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幂 函 数
1.幂函数的概念
一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数的图象与性质
由幂函数y＝x、y＝、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在__________上都有定义；
(2)幂函数的图象都过点__________；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；
(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________.
3.五种幂函数的比较
(1)幂函数的图象比较

(2)幂函数的性质比较
特征

y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域

值域

奇偶性

[来源:Zxxk.Com]

单调性

1.在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
例1　.已知y＝(m2＋2m－2)·＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值.

已知f(x)＝ ，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.

[来源:Z_xx_k.Com]
例2　已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x).

已知幂函数y＝(m∈Z)的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象.

[来源:学科网]

例3　比较下列各组数的大小：
(1)和； (2)和； (3)0.20.5和0.40.3.
比较下列各组数的大小：
(1)30.8 ，30.7； (2)0.213 ，0.233；
(3)，； (4)，和.
例4　已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足<的a的取值范围.

已知幂函数f(x)＝(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.

例5若函数f(x)＝＋(x2－mx＋1)0的定义域为R，求实数m的取值范围.

练习
一、选择题
1.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a
2.已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)(t∈N)是偶函数，则实数t的值为(　　)
A.0 B.－1或1 C.1 D.0或1
3.若函数f(x)＝则不等式－≤f(x)≤的解集为(　　)
A.[－1,2)∪[3，＋∞) B.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C. D.(1，]∪[3，＋∞)[来源:学科网]
二、填空题
4.函数y＝(m2－m－1)是幂函数且在x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为________.
5.已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0<x1<x2，则<.
其中正确的命题序号是________.
6.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________.
7.已知函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.在函数：①f1(x)＝，②f2(x)＝x，③f3(x)＝x2中，其中________是“保三角形函数”(填上正确的函数序号).
三、解答题
8.已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)<f(3).
(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数
g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]