渐开线变厚齿轮的承载力优化设计.pdf

收稿日期:基金项目:泉州市高新技术领域重点项目(项目编号:)作者简介:陈育明副教授硕士研究方向:现代设计方法:.:./.渐开线变厚齿轮的承载力优化设计陈育明(黎明职业大学 智能制造工程学院福建 泉州)摘 要:为了进一步提高变厚齿轮的承载能力以其接触应力和啮合刚度为优化目标函数进行了多目标优化设计并以接触应力最小、啮合刚度最大为目标建立优化数学模型使用 遗传算法对优化数学模型进行求解 实例验证表明优化设计后啮合齿面的接触应力下降啮合刚度增大承载性能获得改善 该优化设计能有效改善变厚齿轮承载性能为相关零件设计提供参考关键词:变厚齿轮接触应力啮合刚度优化设计中图分类号:文献标志码:文章编号:()():.:在轴线方向上渐开线变厚齿轮的变位系数随截面不同而变化且齿根圆、齿顶圆及齿厚都具有一定锥度 因渐开线变厚齿轮可以通过调整轴向位移来调节齿轮副的啮合间隙在理论上可实现零回差被广泛应用于精密机器人、高速游艇和四驱汽车等领域 相较于传统渐开线齿轮变厚齿轮啮合传动过程中的轮齿间接触状态更复杂其齿面负载能力不高啮合刚度也不足 因此在输入功率较大的传动中往往无法采用变厚齿轮 为此国内外一些学者采用数学建模、有限元分析、安装误差分析等方法对渐开线变厚齿轮的承载力展开了研究 倪高翔等建立了渐开线变厚齿轮的节圆锥几何数学模型研究了安装误差、第 卷 第 期 年 月 湖 北 理 工 学 院 学 报 .载荷和 几 何 参 数 等 刚 度 影 响 因 素 毛 汉 成等建立了一种变厚齿轮啮合刚度的求解数学模型采用有限元分析法对模型进行计算并对结果进行比较 李刚计算出了变厚齿轮时变啮合刚度和齿侧间隙 个参数在此基础上优化了变厚斜齿轮并系统地比较优化前后的传动误差和接触应力 石珍等建立了变厚齿轮传动过程中齿面接触的数学模型定量分析了接触应力的分布并用有限元法对接触模型进行验证本文在轮齿接触分析、承载分析和啮合刚度分析的基础上综合考虑影响接触应力和啮合刚度的因素提出一种以渐开线变厚齿轮结构参数为变量、接触应力和啮合刚度为目标函数的优化方法调用 软件优化工具箱中的遗传算法进行计算并以变厚齿轮减速器的实例证明该方法的可行性旨在为提高渐开线变厚齿轮的承载性能提供新的思路渐开线变厚齿轮啮合力计算根据赫兹接触理论实际工程中的理想刚体并不存在 个物体点接触时假定接触点附近为光滑曲面当受外加压力时接触点处发生弹性体变形二者实际是小面积面接触接触区域与椭圆近乎一致点接触及接触椭圆示意图如图 所示 图 中接触椭圆中 为长轴半长 为短轴半长()和()分别为弹性体 和 的表面和的第一主方向和 分别为弹性体 和 的变形量()点接触()接触椭圆图 点接触及接触椭圆示意图接触椭圆的方向由椭圆短轴与曲面第一主方向()之间的夹角 确定可表示为:()()()()()()()式()()中()和()分别表示曲面和的第一、第二主曲率 表示曲面和的第一主方向()和()之间的夹角即:()()()接触椭圆方程为:()()()()().()()()().()()()()(、)()根据赫兹接触应力公式接触区域近似椭圆的短轴半长 可用如下公式计算:()静态接触应力 可用如下公式计算:()()其中辅助参数 可表示为:()()()式()中 为泊松比 为弹性模量根据式()()可求出参数、以及/再根据文献 中 /的比值与参数、之间的关系表确定参数、根据式()和()可求得 和 因此求解渐开线变厚齿轮齿面接触应力的关键是确定轮齿齿面的主曲率和主方向而变厚角(又称切削角)是确定主曲率和主方向的重要指标变厚齿轮轮齿啮合复合刚度的确定在完整的啮合过程中齿轮各对参与啮合的轮齿存在不同刚度的综合作用即轮齿啮合复合刚度 轮齿啮合复合刚度主要由单齿变形、对齿复合变形和重合度等因素决定 其 湖 北 理 工 学 院 学 报 年中单齿变形是啮合时单齿在外力作用下的弹性变形对齿复合变形是啮合过程中一对轮齿各弹性变形的总效应可表示为:()式()中、分别为参与啮合的两轮齿复合弹性变形单对齿轮轮齿啮合复合刚度可表示为:()()式()中、分别为参与啮合的两轮齿的刚度/确定轮齿的啮合复合刚度的关键在于求解轮齿弹性变形 根据材料力学理论齿轮轮齿一端固定在轮圈上另一端自由可将其视为截面按一定规律变化的悬臂梁 在齿轮啮合过程中悬臂梁会产生弯曲弹性变形和剪切弹性变形啮合齿面会产生接触变形基础弹性变形会导致附加变形这些变形均为轮齿复合弹性变形的基本组成.变厚齿轮轮齿的基本变形变厚齿轮轮齿可简化成悬臂梁结构进行分析简化后的变厚齿轮轮齿如图 所示 由于变厚齿轮沿径向和轴向的截面均会变化可采用微元法计算轮齿的基本变形即将轮齿分成数量足够的微元图 中的阴影部分是其中 个微元 每个微元均被视为 个独立的悬臂梁各个微元变形的效应总和即为载荷作用点处的总变形图 简化后的变厚齿轮轮齿设作用在微元上的载荷为 微元的面积为 厚度为 微元 与受力点在 方向上的距离为 抗弯刚度为 载荷 与 轴间的夹角为 微元由于 的作用产生弯矩则该弯矩引发的变形为:()()()/()()微元由于 的作用产生横向力则该横向力引发的变形为:()()由微元 引发的剪切变形为:.()()/()()与普通圆柱齿轮不同变厚齿轮轮齿微元 沿轴向的横截面为梯形 因此上式中的、应按下式计算:()()()()()式()()中为微元 的大端齿厚为微元 的小端齿厚 为变厚齿轮齿宽 为变厚齿轮齿根倾角在载荷方向上轮齿由于 作用产生的总变形为:()().变厚齿轮齿根的附加变形实际工程中理想的刚性连接并不存在轮齿的根部实际固定在弹性轮圈上轮圈的弹性变形会引发啮合点产生附加变形因此在讨论综合变形时必须加以考虑 其变形量计算如下:.()()().(.)()()().变厚齿轮齿面的接触变形齿面接触变形公式如下:第 期 陈育明:渐开线变厚齿轮的承载力优化设计 ()(.).()根据材料力学理论对上述 种变形求和可得啮合点综合变形:()渐开线变厚齿轮承载力优化模型.设计变量在变厚齿轮的齿数、传动角、端面齿顶高系数、端面径向间隙系数已知的条件下影响目标函数的变量主要有变厚角、齿宽、端面变位系数()由此可得影响目标函数的主要设计变量可表示为:()()().目标函数确定啮合应力的目标函数时只考虑结构参数变量把其余相关值作为定值处理 接触应力最小的目标函数为:()()()同理确定啮合刚度的目标函数时只考虑结构参数变量其余相关值取与确定啮合应力的目标函数时进行相同的定值处理 接触刚度最大的目标函数为:()()变厚齿轮的承载能力优化涉及的优化目标有 个即应力最小化和刚度最大化 因其目标函数量纲不同结果相差也很大需要对应力和刚度目标函数作无量纲处理 在此基础上对目标函数采用加权法将 个目标函数统一为 个目标函数()()()()()()()()()()()()式()()中为将子目标函数统一在单目标函数中所占的比重.约束条件)的约束条件 在精确传动机构中为了能够严格控制轮齿啮合间隙以实现精准传动变厚齿轮必须能够实现实时调整和检查因此 的大小必须能够微调 的约束条件一般为 )变厚齿轮啮合不根切的约束条件 为使变厚齿轮不产生根切其齿数不能小于最小齿数 当齿轮加工刀具为齿条插刀时变厚齿轮啮合不根切的齿数约束条件为:()当齿轮加工刀具为齿轮插刀时变厚齿轮啮合不根切的齿数约束条件为:()()()大端变位系数的约束条件 为保证不产生根切大端变位系数 的约束条件为:()()的约束条件 为了提高齿轮的强度变厚齿轮齿宽的约束条件为:()()式()中 为变厚齿轮的模数)变厚齿轮啮合时的约束条件 啮合时的变厚齿轮接触应力由式()计算变厚齿轮的最大接触应力 小于许用接触应力变厚齿轮啮合的约束条件为:()().优化算法相对于常规的优化算法遗传算法结构简单可直接操作结构对象优化结果更佳计算速度更快 遗传算法流程如图 所示图 遗传算法流程 湖 北 理 工 学 院 学 报 年实例分析以 型渐开线变厚齿轮减速器变厚外齿轮为例进行优化设计 其基本参数为:传动比 输入功率 .输出转矩 输出转速 /运用 遗传算法求解上述优化数学模型结果见表 变厚外齿轮啮合全程中单个轮齿参与啮合的转角为 变厚齿轮优化前后接触应力和啮合刚度对比图分别如图 和图 所示表 变厚外齿轮的优化结果参数原始值优化值圆整值齿数()角/./.中心距/.节锥角()/.图 变厚齿轮优化前后接触应力对比图图 变厚齿轮优化前后啮合刚度对比图从图 和图 可以看出优化前后相比较单个轮齿从参与啮合开始(以 记)在啮合轮齿转过 处接触应力降低的比例最大降低 在啮合轮齿转过 处接触应力降低的比例最小降低.在啮合轮齿转过 处啮合刚度增加的比例最大增加了.在啮合轮齿转过 处啮合刚度增加的比例最小增加了.对比结果表明变厚齿轮的变厚角、大端变位系数、节锥角等参数经优化修改后能显著提升齿轮轮齿的承载能力 轮齿啮合过程中啮合转角 处接触应力相对较低、啮合刚度相对较大为理想的承载区域结论通过分析变厚齿轮轮齿的接触应力和啮合刚度建立了接触应力最小、啮合刚度最大的优化数学模型应用遗传算法进行求解获得一组最佳参数 优化后的接触应力降低啮合刚度增加有效增加了变厚齿轮的承载性能为变厚齿轮传动系统的设计提供了一种新的方法参 考 文 献 倪高翔朱才朝宋朝省等.平行轴渐开线变厚齿轮传动的几何设计与啮合特性分析.西安交通大学学报():.毛汉成傅琳于广滨等.考虑齿轮修形的变厚齿轮啮合刚度数值计算.计算机集成制造系统():.李刚.交错轴变厚斜齿轮副的力学特性分析及修形优化.哈尔滨:哈尔滨理工大学.石珍王家序肖科等.平行轴直齿渐开线变厚齿轮接触应力分析.机械设计与研究():.:.:.李瑰贤吴俊飞.型变厚齿轮减速器试验研究.机械传动():.(责任编辑 王 书)第 期 陈育明:渐开线变厚齿轮的承载力优化设计