割法求扇形的面积，可以帮助学生从几何直观的角度对代数式恒等变形得到的公式S扇=22狐厂给予形象的解读，而这种求扇形的面积的方法正是对本单元第二节无穷分割法求圆的面积的呼应，在课堂中引人这部分数学史，可以更好地阐释了运用化曲为直、无限逼近思想方法推导扇形面积与圆面积公式的一致性,也再一次让学生深刻地感受到扇形的面积与圆的面积之间部分与整体关系的本质,更为由公式变形得到扇形的面积公式5 一一提供了直观的儿何视角,在推导出扇形的面积公式后，一位学生主动举手分享了他的想法.教学片段：生：其实也可以把扇形的面积用S扇=2示，因为在刚刚我们推导出的公式S扇n22 中,3 6 0360TTr是18 0 的2 倍，而l狐nTr,所以可以把扇形的面积180公式变形为S扇1nTTT也就是S扇2180师：这位同学用公式变形的方式得到了用弧长与半径求扇形面积的公式.像他一样发现这个结论的同学请举手.大多数同学通过公式变形已经得到了求扇形的面积的另一个公式，这就是教材第115 页给出的第二个扇形的面积公式.问题：我们知道第一个公式S扇形的面积与圆的面积的比等于扇形的圆心角与圆周11一2弧7.nT？表示扇360表2023.10_35数学之友角之比.那么S扇2狐表示什么呢？师：17 世纪誉满欧洲的天文学家和数学家开普勒通过几何的方法得出这个扇形面积公式.当时开普勒正在他自己的婚礼上思考酒桶体积算法，但他却首先想出了计算圆和扇形的面积的方法，我们来看看他是怎么想的。将圆从半径出发，分割成若干等份，在学习圆的面积推导公式过程中，我们知道分割的份数越多，每个小扇形就越接近于一个小三角形.现在将其展开，如图2 所示，让圆周拉直接近于一条线段,每个小三角形的顶点到对边的距离都是圆的半径，它们的面积和就是圆的面积，阴影部分的面积和就是扇形AOB的面积.现在让所有小三角形的顶点与圆心重合，那么这些三角形将转化为与原三角形等底等高的三角形，它们的面积不改变.圆的面积就等于OCD的面积,扇形AOB面积等于三角形OAB的面积,所以1扇2弧.CC3.4课堂活动巧衔接，突显关系本质两节课的课堂活动互相衔接（如表1），扇形的面积中的第1题正是弧长中的第1题,这样的设计让学生感受弧长与扇形的面积之间的关联，体会在已知半径与圆心角的条件下扇形的大小已经被确定，即可以求出弧长也可以求扇形的面积.通过变换已知量、未知量、已知数据的形式，结合学生计算方法的对比及教师的不断追问，帮助学生体会到圆心角、半径、弧长和扇形的面积四个量关系的本质，即已知两个量可求出另外两个量.在扇形的面积课堂活动环节结束时，请一位学生谈谈有哪些体会？学生很自然地说出这四个量里只要知道两个就可以求出另外两个。36_数学之友2023年第10 期表1弧长在半径为2 0 的圆中，求12 0 的圆心角所对的弧长（结果保留单元课在周长为4 0 元的圆中，求10 8 堂的圆心角所对的弧长（结果保活留)动设在半径为5 的圆中，求长为5 元在半径为2 0 的扇形中，其面积的弧所对的圆心角的度数为2 0，求这个扇形的圆心角计一条弧的弧长为10，它所对的圆心角为6 0,求这条弧所在圆的半径4孝教后感悟与反思4.1感悟部分与整体的相对关系沪教版数学六年级第一学期除第一章数的整除为约分、通分及化简运算这些奠定知识基础外,从第二章分数、第三章比和比例到第四章圆和扇形三个章节的核心思想都是在帮助学生建立相对量的概念，也就是部分与整体之间的关系.虽然学生在小学学习了倍数，但只仅限于两个数之间的倍数关系，在小学学习了总体与部分的概念，但仍需借助把总体看作单位“1”来理解整体，学ABDAB图2扇形的面积在半径为2 0 的圆中，求12 0 的圆心角所对的弧长（结果保留）在半径为2 0 的扇形中，其圆心角为12 0，求这个扇形的面积（结果保留）在面积为3 0 元的扇形中，其弧长为10，求这个扇形的半径生在六年级通过分数与比和比例两个章节的学习,基本能够理解部分与部分、部分与整体之间的关系，会求一个量是另一个量的几分之几，并可以将部分与部分、部分与整体的关系用比来表达.以此为D基础，本节课在设计弧长公式推导以及通过类比得到扇形的面积公式推导的教学环节中，着重帮助学生理解并运用相对量的概念将弧长与圆周长之比或扇形的面积与圆的面积之比转化为圆心角与周角之比,这也是弧长与扇形的面积公式的核心，同时也是贯穿本单元教学设计的主线.4.2恒等变形与方程思想的运用代数式及方程的恒等变形是初等数学重要的知识与技能之一，也是解决函数及方程问题的重要前提和手段，还蕴含着代数的思想方法.掌握并灵活运用代数式的恒等变形，能提高学生的运算能力和逻辑思维能力.在弧长公式以及扇形的面积公式的课堂活动环节中引导学生体会圆心角、半径、弧长、扇形的面积四个量之间的关系时，可以运用恒等变形将未知量用两个已知量表示，得到“知二求二”的结论，这为未来的方程以及代数学习奠定了基础.数学之友4.3从直观感知到理性认识的转化本单元建立在学生小学时已经直观认识圆的基础上，学生在小学知道圆心、半径等相关概念，知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，对圆有较强的直观感受与丰富的生活体验.本单元的教学设计着重帮助学生逐步地从感性认识上升到理性认识，引导学生通过观察、测量、分析、计算与应用的方式掌握圆的周长、圆的面积、弧长及扇形的面积的计算公式，为进一步学习图形与几何的相关内容打下基础.4.4古今相融、首尾呼应的育人价值在本单元主题二弧长与扇形的面积部分的教学设计过程中，4.2 弧长从班级身边正在发生的实际情景出发，激发学生解决问题的求知欲.4.4 扇形的面积再次回到相同情景解决艺术节道具扇子的制作问题，此环节既检验了教学目标“体会圆心角、半径、弧长、扇形的面积四个量之间的数量关系”的落实情况，又体现了数学从实际问题中来到生活中去的育人价值.在扇形的面积的教学中引人开普勒分割酒桶得到扇形的面积的方法，帮助学生体会公式 S=方%”1的几何含义，再一次引导学生感受在学习本单元上一个主题圆的周长与面积中运用的化曲为直、无（上接第3 3 页）任务的内容中应能看出认知联结的对象是“1分米”。步骤二：展开自主探究，要求教师能留给学生足够的探究活动时间和空间，确保他们能自主产生认知联结式的问题.如上述探究活动中，学生与小组同学展开合作，在米尺上发现“1分米”以及找不同的“1分米”线段.步骤三：反馈学习成果，要求教师能提供对话交流的平台，引导学生充分展示认知联结的活动成果.如经过自主探究，学生不仅在米尺上找到不同的“1分米”线段,还在脑海中建构了“1分米=1厘米”“1米=10 分米”的长度单位关系，实现了“分米”与“厘米”“米”的认知联结.4.3推动具有认知联结特点的综合运用课堂教学模式是多样的、复杂的，而课堂的时间又是有限的.因此，教师在实施教学模式时,要进行有效的选择,将它们进行科学的组合，围绕学生的学习体验、生活经验及学习经历，将数学课堂变为学生认识生活、认识数学的活动场所，让学生学会运用数学的思维方式去观察、分析社会，去解决日常生活中的问题,从而提升生活本领.认知联结不仅表现为学生主2023年第10 期限逼近的思想方法，体现了本单元的整体性与连贯性。5结语单元教学是培养学生核心素养的有效途径，在圆与扇形的单元设计中，笔者将弧长与扇形的面积整合为一个模块组织教学，更好地让学生感受本单元中弧长与圆的周长，扇形的面积与圆的面积之间的内在联系，体会圆心角、半径、弧长、扇形的面积四个量之间的关系，感悟单元知识结构与本质，为学生形成良好的数学思维打下坚实的基础.将数学史融人到本单元的教学，可以在教学中让学生对化曲为直的思想有初步的感知与理解，也可以从几何角度更直观地阐释公式本质，让学生体会到数学来源于生活又高于生活，学会用数学的思维思考现实世界，体现“立德树人”的生命体验和教育价值.参考文献：1 朱宸材.HPM视角下的课时目标设计一以沪教版“圆与扇形”单元教学为例J.数学教学研究，2 0 2 2（2）：34-39.2庄河“理解为先”模式下初中数学大单元教学设计的思考与应用 J.中学教研（数学）,2 0 2 2（8）：14.动地沟通新旧知识间的联系，以及自主发现同类知识间的结构关系，还体现在自觉地关联所学知识，帮助思考和解决问题.这就要求教师设置的课堂练习活动及课后作业能起到“练横向关联”，“练纵向关联”和“练侧向关联”的作用,以此训练学生认知联结的深度和广度，进而形成综合运用知识解决实际问题的能力.其一,练横向关联,这是指教学要能使当下所学的新知识与生活实际问题直接产生关联.如练习环节呈现的“文具长度问题”,要求学生自觉运用课堂上新学的“在尺子上数小格”和“用毫米表达物体长度”的知识来帮助思考和解决问题.其二，练纵向关联,这是指教学要能使不同阶段的知识与生活实际问题产生关联其三,练侧向关联，这是指教师设置的练习问题应能融合不同类型的知识，进而促成知识的综合运用.总之，认知联结的教学主张学生能从相关知识的广泛联系中去学习知识,在多维的关联思考中去运用知识.如此，才能将外部知识与自身内在的认知结构建立实质性的联系，进而学会灵活、综合地运用知识解决实际问题.2023.10_37