卡拉比-丘代数的导出森田不变性.pdf

年月四川大学学报(自然科学版)J u l 第 卷第期J o u r n a l o fS i c h u a nU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o 卡拉比 丘代数的导出森田不变性余思睿,曾杰恒(四川大学数学学院,成都 ;北京大学数学学院,北京 )摘要:导出非交换代数几何是当前数学领域最活跃的分支之一本文研究了卡拉比 丘代数的导出森田不变性,证明:对于两个导出森田等价的代数,若其中一个是卡拉比 丘的则另一个也是卡拉比 丘的关键词:导出森田等价;卡拉比 丘代数中图分类号:O 文献标识码:AD O I:/j 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金(,)作者简介:余思睿(),男,博士,主要研究方向为量子化问题 E m a i l:b a n a e n o p t e r a c o mD e r i v e dM o r i t a i n v a r i a n c eo fC a l a b i Y a ua l g e b r a sY US i R u i,Z ENGJ i e H e n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,S i c h u a nU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,P e k i n gU n i v e r s i t y,B e i j i n g ,C h i n a)A b s t r a c t:D e r i v e dn o n c o mm u t a t i v e a l g e b r a i cg e o m e t r y i so n eo f t h eb e s t a c t i v eb r a n c h e s i nm a t h e m a t i c a lf i e l d W es t u d yt h ed e r i v e de q u i v a l e n c eo fC a l a b i Y a ua l g e b r a sa n ds h o wt h a t f o r t w od e r i v e dM o r i t ae q u i v a l e n t a l g e b r a s i fo n e i sC a l a b i Y a u,t h e ns o i s t h eo t h e r K e y w o r d s:D e r i v e dM o r i t ae q u i v a l e n c e;C a l a b i Y a ua l g e b r a(M S C E ,G )I n t r o d u c t i o nI n ,R i c k a r dd e f i n e dd e r i v e d t h e e q u i v a l e n c eo f t w oa l g e b r a s a n db u i l t t h ed e r i v e dM o r i t at h e o r y L a t e r i nR e f ,h e s h o w e d t h a t f o r t w od e r i v e de q u i v a l e n tf i n i t ed i m e n s i o n a la l g e b r a s,i fo n e i sas y mm e t r i ca l g e b r a,t h e ns o i s t h eo t h e r S y mm e t r i ca l g e b r a s a r e c l o s e l y r e l a t e d t oC a l a b i Y a u a l g e b r a s,a n o t i o n i n t r o d u c e d b yG i n z b u r gi n R e f I nf a c t,V a nd e nB e r g hs h o w e d i nR e f t h a t i f aC a l a b i Y a ua l g e b r a i sK o s z u l,t h e ni t sK o s z u ld u a la l g e b r ai ss y mm e t r i c I t i s t h e nn a t u r a l t oa s kw h e t h e r f o rt w od e r i v e dM o r i t ae q u i v a l e n ta l g e b r a s,n o tn e c e s s a r i l yK o s z u l,i fo n ei sC a l a b i Y a u,s oi st h eo t h e r I tt u r n so u t t h a t t h ea n s w e r i sy e s T h em a i nr e s u l to f t h i sp a p e r i sa s f o l l o w s:T h e o r e m L e tAa n dBb et w ok a l g e b r a s,w h e r eki saf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o I fAi sad C a l a b i Y a ua l g e b r a,w h e r edN,a n d i sd e r i v e de q u i v a l e n tt oB,t h e nBi sa l s oad C a l a b i Y a ua l g e b r a T h er e s to f t h ep a p e r i sd e v o t e dt ot h ep r o o fo f t h ea b o v et h e o r e m I t i so r g a n i z e da sf o l l o w s I nS e c t i o nw e r e c a l l s o m en o t i o n so f t h ed e r i v e dc a t e g o r yo f a nA b e l i a nc a t e g o r y,t h ed e r i v e d f u n c t o r,t h et r i a n g u l a t e dc a t e g o r ya n ds o m eo ft h e i rb a s i cp r o p e r t i e s I nS e c t i o n,w e f i r s t r e m i n d t h ed e r i v e dM o r i t a t h e o r ya n d t i l t i n g t h e o r yd e v e l o p e db yR i c k a r d,a n dt h e np r o v eT h e o r e m 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期T h r o u g h o u t t h ep a p e r,ki saf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o,a l la l g e b r a sa r eu n i t a lk a l g e b r a s A l l m o d u l e sa r el e f t m o d u l e su n l e s so t h e r w i s es t a t e da n dc o m p l e x e sa r ec o c h a i nc o m p l e x e s D e r i v e dc a t e g o r i e sI nt h i s s e c t i o nw e r e c a l l s o m eb a s i cn o t i o n s o ft h ed e r i v e dc a t e g o r y T h e ya r em o s t l y t a k e n f r o mR e f s,D e r i v e dc a t e g o r yw a so r i g i n a l l y i n t r o d u c e db y V e r d i e r N o w a d a y si tp l a y sa ni n c r e a s i n g l y i m p o r t a n t r o l e i n t h e s t u d yo f h o m o l o g i c a la l g e b r a,a l g e b r a i cg e o m e t r ya n dm a n yo t h e rf i e l d s S u p p o s eAi s a n a b e l i a n c a t e g o r y,l e tK o m(A)b e t h ec a t e g o r yo fc o c h a i nc o m p l e x e so v e rAa n dX,Yb eo b j e c t si n K o m(A)F o rt w o m o r p h i s m sf,gH o mK o m(A)X,Y(),w es a yfa n dga r eh o m o t o p ye q u i v a l e n t i f t h e r e i sam o r p h i s msH o mK o m(A)X,Y()s u c ht h a tssdfg,w h e r edi st h ed i f f e r e n t i a lo fXa n di s t h ed i f f e r e n t i a lo fY F o rac o m p l e xK,w ed e n o t eb yK i t h ec o m p l e xw i t hc o m p o n e n t sK i jKija n d()idKt h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n t i a l D e f i n i t i o n L e tAb ea na b e l i a nc a t e g o r y T h eh o m o t o p yc a t e g o r yK(A)i sd e f i n e da sf o l l o w s:t h eo b j e c t si nK(A)a r et h eo b j e c t si nK o m(A),a n dt h em o r p h i s m si nK(A)a r et h em o r p h i s m s i nK o m(A)m o d u l oh o m o t o p ye q u i v a l e n c e s D e f i n i t i o n L e tAb ea na b e l i a nc a t e g o r ya n dK o m(A)b et h ec a t e g o r yo fc o m p l e x e so v e rA T h e nt h e r ee x i s t s ac a t e g o r yD(A),c a l l e d t h ed e r i v e d c a t e g o r yo fA,a n da f u n c t o rQ:K o m(A)D(A)s u c ht h a t:(i)Q(f)i sa ni s o m o r p h i s mf o ra n yq u a s i i s o m o r p h i s mf,ie,a n ym o r p h i s mo f c o m p l e x e si n d u c i n g i s o m o r p h i s mo nc o h o m o l o g y;(i i)A n yf u n c t o rF:K o m(A)Dt h a ts e n d sq u a s i i s o m o r p h i s m st oi s o m o r p h i s m sc a n b eu n i q u e l yf a c t o r e dt h r o u g hD(A),ie,t h e r ee x i s t sau n i q u ef u n c t o rG:D(A)Ds u c ht h a tt h ef o l l o w i n gd i a g r a mc o mm u t e s E q u i v a l e n t l y,t h ed e r i v e dc a t e g o r yD(A)o fAi st h ec a t e g o r y w h o s eo b j e c t sa r eo b j e c t si nK(A)a n d w h o s e m o r p h i s m sa r e m o r p h i s m so fK(A)l o c a l i z e da tq u a s i i s o m o r p h i s m s L e tAb ea na b e l i a nc a t e g o r y F o r a n yM,ND(A),i ffH o mK(A)(M,N)i saq u a s i i s o m o r p h i s m,w ed e n o t eb yfH o mD(A)(N,M)i t si n v e r s e T h el o c a l i z a t i o no fh o m o t o p yc a t e g o r yb yq u a s i i s o m o r p h i s m si sc a n o n i c a l l yi s o m o r p h i ct ot h ed e r i v e dc a t e g o r y S t r i c t l ys p e a k i n g,w eh a v et h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o na n dd e f i n i t i o n P r o p o s i t i o n L e tAb e a nA b e l i a nc a t e g o r y F o ra n yM,ND(A),a n dgH o mD(A)(M,N),t h e r e i sam o r p h i s mfH o mK(A)(M,N)a n daq u a s i i s o m o r p h i s msH o mK(A)(M,N)s u c h t h a tgfsi nD(A)T h es a m e i st r u ef o rD(A)a n dK(A),w h e r e,b,o r D e f i n i t i o n L e tAb ea na b e l i a nc a t e g o r y T h el o c a l i z a t i o nf u n c t o ra s s o c i a t e d t oK(A),d e n o t e db yQA:K(A)D(A)i sd e f i n e da sf o l l o w s:F o ra n yMK(A),QA(M)Mi nD(A),a n df o ra n yM,NK(A),t h e f u n c t o rQA(M,N):H o mK(A)(M,N)H o mD(A)QA(M),QA(N)()i sg i v e nb yQA(M,N)(h)hi dM(),f o ra n yhH o mK(A)(M,N)R e m a r k L e tAb ea nA b e l i a nc a t e g o r y,d e n o t eb yK o m(A)(r e s p K o m(A)t h e s u b c a t e g o r y o f K o m(A)s u c h t h a tf o r a n yMi nK o m(A)(r e s p K o m(A),Mif o ri(r e s p i),a n dK omb(A)K om(A)K om(A)S i m i l a r l y,t h e s u b c a t e g o r i e sK(A),K(A),Kb(A)a n dD(A),D(A),Db(A)i nK(A)a n dD(A)r e s p e c t i v e l ya r ed e f i n e ds i m i l a r l y E x a m p l e F o r a n yk a l g e b r aA,t h e c a t e g o r yAM o do f a l lA m o d u l e sw i t hm o r p h i s m sb e i n gt h em o d u l eh o m o m o r p h i s m s i sa na b e l i a nc a t e g o r y T h ed e r i v e dc a t e g o r yD(A)o fAh a so b j e c t s t h e c o m p l e x e s o fA m o d u l e s,a n dm o r p h i s m sa r eo b t a i n e df r o m m o r p h i s m si nt h eh o m o t o p y 第期余思睿,等:卡拉比 丘代数的导出森田不变性第 卷c a t e g o r yo fAM o db y f o r m a l l y i n v e r t i n ga l l q u a s i i s o m o r p h i s m s Af u n c t o rF:ABb e t w e e nt w oc a t e g o r i e s i ss a i dt ob ea ne q u i v a l e n c eo f c a t e g o r i e s i f t h e r ee x i s t sa f u n c t o rG:BAs u c ht h a t t h ef u n c t o rGFi s i s o m o r p h i ct oI dAa n dt h ef u n c t o rFGi si s o m o r p h i c t oI dB T h e c a t e g o r yAa n dBa r e s a i d t ob ee q u i v a l e n c e P r o p o s i t i o n L e tAb eak a l g e b r aa n dAb et h ec a t e g o r yo fA M o dT h e nt h ec a t e g o r yD(A)i se q u i v a l e n tt oK(P r o jA),w h e r eK(P r o jA)i s t h eh o m o t o p yc a t e g o r yo f t h e c a t e g o r yo f a l l p r o j e c t i v eA m o d u l e s W en e x t i n t r o d u c eR i c k a r d sd e f i n i t i o no fd e r i v e dM o r i t ae q u i v a l e n c ew h i c hi sa ne q u i v a l e n c eb e t w e e nt r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s T ot h i se n dw ei n t r o d u c e t h ec o n c e p to f a t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y D e f i n i t i o n L e tAb ea na d d i t i v ec a t e g o r yt o g e t h e rw i t ha ns e l f e q u i v a l e n c e:AA(c a l l e d t h e t r a n s l a t i o n f u n c t o r)A s e x t u p l eA,B,C,u,v,w()i s c a l l e dat r i a n g l ei nAi fA,B,Ca r eo b j e c t s i nA,a n du,v,wa r em o r p h i s m sa sf o l l o w s:u:AB,v:BC,w:C (A)At r i a n g l e i su s u a l l yw r i t t e na sAm o r p h i s mo f t r i a n g l e sA,B,C,u,v,w()A,B,C,u,v,w()i sat r i p l ef,g,h()w h e r efM o rAA,A(),gM o rAB,B()a n dhM o rAC,C()s u c ht h a tt h es q u a r e s i nt h ed i a g r a ma r ec o mm u t a t i v e D e f i n i t i o n A na d d i t i v ec a t e g o r yAi sc a l l e dat r i a n g u l a t e dc a t e g o r yi fi ti se q u i p p e dw i t hat r a n s l a t i o nf u n c t o ra n d a d i s t i n g u i s h e df a m i l yo f t r i a n g l e s(A,B,C,u,v,w),c a l l e dt h ed i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e si nA,s u b j e c tt ot h ef o l l o w i n gf o u ra x i o m s(T R)E v e r ym o r p h i s mf:ABi nAc a nb ee m b e d d e d i nad i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e(A,B,C,f,v,w)I fABa n dC,t h e nt h et r i a n g l eA,A,i dA,()i sad i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e I fA,B,C,u,v,w()i s i s o m o r p h i c t oad i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e(A,B,C,u,v,w),t h e nA,B,C,u,v,w()i sa l s oad i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e(T R)I fA,B,C,u,v,w()i sad i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e,t h e nB,C,(A),v,w,u()()a n d(C),A,B,w(),u,v()a r ea l s od i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e s(T R)G i v e nt w od i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e sw i t hm o r p h i s mf:AA,g:BB s u c ht h a tguu f,t h e r ee x i s t sam o r p h i s mh:CC s u c ht h a tf,g,h()i sam o r p h i s mo f t r i a n g l e s(T R)G i v e nd i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e s(A,B,C,u,j,),(B,C,A,v,i)a n d(A,C,B,v u,)a si nt h ef o l l o w i n go c t a h e d r o nt h e r ee x i s tm o r p h i s m sf:C B a n dg:B A s u c h t h a tC,B,A,f,g,(j)i()i sad i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e,a n dt h et w oo t h e rf a c e so f t h eo c t o h e d r o nw i t hf,ga se d g e sa r ec o mm u t a t i v ed i a g r a m s A c t u a l l y,aw i d e c l a s so f c a t e g o r i e s a r e t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s P r o p o s i t i o n L e tAb ea na b e l i a nc a t e g o r y T h e nK(A)a n dD(A)a r eb o t ht r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s D e f i n i t i o n Af u n c t o rF:ABb e t w e e nt w ot r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s i sc a l l e dat r i a n g u l a t e df u n c t o r,o raf u n c t o r o ft r i a n g u l a t e dc a t e g o 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期r i e si f i tc o mm u t e sw i t ht r a n s l a t i o nf u n c t o r sa n dp r e s e r v e s t h ed i s t i n g u i s h e dt r i a n g l e s N o ww e i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fad e r i v e df u n c t o r,f o l l o w i n gV e r d i e r(D e f i n i t i o n,P r o p o s i t i o n)D e f i n i t i o n L e tAa n dBb e t w oa b e l i a nc a t e g o r i e s S u p p o s eF:K(A)K(B)i saf u n c t o ro f t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s Ar i g h t d e r i v e df u n c t o ro fFi s a f u n c t o rR F:D(A)D(B)o f t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s,t o g e t h e rw i t han a t u r a l t r a n s f o r m a t i o nf r o 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