讲好中考题,提升数学复习效果——以一道中考试题的解析和反思为例.pdf

数学之友2023年第10 期复讲好中考题,提升数学复习效果-以一道中考试题的解析和反思为例徐国红（江苏省苏州市吴中区木渎实验中学，江苏苏州，2 15 10 1）摘要：在九年级数学复习中，讲精知识要点、讲好综合题型、讲通思想方法是教师的重要任务.本文以一道2 0 2 2 年武汉市中考探究类试题为例，从特殊到一般的解题方法来解析试题，谈谈如何利用典型中考试题进行高效复习关键词：中考试题；一题多解；一题多变；思想与方法在九年级的数学复习阶段中,经过第一轮关于数学基础知识、基本技能、基本方法和思想全面系统地回顾与复习，学生基本掌握了内容,并形成了知识网络和结构，但是综合应用能力还不足.因此在第二轮复习中，教师需要立足于教学大纲、考试说明以及教情和学情，不仅要讲好知识专题或方法专题，而且要讲好典型的综合题和能力题，如教材上的习题或典型的中考真题,进一步引导学生完善知识体系,突破重难点，提炼数学思想方法，形成数学思维能力.下面以2 0 2 2 年武汉市中考题第2 3 题为例，具体谈谈如何充分挖掘试题的价值，讲好典型中考试题来进行数学二轮复习.【真题呈现】如图1,在ABC中,AB=AC,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长EDAF交AB于点F,探究一的值.AB问题探究：（1）先将问题特殊化.如图2，当AFZBAC=60时,直接写出一的值；AB（2）再探究一般情形.如图1,证明（1)中的结论仍然成立.问题拓展：如图3,在ABC中,AB=AC,D是AC的中点,G是边BC上一点，(n2),延长 BCBCn至点E,使DE=DG,延长ED交AB于点F,直接写出AF的值（用含n的式子表示）。AB1从特殊化情形入手，寻求多途径解决方法这是一道以等腰三角形和等边三角形为背景的综合题,第（1)题将ABC特殊化为等边三角形,教师向学生提问：借助等边三角形的性质，能否求出LAFD？问题给出后,让学生独立思考,并加以练习.在巡视了一番发现大部分学生能顺利地求出ZAFD=90,从而利用解直角三角形解出第(1)题.解法一：(1）如图2,ABC是等边三角形,D是AC的中点，.ZDBC=30BD=ED,.ZE=ZDBC=30,.:ZAFD=ZABC+ZE=90.在RtA FDAF中，=cos ZA=AD2充分利用等边三角形的三个角等于6 0 的性质以及等腰三角形两底角相等的性质得出ZAFE=90,再解直角三角形得出答案.继续探寻其他的思路，因为D是AC的中点，自然能联想到中位线，教师提问学生：能否借助中位线的性质，联立线段之间的关系呢？从而引导学生发现过点D能作两条中位线，从而找到两种解题思路.解法二：（1）如图4,取AB的中点P,连接DP.CG_ 1同解法一，AFE=90：D P 是ABC的中位线,.DP/BC.AD1文AD：-AB2AF_1AB-4DAADBDC图4EBH图5CE可证ADP是等边三角形，.AF=一AP.又AP=BCEB图1C图2EBG图3CE22AF1AB,.AFABAB42023.10_95数学之友解法三：如图5,取BC的中点H,连接DH.:DH是中位线,.DH/AB,DH=AB.可证DBHD E C（A S A），:BH =E C,EB3EH2:DH/AB,:.E D H E FB,EB3FB3AF_1EH2AB4AB4虽然都是作中位线，但是利用的知识点却完全不一样,解法二是利用ADP是等边三角形的性质使得问题得到解决，而解法三则是利用三角形的相似和全等来建立线段之间的关系.2借鉴特殊化解题思路,探求一般性问题的解决方法通过特殊化问题的解决过程，学生从知识点和解题方法两个方面获得解题的经验，这为解决更一般化的问题铺就了路径，按照上面的方法类比第（2）题，解法一：解三角形法.如图1,根据外角等于两内角和可知，LAFD=ZADB,又LA=ZA,A D FA BDAF_ADLAD:ADAB从等边三角形过渡到等腰三角形,图形也更一般化,不能再得到ZAFE=ZABC+E=90,这题可以从相似三角形着手解决问题.解法二：如图6,取AB的中点M,连接DM,证明D BM E D C（A S A）,得到ZMBD=ZCDE,可得ADZMBD=LADF,可证ADFA BD,又ADAB1AF1AD=AB2AB4解法二和解法一都是利用相似三角形获解，不同的是解法一利用外角的性质,而解法二则是利用全等三角形的性质得到角之间的相等关系.ADM2023年第10 期EB3(ASA),.BN=EC,可证EDNE FB,EN212ABAF_12AB4AFADFBEB3FB3AF1DHEN2AB4AB4FB问题拓展的图形更具有一般性,如果采用第(1)DH或(2)题的解法一、二的方法，显然是不可行的,采用解法三的思路，才能顺利得解.解析：取BC的中点N,连接DN,如图8.由（2）同理证明D G N D E C(A S A),.G N =CG1NECE,.NE=CG,BCnBC1NE2NE2可证nBNnBEn+2NEDN2E D N E FB,DN:BEBFn+2n+2AF2-n4AB43变式拓展，多角度多层次展开问题从分解难度的视角对题目进行变式，可以将问题特殊化、具体化，求解时可以赋予数值进行计算.变式1:如图1,在ABC中,AB=AC=5,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB于点F,求AF的值.变式2:如图1,在ABC中,AB=AC=5,BC=3,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB于点F,求CE的值.如果进一步深化问题,例题D一直是AC的中点,是一个特殊的静态点,如果把D设为一个动点又会怎样呢？变式3:如图9,在ABC中,AB=AC,D是AC上任意一点(不含A,C),若=t(0t0),延长BC至点E,使ACAFDE=DB,延长ED交AB于点F,探究一的值.ABAABED图11解析：如图12,过点D作DJ/AB,交BE于点J,可知DJ_DC_CJD J C A BC,=t.ABACBCDJJE可知DJEFBE,FBBE同上可以证明DJED CB（A A S），：J E=DJ_JEBCBC,:.FBBE2BC+tBC2+tABAB+(t?+2t)AB=t+2t+1.AB这种渐进式的变式，让学生的思维往深处展开，由静到动,使得问题也更具一般化.除此之外,在解题过程中让学生感悟到一题可以多解,而多题又可以归为一种方法,帮助学生更深刻地理解题目的意义.4解后反思4.1回归教材仍是解题教学的首要任务教材是复习的根本，在第二轮复习中，仍需要回归教材,把初中三年教材的知识连成线、铺成面、制成网，使之有机地结合在一起，形成一个系统的知识体系.常用思维导图可以把知识条理清晰地呈现出来.上述中考题紧紧围绕着三角形的知识展开,综合考查了三角形的中线、中位线、等腰三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形,因此教师可以让学生试着以思维导图的形式把这些知识串起来，以进一步帮助学生查漏补缺、完善知识体系.2023年第10 期DI_IEFBBEBCAF2t-=t?-2t+1.ABBCJEDF图121FB=2t+t24.2一题多解和一题多变是解题教学的重要途径类似的问题换一种情形出现，学生就束手无策了.这种情况说明学生就题论题、没有把握问题的实质、1没有提升思维能力.针对这种现象，教师要重视对教材中的重要例习题或是典型的模拟题、中考题的二次开发,或纵横比较、串联知识，让学生以不同的方法，从不同的角度解决同一问题,发散思维，整合知识、理解问题的实质;或多角度、多层次、多背景地去重新编拟题目；或变换条件、延伸问题，让学生在变式训练中明晰差异,在辨析中看清问题的本质.而当多组题目最终还是指向某个知识点、某种思想方法时，学生可以在规律中掌握通法，在提炼中整合知识思维.4.3数学思想与方法的提炼是解题教学的核心内容数学的思想与方法是数学的精髓，只有提炼思想与方法，才能让学生把握数学本质，提升数学能力和数学学科素养.在二轮复习教学中，教师要侧重数学思想、方法的再渗透.首先引导学生分析、探索出成功解决问题的方法，其次要对其中所蕴含的重要的数学知识、思想方法进行提炼.上述的中考题是一类探究类问题.题目的结构通常是先给出几个特殊化的问题,然后拓展探索一般性问题.在对特殊化问题探究的过程中，引导学生积累获得知识与方法的经验，接着解决一般性问题.一般化的问题与特殊化的问题具有相关性又有一定的变化.从特殊到一般的解题方法，转化与化归思想，以及几何方面的模型意识、几何直观和推理能力都是教师要重点渗透的方面.总之，数学二轮复习应重视解题教学，教师要以AF综合性、典型性、探究性、创新性的试题讲解为契机，AB以“知识点”带动“知识面”，完善知识体系，深化学生对知识的理解和运用；通过突破重难点，提炼思想与方法，提升学生的综合应用能力和数学思维能力.参考文献：1章建跃.理解数学是教好数学的前提J.数学通报，2015,54(1):61-63.2汪晓勤等.从一次测试看关于学生认知的历史发生原理 J.数学教育学报，2 0 0 5（8）：3 0-3 3.3黄秋明.初中数学教学中的“幽默”教学法新课程，2016(10):126-127.4冯忠良，伍新春等.教育心理学M.北京：人民教育出版社,2 0 15.5 陈佑清.教学论新编 M.北京：人民教育出版社,2 0 11.6单博,李善良.苏教版数学选择性必修第一册M.南京：江苏凤凰教育出版社，2 0 2 1.【7 丁杭缨.给学生一个立体的“数学”一一例谈“数形结合 J.人民教育，2 0 10(7)：3 9-42.8 任伟芳.欣赏“好看又好用”的三角函数 J.中学数学教学参考（上旬）,2 0 10(6)：2-3.2023.10_97