具有复发的SEIR传染病模型稳定性分析.pdf

第 卷 第期宁夏大学学报(自然科学版)年月V o l N o J o u r n a l o fN i n g x i aU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n 文章编号:()具有复发的S E I R传染病模型稳定性分析王飞,孙丹丹,胡雅婷,孟凡煦(新疆农业大学 数理学院,新疆 乌鲁木齐 )摘要:建立了一类具有复发的年龄结构S E I R传染病模型,根据下一代算子的思想推导出模型的基本再生数,并证明了平衡点的存在性最后,通过构造L y a p u n o v函数,验证了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性关键词:复发;基本再生数;L y a p u n o v函数;稳定性分类号:(中图)R ;O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:新疆维吾尔自治区自然科学基金面上项目(D A );新疆农业大学大学生创新创业训练计划项目(d x s c x )作者简介:王飞(),男,副教授,硕士,从事微分方程理论研究,(电子信箱)q q c o m传染病一直都是社会关注的热点几十年来,人们用大量的数学模型预测传染病的发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素并评估各种控制和预防传染病策略的有效性等而年龄是传染病流行的一个重要因素,年龄结构也影响传染率和恢复率等因素很早以前就有人开始研究关于具有年龄结构的传染病模型,例如T h i e m e等假设传染率及潜伏期依赖于染病年龄和饱和接触率,建立了一类考虑H I V病毒在同性人群中传播的年龄依赖模型徐文雄等考虑预防接种、宣传教育对疾病消除和控制的意义,建立了一类具有年龄结构的S I R流行病传播数学模型不同年龄阶段的人对疾病的感染程度也不相同,因此,研究一类具有复发的年龄结构的传染病模型具有实际意义模型的建立本节建立一类具有复发的年龄结构S E I R传染病模型把总人口N(t)分为易感者、潜伏者、感染者及恢复者个仓室,分别用S、E、I、r(t,a)表示设S(t),E(t),I(t),r(t,a)分别表示t时刻易感者、潜伏者、感染者及恢复者人群的数量所建立的仓室图见图,其中表示该人群的出生率;表示疾病的感染率;表示个体的自然死亡率;表示潜伏者转变为感染者的概率;k表示感染者的恢复率;(a)表示从移出仓室复发到染病仓室的年龄比例,总数量为(a)r(t,a)da;(a)r(t,a)(a)r(t,a)da SEISEIrSIEkI(a)r(t,a)r(t,a)图仓室图根据图建立S E I R传染病数学模型:dSdtS IS,dEdtS I()E,dIdt E(k)I(a)r(t,a)da,r(t,a)tr(t,a)a(a)r(t,a),S()S,E()E,I()I,r(t,)k I,()其中S,E,IR,),r(a)L,L(,),R)为映射:(,)R的一切L e b e s g u e可积函数类所构成的空间,而L(,),R)令N(t)S(t)E(t)I(t)r(t,a)da,根据方程()可推断N(t)满足常微分方程dN(t)dtN(t),当t趋近于无穷时N(t)趋向于,则可以定义模型()的正向不变集:(S,E,I,r(t,a)RL,宁夏大学学报(自然科学版)第 卷SEIr(t,a)da给出如下记号和表达式:(a)(a),(a)e x p a()d(),(a)(a)da由假设可推出,(s),d(s)ds(s)(s),s另外,对所有的,定义函数:()(a)e x p()aa()dda,得到()()进一步再定义函数(a)a()e x p a(s)dsd,可知(a),()和d(a)da(a)(a)(a),a基本再生数及平衡点的存在性根据文献 中的下一代算子思想,定义模型()的基本再生数:R()(kk)定理在模型()中,总存在无病平衡点P;地方病平衡点P存在当且仅当R证明模型()中存在无病平衡点P(S,),其中S现在我们假设P(S,E,I,r(a)是模型()的解,可得SIS,SI()E,E(k)I(a)r(a)da,dr(a)dt(a)r(a),r()k I()根据模型()第个、第个式子可解得r(a)r()(a)k I(a)()由模型()中第个式子可解得SI()将方程()代入模型()第个式子,解得EI(I)()()将()()式代入模型()第个式子,可解得I(kk)()(kk)()(kk)()(R)即当R时,模型()存在地方病平衡点P(S,E,I,r(a)稳定性分析定理当R时,P是局部渐近稳定的,当R时,P不稳定证明令x(t)SS,x(t)E,x(t)I,x(t,a)r(t,a),将模型()在P线性化可得dx(t)dtx(t),dx(t)dtSx(t)()x(t),dx(t)dt x(t)(k)x(t)(a)x(t,a)da,tax(t,a)(a)x(t,a),x(t,)k x(t)设x(t)xe t,x(t)xe t,x(t)xe t,x(t,a)x(a)e t是上述方程的解,其中x,x,x,x(a)和见下述证明,则 xx,xSx()x,x x(k)x(a)x(a)da,()x(a)dx(a)da(a)x(a),x()k x()对()式积分后代入()式可得 xSx(k)xk()xS(kk()xSkk()x设H()Skk()显然H()连续可微且H()a k()S()由于l i mH(),l i mH(),从而H()第期王飞等:具有复发的S E I R传染病模型稳定性分析有唯一的实根注意到H()Skk(kk)(R)若R,则;若R,则现令 i是方程H()的复根,则H(),表明,从而当且仅当R时H()至少有个正实部的根,当且仅当R时H()的根都具有负实部证毕定理当R时,无病平衡点P是全局渐近稳定的证明取L y a p u n o v函数为V SSSl nSSE(t)I(t)(a)r(t,a)da,则dV(t)dt SSdSdtSSSdSdtdEdtdIdt(a)r(t,a)tdadSdtSSdSdtdEdtdIdt(a)r(t,a)tdaS ISSS(S IS)S I()E E(k)I(a)r(t,a)da(a)(a)r(t,a)da(a)r(t,a)adaS ISSSSSISS I(k)I(a)r(t,a)()r(t,)SSSSSI(k)Ik I由于SI(k)Ik IS(k)k I(kk)(R)I当R时,dV(t)dt,并且dV(t)dt表明PP因此,由L a S a l l e不变集原理知平衡点P是全局渐近稳定的定理若R,则P是局部渐近稳定的证明令x(t)SS,x(t)EE,x(t)II,x(t,a)r(t,a)r(a)将模型()在P线性化可得dx(t)dtIx(t)Sx(t)x(t),dx(t)dtIx(t)Sx(t)()x(t),dx(t)dt x(t)(k)x(t)(a)x(t,a)da,tax(t,a)(a)x(t,a),x(t,)k x(t)设x(t)xe t,x(t)xe t,x(t)xe t,x(t,a)x(a)e t是上述方程的解,其中x,x,x,x(a)和见下述证明,则 xIxSxx,()xSxIx()x,()x x(k)x(a)x(a)da,()x(a)dx(a)da(a)x(a),x()k x()由()式得xSIx()由()式得xSSI()(I)x()由()式得x(a)x()e()aa()dk xe()aa()d()将()()代入(),可得 xSSI(I)()(k)k()x,kk()xSSI(I)()x由于x不为,kSSI(I)()k()()宁夏大学学报(自然科学版)第 卷假设()式的解满足R e由于(),其中(),从而()右边可变形为SSI(I)()k()Sk()Sk k由于RS()(kk),结果与()式矛盾因此,()式的任何解满足R e,所有P在R时是局部渐近稳定的结论本文主要建立了一类具有复发的年龄结构的S E I R传染病模型,通过下一代算子法得到模型的基本再生数为R()(kk)通过对R的分析,进一步证明平衡点的存在性结果表明,当R时,该模型的无病平衡点P全局渐近稳定;当R时,模型的地方病平衡点P在集合上是局部渐近稳定的若想控制传染病病毒传播,就要使基本再生数R的阈值小于参考文献:苏细容,刘胜一类具有年龄结构的S E I Q R传染病模型J南昌大学学报(理科版),():锁要红,张仲华具有一般非线性接触率及潜伏年龄结构的S E I S传染病模型稳定性J上海大学学报(自然科学版),():刘胜一个具有年龄结构和可变迁移率的S E I R模型J陕西师范大学学报(自然科学版),():B R AU EFR,S HUA IZ,VAN D E N D R I E S S CHEPD y n a m i c so fa n a g e o f i n f e c t i o nc h o l e r a m o d e lJM a t hB i o s c iE n g,():孙丹丹具有年龄结构的S E I R传染病模型的定性分析J河北师范大学学报(自然科学版),():孙丹丹,马丽,唐青,等具有年龄依赖的传染病模型定性分析J宁夏大学学报(自然科学版),():TH I EME H R,C A S T I L L O CHAV E ZCH o w m a yi n f e c t i o n a g e d e p e n d e n t i n f e c t i v i t ya f f f f e c tt h ed y n a m i c so f H I V/A I D SJ S I AM J A p p l M a t h,():徐文雄,张仲华年龄结构S I R流行病传播数学模型渐近分析J西安交通大学学报,():D I E KMANN O,HE E S T E R B E E KJA,ME T ZJAJ O nt h ed e f i n i t i o na n dt h ec o m p u t a t i o no ft h eb a s i cr e p r o d u c t i o nr a t i oRi nm o d e l sf o r i n f e c t i o u sd i s e a s e si nh e t e r o g e n e o u sp o p u l a t i o n sJ J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lB i o l o g y,():S t a b i l i t yA n a l y s i so fAS E I RE p i d e m i cM o d e lw i t hR e l a p s eW a n gF e i,S u nD a n d a n,H uY a t i n g,M e n gF a n x u(C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,X i n j i a n gA g r i c u l t u r eU n i v e r s i t y,U r u m q i ,C h i n a)A b s t r a c t:T h e s p r e a do f i n f e c t i o u sd i s e a s e s c o n t i n u e s t oe n d a n g e rh u m a nh e a l t ha n db r i n gh u g ed i s a s t e r s t ot h es o c i e t y A tp r e s e n t,h u m a nb e i n g sh a v ea c h i e v e dm a n ya c h i e v e m e n t s i nt h e r e s e a r c ha n dp r e v e n t i o no fi n f e c t i o u sd i s e a s e s,b u t i t s t i l l t h r e a t e n sh u m a n l i f e I n t h i sp a p e r,a na g e s t r u c t u r e dS E I Re p i d e m i cm o d e lw i t hr e l a p s e i se s t a b l i s h e d T h eb a s i c r e p r o d u c t i o nn u m b e ro f t h em o d e l i sd e r i v e db a s e do n t h e i d e ao f t h en e x tg e n e r a t i o no p e r a t o r,a n dt h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mi sp r o v e d F i n a l l y,t h es t a b i l i t yo ft h ed i s e a s e f r e ee q u i l i b r i u ma n dt h ee n d e m i ce q u i l i b r i u ma r ev e r i f i e db yc o n s t r u c t i n gt h eL y a p u n o vf u n c t i o n K e yw o r d s:r e l a p s e;b a s i c r e p r o d u c t i o nn u m b e r;L y a p u n o vf u n c t i o n;s t a b i l i t y(责任编辑张娣)