2015高考数学(文-)一轮复习题有答案解析(6份)阶段示范性金考卷二.doc

阶段示范性金考卷二
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i2＝－1，则复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝＝－－i，对应点为(－，－)．
答案：D
2．已知sin(＋θ)＝，则cos(π－2θ)＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：依题意得sin(＋θ)＝cosθ＝，cos(π－2θ)＝－cos2θ，由二倍角公式可得cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，所以cos(π－2θ)＝－cos2θ＝，故选D.
答案：D
3．已知向量a＝(3，－1)，向量b＝(sinα，cosα) ，若a⊥b，则sin2α－2cos2α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：由a⊥b可得3sinα＝cosα，故tanα＝；sin2α－2cos2α＝＝＝－.
答案：B
4．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为(　　)

A. 　　　　 B. －
C. D. －
解析：·＝(＋)·(＋)
＝[＋(1－λ)]·(＋λ)
＝[·－λ＋(λ－1)＋λ(1－λ)·]
＝(λ－λ2＋1)×1×1×cos60°－λ＋λ－1
＝(－λ2＋λ)－
＝－(λ－)2－(λ≤R)．
当λ＝时，则·的最大值为－.故选D项．
答案：D
5．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为(　　)
A．y＝sin(2x－)＋1　　　 B．y＝2cos2x
C．y＝2sin2x D．y＝－cos2x
解析：函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到y＝sin2(x－)＝sin(2x－)＝－cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为y＝－cos2x＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x，故选C.
答案：C
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<) 的图象关于直线x＝对称，且f()＝0，则当ω取最小值时φ＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：－≥×，解得ω≥2，故当ω取最小值时，f(x)＝sin(2x＋φ)，根据f()＝0，得sin(＋φ)＝0，由于－<φ<，所以φ＝－.
答案：B
7．已知向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由a·(a＋b)＝3得，|a|2＋a·b＝3，又|a|＝2，所以a·b＝－1.cos〈a，b〉＝＝－.故向量a与b的夹角为.
答案：C
8．若函数f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x＋)，则其一个单调递增区间为(　　)
A．[0，π] B．[0，]
C．[－π，0] D．[－，0]
解析：f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x＋)＝sin(2x－)－cos(2x－)＝sin(2x－)＝－cos2x，由于y＝cosx的一个单调递减区间是[0，π]，所以f(x)的一个单调递增区间为[0，]．
答案：B
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A. B.
C. D．1
解析：由图象可知T＝2[－(－)]＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)过点(－，0)，|φ|<，代入可得φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)．
∵x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，∴x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝.
答案：C
10．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC面积之比等于(　　)
A. B.
C. D.

解析：由|3－－|＝0得3－－＝0，即＝(＋)．如图，＋＝，由于S△ABC＝S▱ABDC＝S△ABD，而＝，所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
答案：C
11．若x∈[0，]，sin(x－)＝，则sin(2x＋)的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由sin(x－)＝得，sinxcos－cosxsin＝，sinx－cosx＝，两边平方得sin2x＋－sin2x＝，∴·＋－sin2x＝，即sin2x·＋cos2x·＝，∴sin(2x＋)＝.
答案：D
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(acosB＋bcosA)＝2csinC，a＋b＝4(a，b在变化)，且△ABC的面积最大值为，则此时△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．正三角形
解析：由正弦定理得(sinAcosB＋cosAsinB)＝2sin2C，即sin(A＋B)＝sinC＝2sin2C，即sinC＝，C＝60°或120°，△ABC的面积S＝absinC＝ab≤()2＝，当且仅当a＝b时等号成立，此时a＝b＝2，选择C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知向量a＝(8，)，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.
解析：a－2b＝(8－2x，－2)，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由题意得(8－2x)(x＋1)＝(－2)(16＋x)，整理得x2＝16，又∵x>0，∴x＝4.
答案：4
14．已知向量a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
解析：由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1.
答案：1
15．[2013·海淀区期末练习]函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)＝________.

解析：由图可知，A＝2，f()＝2，
∴2sin(＋φ)＝2，sin(＋φ)＝1，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
∴f(0)＝2sinφ＝2sin(－＋2kπ)＝2×(－)＝－1.
答案：－1
16．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝________.
解析：依题意得|3a|＝3，|4b|＝4，|5c|＝5，又3a＋4b＋5c＝0，所以向量3a、4b、5c首尾相接构成一个直角三角形，因此有a·b＝0，a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝a·c＝|a|·|c|cosθ＝cosθ＝－(其中θ为向量a与c的夹角)．
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)[2014·河北高三质检]已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A；
(2)若a＝1，且c－2b＝1，求角B.
解：(1)由acosC＋c＝b，得sinAcosC＋sinC＝sinB，
∵sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinC＝cosAsinC，又sinC≠0，∴cosA＝，A＝.
(2)由c－2b＝1，得c－2b＝a，即sinC－2sinB＝sinA.
又A＝，∴C＝π－B，
∴sin(π－B)－2sinB＝，
整理得cos(B＋)＝.
∵0<B<π，∴<B＋<π.
∴B＋＝，即B＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x－，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得函数g(x)的图象，设△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c；
(1)若f(C)＝0，c＝6,2sinA＝sinB，求a，b的值．
(2)若g(B)＝0且m＝(cosA，cosB)，n＝(1，sinA－cosAtanB)，求m·n的取值范围．
解：(1)f(x)＝sinxcosx＋sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1.
f(C)＝sin(2C－)－1＝0，∴sin(2C－)＝1，∴C＝.
∵2sinA＝sinB，由正弦定理可得b＝2a　①
由余弦定理知：a2＋b2－2abcos＝36，即a2＋b2－ab＝36　②
由①②解得：a＝2，b＝4.
(2)由题意知g(x)＝sin(2x＋)－1，
∴g(B)＝sin(2B＋)－1＝0，∴sin(2B＋)＝1，∴B＝，
于是m·n＝cosA＋(sinA－cosA)＝cosA＋sinA＝sin(A＋)，
∵B＝，∴A∈(0，)，得A＋∈(，π)．
∴sin(A＋)∈(0,1]，即m·n∈(0,1]．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(2a＋b)cosC＋ccosB＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝4，求使△ABC面积取得最大值时的a，b的值．
解：(1)由已知及由正弦定理得(2sinA＋sinB)cosC＋sinCcosB＝0，所以2sinAcosC＋(sinBcosC＋sinCcosB)＝0，
所以sin(B＋C)＋2sinAcosC＝0，
即sinA＋2sinAcosC＝0.
因为0<A<π，sinA>0，所以cosC＝－，所以C＝.
(2)因为△ABC的面积为S＝absinC＝ab，若使得S取得最大值，只需要ab取得最大值．
由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcosC，
即16＝a2＋b2＋ab≥3ab，故ab≤，当且仅当a＝b时取等号．
故使得△ABC面积取得最大值时a、b的取值为a＝b＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω>0)的图象上两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，
由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)．
由2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为[＋，＋](k∈Z)．
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin[4(x－)＋]＝sin(4x－)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－)的图象．所以g(x)＝sin(2x－)．
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，－≤sin(2x－)≤1，
当2x－＝－，即x＝0时，g(x)min＝－；
当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝1.
21．(本小题满分12分)[2014·长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A、B、P、Q，欲测量P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现可测得A、B两点间的距离为100 m，如图，同时也能测量出∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，则P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离各为多少？

解：在△PAB中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，
由正弦定理得＝，解得AP＝50.
在△QAB中，∠ABQ＝90°，∴AQ＝100.
又∠PAQ＝75°－45°＝30°，
由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQ·cos∠PAQ＝(50)2＋(100)2－2×50×100×cos30°＝5000，
∴PQ＝＝50.
∴P、Q两棵树之间的距离为50 m，A、P两棵树之间的距离为50 m.
22．(本小题满分12分)设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝(cosA,2cos2)，求|s＋t|的取值范围．
解：(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，
即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，设a，b，c为内角A，B，C所对的边长，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
再由余弦定理得cosC＝＝，∵0<C<π，
∴C＝.
(2)∵s＋t＝(cosA,2cos2－1)＝(cosA，cosB)，
∴|s＋t|2＝cos2A＋cos2B
＝cos2A＋cos2(－A)
＝＋
＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin(2A－)＋1，
∵0<A<，∴－<2A－<，
∴－<sin(2A－)≤1，
∴≤|s＋t|2<，∴≤|s＋t|<.

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