空间三角形重心的判定条件和算法.pdf

第 32 卷第 2 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.22023 年 6 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Jun.2023收稿日期:2022-04-23基金项目:陕西省教育厅教育教学课题重点项目(21BZ091);火箭军工程大学教育教学研究一般课题(HJJKTB2021027)作者简介:张 辉(1982),男,河南获嘉人,火箭军工程大学基础部副教授,主要研究方向为大学数学教学和动力系统稳定性。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.02.010空间三角形重心的判定条件和算法张辉,方晓峰,郑丽娜(火箭军工程大学 基础部,陕西 西安 710025)摘要:研究了空间三角形重心的判定条件和算法问题。首先给出两个关于空间三角形内点的重要引理,然后利用重心的定义和两个引理,给出了判定重心的 3 个充分必要条件,最后利用判定条件给出了空间三角形重心坐标的计算公式。旨在让学生对空间三角形的重心有更深入的理解和掌握,为空间三角形在工程技术领域中的应用提供技术支撑。关键词:空间三角形;重心;向量积;内点;中点中图分类号:O182.2文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)02-0046-040引言空间三角形的五心重心、内心、垂心、外心和旁心,是空间解析几何中重要的知识点。如何判定某点是空间三角形的五心是一个较为复杂的问题,而能否通过空间三角形 3 个顶点的坐标确定五心坐标的解析表达式也是值得关注的问题。本文主要针对空间三角形的重心问题,利用向量代数相关知识研究重心判定的充分必要条件,进而得到空间三角形重心坐标的表达式和相关性质。1两个引理为了研究空间三角形1-2 的重心问题,首先给出以下两个重要的关于空间三角形内点的引理。引理 1设 OP、OQ和 OR是以点 O 为起点的两两不共线的非零向量,则 OP+OQ+OR=0的充分必要条件为点 O 为空间 PQR 的一内点且OPsinQOR=OQsinROP=ORsinPOQ。证明必要性。因 OP+OQ+OR=0,则 OR=-(OP+OQ),由向量加法的平行四边形法则得,点 R 在射线段 OP+OQ的反延长线上,即 4 点 O、P、Q 和 R 共面,且点 O 为空间 PQR 的一内点。考虑向量积3OROR=-(OP+OQ)OR=-OP OR-OQ OR=0,即 有 OP OR=-OQ OR,则OPOR=OQOR,从 而OPORsin ROP=OQORsin QOR,又OR 0,则OPsin ROP=OQsin QOR,即 有OPsinQOR=OQsinROP。同理可得OPsinQOR=ORsinPOQ,故结论成立。充分性。若OPsinQOR=OQsinROP,则有OPsin ROP=OQsin QOR。又OR 0,则有OPORsinROP=OQORsinQOR,即OPOR=OQOR。又点 O 为空间 PQR 的一内点,则有 OPOR=-(OQOR),这是因为 OPOR=OQOR不可能成立。移项便有(OP+OQ)OR=0,则向量 OP+OQ和 OR要么同向,要么反向。又因点 O 为空间 PQR 的一内点,则 OP+OQ和 OR一定反向,下面证明OP+OQ=OR,等价于证明OP+OQ2=OR2。第 2 期张辉,等:空间三角形重心的判定条件和算法47 因为OP+OQ2=(OP+OQ)(OP+OQ)=OPOP+2OPOQ+OQOQ=OP2+2 OPOQcosPOQ+OQ2和OP=sinQORsinPOQOR,OQ=sinROPsinPOQOR,则有OP+OQ2=sin2QORsin2POQOR2+2sinQORsinROPsin2POQOR2cosPOQ+sin2ROPsin2POQOR2=sin2QOR+2sinQORsinROPcosPOQ+sin2ROPsin2POQOR2=sinQOR(sinQOR+sinROPcosPOQ)sin2POQOR2+sinROP(sinQORcosPOQ+sinROP)sin2POQOR2=sinQOR(-sin(ROP+POQ)+sinROPcosPOQ)sin2POQOR2+sinROP(sinQORcosPOQ-sin(QOR+POQ)sin2POQOR2=-sinQORcosROPsinPOQsin2POQOR2-sinROPcosQORsinPOQsin2POQOR2=-sinQORcosROP+sinROPcosQORsinPOQOR2=-sin(QOR+ROP)sinPOQOR2=sinPOQsinPOQOR2=OR2,即OP+OQ=OR,故有 OP+OQ=-OR。同理可得,OQ+OR=-OP,OR+OP=-OQ,故有 OP+OQ+OR=0。对于引理 1,需要注意的是,在条件表达中要求点 O 必须为空间 PQR 的一内点,也就是说,仅仅条件OPsinQOR=OQsinROP=ORsinPOQ是不能保证 OP+OQ+OR=0成立的。例如 4 个点 O(0,0,0)、P(1,0,0)、Q(0,1,0)和 R(1,1,0),虽有OPsinQOR=OQsinROP=ORsinPOQ=2,但 OP+OQ+OR0,这是因为点 O 为空间 PQR 的外点。利用引理 1 的结论,可以得到引理 2。引理 2设点 O 为空间 ABC 的任意一个内点,则有SOBCOA+SOCAOB+SOABOC=0。证明记 OP=SOBCOA,OQ=SOCAOB,OR=SOABOC,因点 O 为空间 ABC 的一内点,则点 O 也为空间PQR 的一内点。因为SOBCOAsinBOC=SOBCOAsinBOC=12OBOCsinBOC OAsinBOC=12OAOBOC,SOCAOBsinCOA=SOCAOBsinCOA=12OCOAsinCOA OBsinCOA=12OAOBOC,SOABOCsinAOB=SOABOCsinAOB=12OAOBsinAOB OCsinAOB=12OAOBOC,48 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年即有SOBCOAsinBOC=SOCAOBsinCOA=SOABOCsinAOB。又sinBOC=sinQOR,sinCOA=sinROP,sinAOB=sinPOQ,则有OPsinQOR=OQsinROP=ORsinPOQ。由引理 1 得,OP+OQ+OR=0,即有 SOBCOA+SOCAOB+SOABOC=0。2重心的判定条件和计算由三角形面积的性质,可得命题 1。图 1空间三角形的重心Fig.1Gravity center of space triangle命题 1若点 O 为空间 ABC 的重心(图 1),即点 O 为 3 条中线 AD、BE 和CF 的交点,则有SOAF=SOFB=SOBD=SODC=SOCE=SOEA=16SABC和SOBC=SOCA=SOAB=13SABC。利用引理 2 和命题 1,下面研究并给出判定空间一点是空间三角形重心的充分必要条件。定理 1点 O 为空间 ABC 重心的充分必要条件是 OA+OB+OC=0。证明必要性。若点 O 为空间 ABC 的重心,则点 O 为空间 ABC 的一内点,如图 1 所示。由引理 2得,SOBCOA+SOCAOB+SOABOC=0。由命题 1 得,SOBC=SOCA=SOAB,故有 OA+OB+OC=0。充分性。作以 OB 和 OC 为相邻两边且 BC 为对角线的平行四边形 COBH,则 OH=OB+OC。若 OA+OB+OC=0,则 OB+OC=-OA。又 OH=OB+OC,则 OH=-OA,即点 A、O 和 H 共线。又平行四边形 COBH 两条对角线的交点为 D,则点 D 在线段 AH 上,又BD=CD,则 AD 是过点 O 的中线。同理可得,BE 和 CF 均是过点 O 的中线。故点 O 为空间 ABC 的重心。事实上,利用定理 1 也可以得到判定重心的另一个充分必要条件。定理 2若点 P 为空间内任一点,则点 O 为空间 ABC 重心的充分必要条件是 PO=13(PA+PB+PC)。证明必要性。若点 O 为空间 ABC 的重心,由定理 1 可得,OA+OB+OC=0。又 PO=PA+AO,PO=PB+BO,PO=PC+CO,则 3PO=PA+PB+PC-OA-OB-OC=PA+PB+PC,故有 PO=13(PA+PB+PC)。充分性。若 PO=13(PA+PB+PC),则 3PO=PA+PB+PC。又 PO=PA+AO,PO=PB+BO,PO=PC+CO,则3PO=PA+PB+PC-OA-OB-OC,即 OA+OB+OC=0。由定理 1 得,点 O 为空间 ABC 的重心。事实上,在定理 2 中若取点 P 恰好为重心 O 即为定理 1。因此,定理 1 是定理 2 的特殊情形。同时定理1 和定理 2 不仅分别给出了一个判断空间一点是空间三角形重心的充分必要条件,而且分别提供了一种求重心坐标便捷有效的方法。设空间三角形 ABC 3 个顶点的坐标分别为 A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和 C(x3,y3,z3),记重心为 O(x,y,z),若取点 P 为空间直角坐标系的原点,由定理 2 可得(x,y,z)=13(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)+(x3,y3,z3)=13(x1+x2+x3,y1+y2+y3,z1+z2+z3),故重心 O 的坐标为(x1+x2+x33,y1+y2+y33,z1+z2+z33)。特别地,在定理 2 中若取点 P 分别为顶点 A、B 和 C,则有以下定理 3。第 2 期张辉,等:空间三角形重心的判定条件和算法49 定理 3点 O 为空间 ABC 重心的充分必要条件是 AO=13(AB+AC)或 BO=13(BA+BC)或 CO=13(CA+CB)。值得注意的是,借助于重心 O 的坐标,可以计算OA=OA=13(2x1-x2-x3)2+(2y1-y2-y3)2+(2z1-z2-z3)2,因为点 D 为线段 BC 的中点,则点 D 的坐标为(x2+x32,y2+y32,z2+z32),此时有OD=OD=16(2x1-x2-x3)2+(2y1-y2-y3)2+(2z1-z2-z3)2=12OA,即 OA=2OD。同理可得 OB=2OE 和 OC=2OF。也就是说,空间三角形的重心到某顶点的距离是到该顶点对应边的中点的距离的 2 倍。事实上,这个结论和定理 3 的结论是一致的。3结语本文研究了空间三角形重心的判定条件和计算问题,得到了判定重心的 3 个充分必要条件,并利用判定条件给出了空间三角形重心坐标的计算公式,旨在让学生对空间三角形的重心有更深入的理解和掌握,为空间三角形在工程技术领域4-7中的应用提供技术支撑。值得注意的是,平面三角形关于五心的研究已经有了许多优美的结论8-10,而空间三角形与五心有关的计算结果会与之不同,进而丰富了空间解析几何11-14的内容体系。参 考 文 献1龙德明.欧氏空间三角形的性质J.西南民族学院学报(自然科学版),1997,23(2):227-2302张辉,李应岐,方晓峰.机器人空间三点圆弧的圆心算法及 MATLAB 实现J.科技资讯,2021(15):21-243同济大学数学系.高等数学(下册)M.7 版.北京:高等教育出版社,2014:17-204宋月婷 纹理重建中的图像异常区域检测方法D.武汉:武汉大学,20195洪祯.空间三角形结构件焊接工艺及参数研究D.郑州:郑州大学,20176于海燕,余沛文,张帅.两空间三角形的退化关系研究J.图学学报,2016,37(3):349-3547何小辉,武振宇.节点刚度对方管空间三角形桁架动力性能的影响J.建筑科学与工程学报,2012(1):63-698刘才华.四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链J.数学通报,2018,57(8):61-629胡文生.锐角三角形四心垂足三角形的周长不等式链J.数学通报,2017,56(3):54-5710 刘才华.四心垂足三角形面积的一条不等式链J.数学通报,2016,55(3):58-5911 丘维声.解析几何M.3 版.北京:北京大学出版社,2015:25-3412 李养成.空间解析几何M.北京:科学出版社,2007:45-5613 黄宣国.空间解析几何M.上海:复旦大学出版社,2019:34-4514 黄廷祝,成孝予.线性代数与空间解析几何M.北京:高等教育出版社,2018:225-237Judging Conditions and Computing Method of Gravity Center of Space TriangleZHANG Hui,FANG Xiaofeng,ZHENG Lina(Department of Basic Courses,Rocket Force University of Engineering,Xian 710025,China)Abstract:The judging conditions and computing method of the center of gravity of spatial triangle are studied.Firstly,two important lemmas about the interior points of spatial triangles are given,then three sufficient and necessary condi-tions for judging the center of gravity are given by using the definition of the center of gravity and two lemmas.Finally,the calculation formula of the coordinates of the center of gravity of spatial triangles is given by using the judging condi-tions,so that students can have a deeper understanding and mastery of the center of gravity of spatial triangle,which ro-vide technical support for the application of spatial triangle in the field of engineering technology.Key words:space triangle;center of gravity;vector product;interior point;midpoint