结合代数上的李n-导子.pdf

第 35 卷第 3 期湖南文理学院学报(自然科学版)Vol.35 No.32023 年 9 月Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology)Sep.2023doi:doi:10.3969/j.issn.16726146.2023.03.002结合代数上的李 n导子 刘卓,袁鹤(吉林师范大学 数学与计算机学院,吉林 四平,136000)摘要:设 R 是交换环,A 和 B 是 R 上的两个结合代数。利用恒等式理论,证明了在一定条件下,A 和 B 上的李n导子是标准的当且仅当AB 上的李 n导子是标准的。关键词:李 n导子;李导子;导子中图分类号:TP 391文献标志码:A文章编号:16726146(2023)03000606Lie n-derivations on associative algebrasLiu Zhuo,Yuan He(College of Mathematics and Computer,Jilin Normal University,Siping 136000,China)Abstract:Let R be a commutative ring,and A and B be two associative algebras over R.Using the identity theory,this paper proves that under certain assumptions,Lie nderivations of A and B are proper if and only if Lien-derivation ofAB is proper.Key words:Lie n-derivation;Lie derivation;derivation早在 1961 年,Herstein 就提出了关于结合单环上和素环上的李型映射都具有标准形式的猜想1。1964 年 Martindale2证明了存在非平凡幂等元的本原环上的李导子可以表示成一个导子和一个中心可加映射之和。2003 年 Mathieu 等3证明了 C*代数上的李导子都是标准的。2003 年 Cheung4证明了三角代数上的李导子是标准的,同时也证明了 A1和 A2上的李导子是标准的当且仅当12AA上的李导子是标准的,其中 A1,A2是有单位元的交换环 R 上的两个结合代数。2006 年 Lu5证明了某些 CSL 代数上的李导子是标准的。2017 年 Zhang6等研究了关联代数上李导子的标准形式。关于李三导子标准形式的研究同样起源于 Herstein 李型映射的猜想1。1978 年 Miers7证明了不存在中心 Abel 直和项的 von Neumann 代数上的李三导子是标准的。1993 年 Brear8证明了在一定条件下素环上的李三导子都是标准的。2006 年 Zhang 等9和 2007 年 Lu10先后证明了套代数上的李三导子是标准的。2012 年 Xiao 等11证明了三角代数上的李三导子是标准的。2019 年 Wang 等12研究了关联代数上李三导子的标准形式,并且证明了在一定件下,A 和 B 上的李三导子是标准的当且仅当AB上的李三导子是标准的,其中 A,B 是 R代数。随着李导子和李三导子研究的不断深入,近几年学者们在李n导子标准形式的一类问题上也做出了重要的贡献。2013 年 Benkovi等13证明了三角环上的李 n导子是标准的。2013 年 Wang14等证明了广义矩阵代数上的李 n导子是标准的。2020 年 Xiao 等15证明了关联代数上的李 n导子是标准的。受文献4和12的启发,本文将李导子、李三导子的相关结论推广到李 n导子上,并利用恒等式理论证明在一定条件下,A 和 B 上的李 n导子是标准的充分必要条件为AB 上的李n导子是标准的。通信作者:刘卓,。收稿日期:20220920基金项目:吉林省科技发展计划项目(YDZJ202201ZYTS622);吉林省教育厅科学技术研究项目(JJKH20220422KJ)。第 3 期刘卓,等:结合代数上的李 n导子71预备知识为了更加清晰地阐述主要定理,本节给出相关知识。设R是交换环,A是R上的一个结合代数,若线性映射:d AA满足()()(),d xyd x yxd y,x yA则称 d 是A的导子。对于任意的,x yA,记,x yxyyx为Lie积。若线性映射:AA满足(,x)(),(),yx yxyx yA则称是A的李导子。如果一个李导子具有形式df,其中:d AA是一个导子,:()fAZ A满足(,)0,fx yx yA。那么称是标准的。接下来,给出李三导子的定义。定义 1若线性映射:AA满足(,)(),(),(),x y zxy zxyzx yzx yzA则称是A的李三导子。类似地,给出李 n导子的定义及其标准形式。定义 2设1112121121231232123123(),(,)(),(,)(,),p aap a ap aaa ap a a ap a aaa aa123112311231(,)(,),nnnnnnnp a a aapa a aaaa aaaa若线性映射:L AA满足1212121211123(,)(),)(,(),)(,(),),nnnnnnnniiinniL p a aap L aaap a L aap a aaL aaaa aaA则称 L 是 A 的李 n导子。如果一个李 n导子L具有形式 L=D+F,其中:D AA是一个导子,F A:()Z A满足1212(,)0,nnnF p a aaa aaA那么称 L 是标准的。对于 A 中任意元素 x,y,规定01,()y xyp y,12,(,)y xy xp y x,23,(,)y xy x xp y x x,归纳定义11,(,)nnny xy xxpy xx。对于正整数n,定义111()|,0,|(,)0,nnnnnZAaA a xxAaA pa aaaaA 显然1()()ZAZ A,而且对于11in ,有1()()iiZ AZA。设 B 也是 R 上的一个结合代数,定义0|,0aaA bBbAB 显然,在通常的矩阵运算下构成一个 R 上的结合代数。2主要定理及其证明引理 1设 A 是 R 上的结合代数,2()()Z AZA,则()()nZAZ A。证明令2n,因为()()nZ AZA,所以只需证明()()nZAZ A。事 实上,对 于任 意 的(),naZA12,na aaA有1121120(,)(,),nnnnpa a aapa aa1,nnaa则1122(,)()()nnpa aaZAZ A。因此12121320(,)(,),nnnnnnp a aaapa aaa1,na则2132(,)()()nnpa aaZAZ A。以此类推最后可以得到312120(,),p a a aa aa则2()()aZAZ A。综上所述对于任意的()naZA有()aZ A,即()()nZAZ A。即得证。引理 2设 A,B 是 R 上的两个结合代数,L 是AB 的一个李 n导子,则()()000()()0ABABla+h baLha+lbb,(1)其中:aA,bB,:AlAA,:BlBB,:AhAB,:BhBA是 R线性映射,且满足:(1)Al是A上的一个李 n导子,12(,)0Annhp a aa,11(),)0nAnp h a bb,1121,nnaaA b bbB;(2)Bl是B上 的 一 个 李 n 导 子,1211(,)0,(),)0,BnnnBnhp b bbp h b aa112,nbbB a a1naA。证明令aA,bB,:AlAA,:BlBB,:AhAB,:BhBA是 R线性映射,先假设式(1)成立。因为 L 是AB 的一个李 n导子,则对于任意的12,nx xxAB 有121123112311233(,)(),)(,(),)(,nnnnnnnniL ppLpLpx xxxxxxxxxxx xx8湖南文理学院学报(自然科学版)2023 年(),)inLxx。(2)特别地,取1212000,000000nnaaaxxx由式(1)、(2)得1212(,)00(,)AnnAnnlp a aahp a aa121213(),)(,(),)(,(),)000nnAnnAnnAinip laaap a laap alaa。则12121213(,)(),)(,(),)(,(),),nAnnnAnnAnnAinilp a aap laaap a laap alaa即Al是A上的一个李 n导子,以及12(,)0Annhp a aa,12,na aaA。同样的,取1100,0bx2200,0bx00,0nnbx可得到Bl是B上的一个李 n导子,以及12(,)0Bnnhp b bb,12,nb bbB。接 下 来 取121100000,0000nnabbxxx由 式(1)、(2)可 得 等 式01100,0(),)nAnp ha bb即11(),)0nAnp ha bb,11,naA bbB。同 样 的,取11120000=,00000nnaabxxx可 得 到11(),)0,nBnp h b aa1,a 1,naA bB。证毕。定理1,A B是R上的两个结合代数,且满足条件:(1)2()()Z AZA;(2)2()()Z BZB,则A和B上的李 n导子是标准的 AB 上的李 n导子是标准的。证明()假设A和B上的李 n导子是标准的,下面证AB 上的李 n导子也是标准的。设L是AB 上的一个李 n导子,由引理 2 得()()00,0()()0ABABlah baLhalbb其中:aA;bB;:AlAA,:BlBB,:AhAB,:BhBA是 R线性映射且满足:(1)Al是A上的一个李 n导子,12(,)0Annhp a aa,11(),)0nAnp h a bb,1,naaA,121,nb bbB;(2)Bl是B上的一个李n导子,12(,)0Bnnhp b bb,11(),)0nBnp h b aa,1,nbbB,121,na aaA。由引理 1 可得11()()()(),()()()()AnnBnnh aZBZ BZ Bh bZAZ AZ A。由假设知A和B上的李n导子都是标准的,则A上的李n导子Al可以写成AAAldf,其中Ad是A 上的一个的导子,:()AfAZ A满足12(,)0,Annfp a aa12,na aaA。同样的,B上的李 n导子Bl可以写成BBBldf,其中Bd是B上的一个导子,()BfBZ B:满足121(,)0,Bnnfp b bbb2,nbbB。令()00,0()0ABdaaDdbb()()00,0()()0ABBAfah baFfbh ab则 L=D+F。首先证明D是AB 上的导子。一方面,对于任意的121200,00aabb AB 其中1212,a aA b bB有12120000aaDbb12121 21 20()000()ABa ada aDbbdbb第 3 期刘卓,等:结合代数上的李 n导子912121212()()00()()AABBda aa dadb bb db。(3)另一方面,12121221121212210000000000000000AABBdadaaaaaaaDDdbdbbbbbbb 12121212()()00()()AABBda aa dadb bbdb。(4)比较式(3)、(4)得到1212121200000000aaaaDDbbbb 12120000aaDbb,即D是AB 上的导子。下证()()FZABAB 。事实上,设121200,00aabb AB 其中1212,a aA b bB,则1212211112122111000000()()0,0000000()()ABABaaaaaafah bFFFbbbbbbh afb 2211221100()()0000()()ABABaaf ah bbbh af b 12121212(),(),(),(),ABABfaah bah abfbb0即()()FZABAB 。最后证1212(,)0,nnnF px xxx xxAB。令121212000,000nnnaaabbbxxxAB,其中11,nnaaA bbB,则12(,)nnF px xx1212(,)00(,)nnnnp a aaFp b bb1111(,)(,)00(,)(,)AnnBnnBnnAnnfp aahp bbfp bbhp aa0。得证。综上所述AB 上的李 n导子L是标准的。()假设AB 上的李 n导子是标准的,下面证明A上的李 n导子也是标准的。设Al是A上的一个李 n导子,定义AB 上的李 n导子为0()0000AalaLb。下面证L是AB 上的李 n导子。令121212000,000nnnaaabbbxxx其中1,naaA,1,nbbB,一方面,121212(,)0(,)0(,)nnnnnnp a aaL pLp b bbx xx12(,)000Annlp a aa。(5)另一方面,121212123(),)0(),)(,(),)(,(),)00nnAnnnnnninip laaap LpLpLxxxxxxx xxx12123(,(),)0(,(),)00000nnAnnAinip a l aap a al aa1212123(),)(,(),)(,(),)000nnAnnAnnAinip l a aap a l aap a al aa。(6)由于Al是A上的一个李 n导子,所以121212(,)(),)(,(),)AnnnAnnAnlp a aap laaap a laa10湖南文理学院学报(自然科学版)2023 年123(,(),)nnAinip a alaa。比较式(5)、(6)得到121212(,)(),)(,(),)nnnnnnL ppLpLx xxxxxxxx123(,(),)nninipLx xxx。即L是AB 上的李 n导子。由假设知 L 是标准的,故 L=D+F,其中 D 是AB 上的一个导子,:()FZABAB满足1212(,)0,nnnF px xxx xxAB。由 L=D+F 及00aLb()000Al a,设000aD()0,0()AAdaha()000()00AAfaaFha,显然()()()AAAladafa。首先证明Ad是A上的导子。事实上,设1200,0000aa AB,其中12,a aA,一方面,12121212()00000()000000AAda aaaa aDDha a。(7)另一方面,12000000aaD1212000000000000aaaaDD 1212()()000AAda aa da。(8)比较式(7)、(8)有121212()()()AAAda ada aa da,即Ad是A上的导子。接下来证明()()AfAZ A。事实上,设1200,0000aa AB,其中12,a aA,由于F是AB 的中心映射,所以有1122121()0000(),00,0()00000000AAAfaaaafaaFha即12(),0Afaa,所以()()AfAZ A。最 后 证 明1212(,)0,Annnfp a aaa aaA。事 实 上,令121200,0000naaxxx000naAB,其中12,na aaA,则12121212(,)0(,)0(,),0(,)00AnnnnnnAnnfp a aap a aaF pFhp a aax xx0(9)即1212(,)0,Annnfp a aaa aaA。综上所述 A 上的李 n导子 lA是标准的。类似的方法可得 B 上的李 n导子 lB是标准的。证毕。参考文献:1HERSTEIN I N.Lie and Jordan structures in simple associative rings J.Bulletin Of The American Mathematical Society,1961,67(6):517531.2MARTINDALE III W S.Lie derivations of primitive rings J.Michigan Mathematical Journal,1964,11(2):183187.3MATHIEU M,VILLENAA R.The structure of Lie derivations on C*-algebras J.Journal Of Functional Analysis,2003,202(2):504525.4CHEUNG W S.Lie derivations of triangular algebras J.Linear Multilinear Algebra,2003,51(3):299310.5LU F Y.Lie derivations of certain CSL algebras J.Israel Journal Of Mathematics,2006,155(1):149156.6ZHANG X,KHRYPCHENKO M.Lie derivations of incidence algebras J.Linear Algebra Its Applications,2017,513:6983.第 3 期刘卓,等:结合代数上的李 n导子117MIERS C R.Lie triple derivations of von Neumann algebras J.Proceedings Of The American Mathematical Society,1978,71(1):5761.8BREAR M.Commuting traces of biadditive mappings,commutativity-preserving mappings and Lie mappings J.Transactions Of TheAmerican Mathematical Society,1993,335(2):525546.9ZHANG J H,WU B W,CAO H X.Lie triple derivations of nest algebras J.Linear Algebra Its Applications,2006,416(23):559567.10 LU F Y.Lie triple derivations on nest algebras J.Mathematische Nachrichten,2007,280(8):882887.11 XIAO Z K,WEI F.Lie triple derivations of triangular algebras J.Linear Algebra Its Applications,2012,437(5):1 2341 249.12 WANG D,XIAO Z.Lie triple derivations of incidence algebras J.Communications In Algebra,2019,47(5):1 8411 852.13 BENKOVI D,EREMITA D.Multiplicative Lie n-derivations of triangular rings J.Linear Algebra Its Applications,2012,436(11):4 2234 240.14 WANG Y,WANG Y.Multiplicative Lie n-derivations of generalized matrix algebras J.Linear Algebra Its Applications,2013,438(5):2 5992 616.15 XIAO Z K,YANG Y P.Lie n-derivations of incidence algebras J.Communications InAlgebra,2020,48(1):105118.(责任编校:张红)6TSILIMINGRAS D,SCHNIPPER J,DUKE A,et al.Post-DischargeAdverse EventsAmong Urban and Rural Patients ofan Urban Community Hospital:AProspective Cohort Study J.Journal of General Internal Medicine,2015,30(8):1 1641 171.7IGETA M,TAKAHASHI K,MATSUI S.Power and sample size calculation incorporating miss-pecifications of thevariance function in comparative clinical trials with over-dispersed count data J.Biometrics,2018,74(4):1 4591 467.8MATSUI S.Sample size calculations for comparative clinical trials with over-dispersed Poisson process data J.Statisticsin Medicine,2005,24(9):1 3391 356.9SHAN G.Exact sample size determination for the ratio of two incidence rates under the Poisson distribution J.Computational Statistics,2016,31:1 6331 644.10 ZHU H Y.Sample size calculation for comparing two Poisson or negative binomial rates in non-inferiority or equivalencetrialsJ.Statistics in Biopharmaceutical Research,2016:107115.11 STUCKE K,KIESER M.Sample size calculations for noninferiority trials with Poisson distributed count data J.Biometrical Journal,2013,55(2):203216.12 JENNISON C,TURNBULL B W.Group sequential analysis incorporating covariate information J.Journal of theAmerican Statistical Association,1997,92(440):1 3301 341.13 LACHIN J M.Introduction to sample size determination and power analysis for clinical trials J.Controlled ClinicalTrials,1981,2(2):93113.14 张秀萍,赵耐青.单臂临床试验生存分析的样本量估计J.复旦学报(医学版),2017,44(4):517520.15 张晓岚,蔡淳淳,陈晔.成组序贯设计中经典期中分析方法的比较J.湖南文理学院学报(自然科学版),2022,34(3):14,9.(责任编校:张红)(上接第 5 页)