扩散反应方程的一种协调间断有限元法.pdf

年月四川大学学报(自然科学版)J u l 第 卷第期J o u r n a l o fS i c h u a nU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o 扩散反应方程的一种协调间断有限元法顾子兵,胡朝浪,杨荣奎,冯民富(四川大学数学学院,成都 )摘要:对于定常扩散反应方程的原始混合变分形式,本文基于间断有限元法和最小二乘法思想给出了一种新的协调间断有限元格式,并将其推广应用于非定常扩散反应方程,进而建立了全离散协调间断有限元格式该格式不仅能避免L B B条件,而且适用于多边形网格在能量范数下,本文得到了原始变量和通量的最优误差估计最后,针对定常和非定常的扩散反应方程,本文分别以一般情形和对流占优情形下的数值算例验证了方法的有效性关键词:协调间断有限元;原始混合形式;最小二乘法中图分类号:O 文献标识码:AD O I:/j 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()作者简介:顾子兵(),男,硕士研究生,主要研究方向为计算数学 E m a i l:g z b c o m通讯作者:胡朝浪 E m a i l:h u c h a o l a n g s c u e d u c nAc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u s f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd i f f u s i o n r e a c t i o ne q u a t i o n sG UZ i B i n g,HUC h a o L a n g,Y ANGR o n g K u i,F ENGM i n F u(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,S i c h u a nU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a)A b s t r a c t:F o r t h ep r i m a l m i x e d f o r mo f t h e s t e a d yd i f f u s i o n r e a c t i o ne q u a t i o n,an e wc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u s f i n i t ee l e m e n t s c h e m e i sp r o p o s e db yu s i n gt h e i d e ao fd i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h e l e a s t s q u a r em e t h o d T h e n t h em e t h o d i s e x t e n d e d t o t h e c a s eo f u n s t e a d yd i f f u s i o n r e a c t i o ne q u a t i o na n daf u l l yd i s c r e t ec o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n ts c h e m ei sg i v e n T h i ss c h e m ea v o i d st h eL B Bc o n d i t i o na n dc a nb e a p p l i e d t op o l y g o nm e s h U n d e r t h e e n e r g yn o r m,t h eo p t i m a l c o n v e r g e n c eo r d e re r r o re s t i m a t e sf o rt h ep r i m a r ya n df l u xv a r i a b l e sa r ee s t a b l i s h e d F i n a l l y,f o rt h es t e a d ya n du n s t e a d ye q u a t i o n s,s o m en u m e r i c a l e x a m p l e s i ng e n e r a l a n dc o n v e c t i o nd o m i n a t e dc a s e s a r eg i v e n t ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o d K e y w o r d s:C o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u se l e m e n t;P r i m a l m i x e df o r m;L e a s t s q u a r em e t h o d(M S C M )引言本文考虑如 下扩散反应 问题:求函数uu(x),使得Au()c uf,x,u,x()其中,是Rdd,()中的一个多边形区域,其L i p s c h i t z边界为,A为正定矩阵,c该问题常被用于描述温度、压力及化学物质的浓度等物理量的演化有限元法是求解问题()的一种有效手段用经典的有限元法可以直接求得问题()的离散解在实际问题中,u的梯度u往往有重要的物理意义,如在流动问题中u表示流体的速度为求u 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期和u,年W a n g和Y e对二阶椭圆问题提出了弱有限元法该方法区别于间断有限元法的地方在于它将一个不连续的函数v在单元上的取值分别为内部v和边界vb,在构造有限元时分别在内部和边界上构造函数,用弱梯度w代替梯度弱有限元法具有和间断有限元法相似的优点,且形函数 选 取 及 网 格 剖 分 多 样 年,W a n g和Y e针对带D i r i c h l e t边界的扩散方程的对偶混合形式提出了弱G a l e r k i n混合有限元方法该方法对主要变量和通量都有非常精确地近似,且可以应用于多边形和多面体网格 年,M u等提出了最小二乘的弱有限元方法,该方法可以被用于奇异摄动扩散反应方程和各向异性、不均匀性多孔介质中流体的流动问题,具有较好的鲁棒性和灵活性值得注意的是,上述工作都是基于方程的对偶混合变分形式提出的方法 年,W a n g等提出了修正的弱有限元法该方法将弱有限元方法中的边界函数vb替换为v,通过单元内部函数v确定边界函数v,减少了边界自由度,提高了计算效率 年,Y e等 提出了协调间断元方法该方法属于弱有限元方法,边界函数仍然为v 此外,该方法还具备协调有限元和间断有限元方法的特征,形式简洁,单元形函数采用间断函数,且可以通过调整有限元空间将该方法应用于多边形和多面体网格基于上述工作,本文考虑方程()的原始混合变分形式引入通量 Au后,方程()的求解等价于如下问题:求u,()H()L()d,使得A,()u,(),L()d,(,v)(c u,v)f,v,uH()()对问题(),本文采用协调间断有限元方法结合最小二乘法,给出了一种新的协调间断有限元格式通过引入最小二乘的残差项,该方法不但避免了L B B条件 的限制,而且可被应用于多边形网格本文结构如下第节针对定常扩散反应方程给出了一种协调间断有限元方法的数值格式,并给出理论分析在此基础上,本文也给出一般情况和反应占优时的数值算例,验证了该格式的有效性在第节中,本文将第节中的协调间断有限元格式推广应用于非定常扩散反应方程,给出了一种全离散协调间断有限元格式,并通过一般情况和反应占优时的数值算例验证了该格式的有效性第节总结本文所得结果定常扩散反应方程情形 协调间断有限元格式我们以Wm,p(),Wm,p()表示上的m 阶S o b o l e v空间特别地,当p时,Hm()Wm,(),Hm()Wm,(),()m,m,m分别为Hm()的内积、范数和半范数令Th为区域的有限元剖分,该剖分由凸且正则的多边形或多面体组成记Fh为Th的所有边或面的集合,FhFh 表示所有内边的集合为了简便,分别定义Th和Th上的内积为v,w()ThTTh(v,w)TTThTv wdx,v,w()ThTThv,w()TTThTv wds为了简便表示函数的弱梯度,用v而不用vh表示有限元空间Vh的任意函数对每个单元TTh,记hT为其直径,Th的网格大小为hm a xTThhT定义弱函数v,vv,在单元T内部,v,在边界T上设整数k,记Pk(T)为定义在T上次数不超过k的多项式空间,Pk(T)d为有限维向量多项式空间v的有限元空间Vh可如下定义:VhvL():v|TPk(T),TTh,v|通量的有限元空间Wh可定义如下:WhL()d:|TPk(T)d,TTh接下来,定义v的弱梯度wv令T和T为Th中包含公共边eFh的两个单元对于eFh和vVh的跳量v定义为vv,e,vv|Tv|T,eFh这里,T和T的顺序不重要对于eFh和vVh,v的均值v 定义为v v,e,v(v|Tv|T),eFh对于函数vVh,它的弱梯度wv是一个分片向量多项式,即wvTThPj(T)d,jk在每个单元T上,对任意qPjT()d,wv满足以下 第期顾子兵,等:扩散反应方程的一种协调间断有限元法第 卷方程:(wv,q)T(v,q)Tv,qnT()它的弱散度wv是一个分片多项式,即 wvTThPk(T)对任意的Pk(T)d,在每个单元T上wv满足以下方程:(wv,)T(v,)T v n,T注在方程()()中,j的选取依赖于多边形的边数对于三角形网格,j可以取k通常情况下,jnk,其中n为多边形的边数 问题()等价于如下弱形式求(u,)H()L()d,使得A,()u,(),v()c u,v()f,v,(v,)H()L()d()为避免证明L B B条件,我们引入一个非对称的残差项(Ahuh,Av)T,施加在每个单元TTh上,并将()式中的梯度项替换为弱梯度w,得到下面的协调间断有限元数值格式:格式(协调间断有限元格式)求(uh,h)VhWh,使得B uh,h;v,()f,v,v,()VhWh()其中B uh,h;v,()Ah,()Thwuh,()Thh,wv()Thc uh,v()ThTTh(A hwuh,Awv)T下面证明上述数值格式有存在唯一解首先定义如下带有函数(x)形式的内积:(,)T,T(x)dx,相应的范数为T,(,)/T,为证明格式的解的存在唯一性,先定义与双线 性 泛 函B uh,h;v,()对 应 的 稳 定 化 范数,():v,()TThvT,cwvT,AA()()另外,再定义Vh中的两个半范数vh,和vh,:vh,TThwvT,A,vh,TThwvT,AeFh h eve,Avh,为协调间断有限元法下的半范数,vh,为修正的弱有限元方法下的半范数这两种范数是等价的,即存在常数C,C,使得Cvh,vh,Cvh,vVh()下面 的 引 理 表 明 式()中 的 双 线 性 泛 函B(uh,h;v,)的强制性引理 设存在常数c,使得对任意(v,)VhWh,下列不等式成立:B(v,;v,)cv,()证明由式()中范数,()的定义直接可得B v,;v,()TTh()(A,)TTTh(Awv,wv)Tc v,v()Thcv,()证毕下面 的 引 理 证 明 了 式()中 双 线 性 泛 函B(uh,h;v,)的有界性引理 设存在常数C,使得对任意v,()VhWh,(v,)VhWh,有B(v,;v,)C(v,)(v,)证明由离散的C a u c h S c h w a r z不等式,有B v,;v,()A,()ThAwv,wv()ThTTh(Awv,wv)Tc v,v()ThA,()ThAwv,wv()ThTTh(Awv,wv)Tc v,v()ThA,()ThAwv,wv()ThCTTh(Awv,wv)Tc v,v()ThA,()ThAwv,wv()ThCTTh(Awv,wv)Tc v,v()ThC(v,)(v,)证毕由 引 理 和 可 知,双 线 性 泛 函B(uh,h;v,)是强制有界的,且()式右端的泛函f是线性连续的进而,根据引理、及L a x M i l g r a m定理,格式()存在唯一解 误差分析为给出式()的误差分析,先定义三个L 局部投影算子用于误差方程推导对任意单元TTh,令jh,kh和kh分别为L(T)到Pj(T)d,Pk(T)第 卷四川大学学报(自然科学版)第期及Pk(T)d上的投影算子,其中算子jh满足如下引理中的方程引理 若vH(),则在单元TTh上下列方程成立wvjhv()下面我们给出协调间断有限元格式()的误差方程令hkhuuh,hkhh则下面引理中的误差方程成立引理 设(u,)是问题()的精确解,(uh,h)VhWh是协调间断元格式()的解则对任意(v,)VhWh,下面的误差方程成立B h,h,v,()lu,v,(),其中lu,(v,)l(u,;v,)l(u,)l(,v),l(u,;v,)TTh(A h(ujhu),Awv)T,l(u,)ukhu,nTh,l,v()k h()n,vv Th证明考虑弱形式B u,;v,()f,v()下面我们用分布积分公式和弱梯度wv的定义推出式()和()中各对应项的误差方程u,()u,()u,nThkhu,()u,nTh(wkhu,)l(u,),v(),v()n,vThkh,v()n,vv Thkh,v()khn,vThn,vv Thkh,wv()khn,vv Thn,vv Th(kh,wv)l(,v),TTh(A k hwkhu,Awv)TTTh(A k h(ujhu),Awv)Tl(u,;v,)将khu和kh代入式(),uh和h代入式(),联立可得B h,h,v,()lu,;v,()lu,()l(,v)下面我们给出精确解(u,)和离散解(uh,h)在范数(,)下的最优收敛阶误差估计本节先给出迹不等式和跳量v 和均值v 的关系,用于下面的误差分析引理 对任意函数H(T),下面的迹不等式成立eC hTThTT()()对于任意vVh,v的跳量v和均值v 满足如下关系vv eve,e,vveve,eF下面我 们 给 出 引 理 中 式lu,;v,(),l(u,)和l,v()的误差估计引理 若反应系数c在每个单元T上是一次可微的连续函数,那么对于(u,)Hk()Hk()d,下列估计成立|l(u,;v,)|Chk(kuk)(v,),|l(u,)|Chkuk(v,),l,v()Chkkv,()证明由C a u c h y S c h w a r z不等式和迹不等式(),有lu,;v,()|TTh(A h(ujhu),Awv)T|C(TTh(hTujhuT)TThAwvT()Chk(kuk)(v,)同理,lu,()TThukhu,nTCTThh TukhuT()TThhTT()/C hkuk(v,)由C a u c h y S c h w a r z不 等 式,迹 不 等 式()和 式()有l,v()|TThk h()n,vv T|CTThhTk hT()/TThh Tve()/Chkk(v,)定理 设(u,)是式()的精确解,(uh,h)VhWh是协调间断有限元格式()的解,则下列误差估计不等式成立:khuuh,khh()第期顾子兵,等:扩散反应方程的一种协调间断有限元法第 卷Chk(ukk)()证明令vh,h我们有B(h,h;h,h)lu,(v,),其中lu,(v,)l(u,;h,h)l(u,h)l(,h)由引理 和,下列不等式成立:(h,h)Chk(ukk),从而推出式()证毕定理 设(u,)是式()的精确解,(uh,h)VhWh是协调间断有限元格式()的解,则下列误差估计不等式成立:uuh,h()Chkukk()()证明由定理 和L投影算子kh和kh的逼近性质可直接得 数值算例对二维定常扩散反应方程,我们用两个算例验证格式的有效性针对以下两个算例,我们对区域,采用一致三角形剖分例 在式()中令AI,I为单位矩阵,c,Au,则有us i n(x)s i n(x),c o s(x)s i n(x)s i n(x)c o s(x)取k可得到下表中的误差表 ,AI时的误差结果T a b E r r o r r e s u l t s f o r a n dAIh(e,e)o r d e r/E/E /E /E 取h/,/,/,/,我们得到AI,c时 定 常 扩 散 反 应 方 程 在 能 量 范 数(,)下的误差和收敛阶表显示,原始变量u采用P元,通量采用P元,数值结果的收敛阶为一阶,验证了数值格式的有效性例 在式()中令A e()I,I为单位矩阵,c,则方程变为反应占优的扩散反应方程取k可得到下表中的误差表 ,A(e)I时的误差结果T a b E r r o r r e s u l t s f o r a n dA e()Ih(e,e)o r d e r/E/E /E /E 表显示,原始变量u采用P元,通量采用P元,h/,/时,收敛阶可以达到一阶,证明数值格式的鲁棒性非定常扩散反应方程情形 全离散协调间断有限元格式本节中我们将给出非定常扩散反应扩散方程的形式和全离散协调间断有限元格式考虑如下问题:求函数uu(x,t),满足方程utAu()c uf,(x,t)(,u,x,t(),(,u x,()ux(),x()其中 为最终时刻,u(x)为u(x,t)的初始值引入通量 Au,则方程()可以化成以下等价的混合形式:uA,(x,t)(,utc uf,x,t(),(,u x,()ux(),x()令t为时间步长,tiit,i,N,uihuh(ti),ihh(ti)和fif(,ti)在tti时,本文采用向后欧拉差分格式,则可得到下面的全离散协调间断有限元数值格式:格式(全离 散 协 调 间 断 有 限 元 格 式)求(uih,ih)VhWh,i,N,对任意v,()VhWh,使得tuih,v()ThB uih,ih;v,()fi,v,uhQhu()或uih,v()Tht B uih,ih;v,()tfi,vuih,v()Th,uhQhu,其中B uih,ih;v,()A ih,()Thwuh,()Thih,wv()Thc uih,v()ThTTh(A ihwuih,Awv)T 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期 误差分析为便于分析误差,先定义两个椭圆投影Rkh为L(,;H()到Vh上的椭圆投影和Rkh为L(,;L()d)到Wh上的椭圆投影,这两个椭圆投影类似于文献 中的Wh e e l e r投影设(u,)L(,;H()L(,;L()d)为问题()的精确解对任意t(,我们考虑如下问题:求Rkhu,Rkh()VhWh,对任意(v,)VhWh,使得B Rkhu,Rkh;v,()B u,;v,()()式()可以视为定常扩散反应方程协调间断元方法的数值格式(),所以(Rkhu,Rkh)由式()唯一解出因 此,由 引 理 可 以 立 即 推 出 如 下 的引理引理 设(u,)L(,;H()Hk()L(,;Hk()d)为问题()的精确解,(Rkhu,Rkh)VhWh为问题()的解,则存在常数C,使得下列不等式成立(khuRkhu,khRkh)Chk(ukk)若进一步假设utH()Hk(),则有khutRkhutChk(utkk)结合引理 和引理,并由三角不等式,我们有如下引理成立引理 设(u,)为问题()的精 确 解,(Rkhu,Rkh)VhWh为问题()的解,则对任意t(,(u(x),(x)H()Hk()Hk()d,有如下估计成立(uRkhu,Rkh)Chk(ukk)下面我们推导全离散协调间断有限元格式的误差估计令iRkhuiuih,iRkhiih,i,N,则有以下引理成立引理 设(uih,ih)VhWh,i,N为全离散协调间断有限元格式()的解,(u,)L(,;H()L(,;L()d)为问题()的精确解,则对任意(v,)VhWh,下列等式成立ti,v()ThBi,i;v,()ti,v()Th(ti,v)Th(uittui,v)Th()其中ikhuiRkhui和iuikhuih证明由式(),()和(),有ti,v()ThBi,i;v,()tRkhuiuih(),v()ThB Rkhuiuih,Rkhiih;v,()tRkhuih,v()ThB Rkhui,Rk hi;v,()fi,v tRkhuih,v()ThB ui,i;v,()fi,v tRkhuih,v()Thuit,v()Th tRkhuihtkhuihtkhuihtuituiuit,v()Th(ti,v)Th(ti,v)Th(uittui,v)Th证毕下面的引理描述了uihRkhui和ihRkhi,i,N的最优收敛阶误差估计引理 设(uih,ih)VhWh,i,N为全离散协调间断有限元格式()的解,(u,)L(,;H()Hk()L(,;Hk()d)为问题()的精确解,则对于任意(v,)VhWh,下列不等式成立(uihRkhui,ihRk hi)(uhRkhu,ihRk hi)C hk ti(ut k k)dtttiut tdt()()t(uihRkhui)uhRkhu,ihRk hi()C hk ti(ut k k)dtttiut tdt()()证明在式()中令vti和i得tiBti,i;ti,i()ti,ti()Th(ti,ti)Th(uittui,ti)Th()由式()中B的强制性、有界性、向后欧拉差分格式和Y o u n g不等式,有Bi,i;ti,i()Bi,i;iit,i t(i,i)t(i,i)()对式()应用C a u c h y S c h w a r z不等式,有(ti,ti)Thti/ti()其中tittiti khutRkhutdttChk titi(utk k)dt()(ti,ti)Thti/ti()第期顾子兵,等:扩散反应方程的一种协调间断有限元法第 卷其中tittiti khututdttChk titi(utk k)dt()(uittui,ti)Thuittuiti()其中uittuittiti tti()ut t(t)dttiti ut tdt()结合上述不等式,有i,i()i,i()tti ttit uittui由此可得i,i()i,i()tti ttit uittuii,i()tiji tj(iji tj)tiji ujttuj tijtj tijtjtijujttuj结合式()()可以推出式()同理,由Y o u n g不等式有(uittui,ti)Th uittui/ti()联立式()()可得式()证毕由引理 和引理 及三角不等式可以推出下面的定理定理 设(uih,ih)VhWh,i,N为全离散协调间断有限元格式()的解,(u,)L(,;H()Hk()L(,;Hk()d)为式()的精确解,则下列估计成立t(uiuih)(uiuih,iih)(uhRkhu,)C hk(uk k)ttiut tdt()数值算例例 在式()中令AI,I为单位矩阵,c,则有u t x(x)x(x),t(x)x(x)(x)x(x)取k可以得到下表中的误差表 ,AI时的误差结果T a b E r r o r r e s u l t s f o r a n dAIth(e,e)o r d e r/E/E /E 分别取t/,/,/,h/,/,/,可以得到当AI,c时非定常定常扩散反应方程在能量范数(,)下 的误差和收 敛阶从表可以看出,原始变量u采用P元,通量采用P元,数值结果的收敛阶为一阶,数值格式有效例 令A(e)I,I为单位矩阵,c,则式()变为反应占优的扩散反应方程取k可以得到下表中的误差表 ,A(e)I时的误差结果T a b E r r o r r e s u l t s f o r a n dA(e)Ith(e,e)|o r d e r/E /E 从表可以看出,原始变量u采用P元,通量采用P元,t/,/,h/,/时,收敛阶可以达到一阶,因而本节中的数值格式具有鲁棒性结论本文对定常和非定常的反应扩散方程提出了一个全离散协调间断有限元格式算例表明该格式有效且鲁棒值得注意的是,协调间断有限元法虽然形式简洁,但在计算弱梯度时因使用了更高次数的弱梯度有限元空间而可能导致计算弱梯度的系数矩阵条件数很大,病态较为严重,从而使得求解较为困难此外,可令且去掉格式中的非对称稳定项,进 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期而通过验证L B B条件来证明去掉非对称稳定项后的格式也有唯一解,且形式更简单参考文献:W a n gJ,Y e XA w e a k G a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m sJJC o m p u tA p p lM a t h,:W a n gJ,Y eXA w e a kG a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r s e c o n do r d e r e l l i p t i cp r o b l e m sJM a t hC o m p u t,:M uL,W a n gJ,Y eXAl e a s t s q u a r e s b a s e dw e a kG a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e c o n do r d e re l l i p t i c e q u a t i o n sJ S I AMJS c i C o m p u t,:A W a n gX,M a l l u w a w a d uNS,G a oF,e t a l Am o d i f i e dw e a k G a l e r k i nf i n i t ee l e m e n t m e t h o dJJC o m p u tA p p lM a t h,:Y eX,Z h a n gSAc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o dJ I n tJN u m e rA n a lM o d e l,:Y eX,Z h a n gSAc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d(I I)J I n t JN u m e rA n a lM o d e l,:Y eX,Z h a n gSAc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o d(I I I)J I n t JN u m e rA n a lM o d e l,:M uL,Y eX,Z h a n gS D e v e l o p m e n to fp r e s s u r e r o b u s td i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h eS t o k e sp r o b l e mJJS c iC o m p u t,:P e h l i v a n o vAI,C a r e yGF,L a z a r o vR DL e a s t s q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n t s f o r s e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m sJS I AM J N u m e r A n a l,:李西,罗家福,冯民富非定常N a v i e r S t o k e s方程的一种非线性局部投影稳定化有限元方法J四川大学学报:自然科学版,:Y eX,Z h a n gSAc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u sG a l e r k i n f i n i t e e l e m e n tm e t h o d f o r t h eS t o k e sp r o b l e mo n p o l y t o p a lm e s h e sJ I n tJN u m e r M e t hF l u i d s,:F uH,G u oH,H o uJ,e t a lAs t a b i l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs t e a d ya n du n s t e a d yr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sJC o m p u t M e t h A p p lM e c hE,:李 开 泰,黄 艾 香,黄 庆 怀有 限 元 方 法 及 其 应 用M西安:西安交通大学出版社,张世清泛函分析及其应用M北京:科学出版社,W a n g X,Z h a iQ,Z h a n g RT h e w e a k G a l e r k i nm e t h o df o rs o l v i n g t h ei n c o m p r e s s i b l e B r i n k m a nf l o wJ JC o m p u tA p p lM a t h,:引用本文格式:中文:顾子兵,胡朝浪,杨荣奎,等扩散反应方程的一种协调间断有限元法J四川大学学报:自然科学版,:英文:G uZB,H uCL,Y a n gRK,e t a lAc o n f o r m i n gd i s c o n t i n u o u s f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd i f f u s i o n r e a c t i o ne q u a t i o n sJ JS i c h u a nU n i v:N a tS c iE d,: