具有Kuramoto-Sivashinsky扰动的广义Zakharov-Kuznetsov方程孤立波解的存在性.pdf

第4 9卷 第2期2 0 2 3年6月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.2J u n.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 3 2 3基金项目:福建省中青年教师教育科研项目(J A T 2 0 0 6 7 0,J A T 2 1 0 4 5 4)作者简介:温倩(1 9 8 1),女,硕士,讲师,研究方向为微分方程.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 2-0 1 0 2-0 7具有K u r a m o t o-S i v a s h i n s k y扰动的广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程孤立波解的存在性温倩,郑航(武夷学院 数学与计算机学院,福建 武夷山 3 5 4 3 0 0)摘要:利用几何奇异摄动理论研究了一个具有K u r a m o t o-S i v a s h i n s k y(K S)扰动的广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v(G Z K)方程孤立波解的存在性.首先,利用动力系统分支理论计算了扰动G Z K方程对应的未扰系统同宿轨道的显式表达式;其次,在扰动参数充分小的情况下利用M e l n i k o v积分计算并得到了K S扰动下的G Z K方程存在孤立波解的充分条件;最后,用数值方法证明了所得结果的正确性.关键词:几何奇异摄动理论;M e l n i k o v积分;广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程;同宿轨道;孤立波解中图分类号:O 1 9 3 文献标识码:AE x i s t e n c e o f s o l i t a r y w a v e s o l u t i o n s o f g e n e r a l i z e d Z a k h a r o v-K u z n e t s o v e q u a t i o n w i t h K u r a m o t o-S i v a s h i n s k y p e r t u r b a t i o nWE N Q i a n,Z HE NG H a n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d C o mp u t e r,W u y i U n i v e r s i t y,W u y i s h a n 3 5 4 3 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:B a s e d o n g e o m e t r i c s i n g u l a r p e r t u r b a t i o n,t h e e x i s t e n c e o f s o l i t a r y w a v e s o l u t i o n s o f a g e n e r a l i z e d Z a k h a r o v-K u z n e t s o v(G Z K)e q u a t i o n w i t h K u r a m o t o-S i v a s h i n s k y(K S)p e r t u r b a t i o n w a s s t u d i e d.F i r s t l y,t h e e x a c t p a r a m e t r i c e x p r e s s i o n o f h o m o c l i n i c o r b i t f o r u n p e r t u r b e d s y s t e m w a s g i v e n b y m e t h o d o f t h e b i f u r c a t i o n t h e o r y o f d y n a m i c s y s t e m.S e c o n d l y,w h e n t h e p e r t u r b e d p a r a m e t e r w a s s u f f i c i e n t l y s m a l l,t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t o g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f s o l i t a r y w a v e s o l u t i o n s o f t h e G Z K e q u a t i o n w i t h K S p e r t u r b a t i o n w a s o b t a i n e d v i a t h e M e l n i k o v f u n c t i o n i n t e g r a l.F i n a l l y,t h e c o r r e c t n e s s o f t h e o b t a i n e d r e s u l t s w a s p r o v e d b y n u m e r i c a l m e t h o d.K e y w o r d s:g e o m e t r i c s i n g u l a r p e r t u r b a t i o n;M e l n i k o v i n t e g r a l;g e n e r a l i z e d Z a k h a r o v-K u z n e t s o v e q u a t i o n;h o m o c l i n i c o r b i t;s o l i t a r y w a v e s o l u t i o n0 引言在现实中,许多复杂的非线性现象都可以用非线性波动方程来描述,其中经典的浅水波方程为K o r t e w e g-d e V r i e s(K d V)方程1:ut+u ux+ux x x=0,其中是实数,u ux为非线性项,ux x x为色散效应项.将一维空间的K d V方程推广到三维空间可以得到Z a k h a r o v-K u z n e t s o v(Z K)方程2:ut+第2期 温倩,等:具有K u r a m o t o-S i v a s h i n s k y扰动的广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程孤立波解的存在性 u ux+(ux x+uy y+uz z)x=0.Z K方程的更一般形式为广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v(G Z K)方程3:ut+(un)x+(ux x+uy y+uz z)x=0,其中n2,、是实数.由于研究浅水波方程的动力学行为有助于更好地了解浅水波的运动规律,因此许多学者对其进行了研究.目前,有很多求解Z K方程行波解的方法,如动力系统法3、正弦 余弦法4、扩展的双曲正切法5、扩展的广义R i c c a t i方程映射法6等.但由于求解浅水波方程时不可避免地会受到某些因素(如K S扰动、M a r a n g o n i效应等)的干扰,进而会使浅水波产生色散、耗散和波裂等现象;因此,研究受扰动的Z K方程更具有现实意义.本文将在K S扰动下研究G Z K方程是否存在孤立波解.目前已有许多学者研究了具有扰动的浅水波方程,其中几何奇异摄动理论和M e l n i k o v积分是常用的方法.例如:O g a w a7在K S扰动下利用几何奇异摄动理论研究了K d V方程(ut+u ux+ux x x+(ux x+ux x x x)=0)孤立波解的存在性,其中00),即将偏微分方程(1)转化为常微分方程:-c u+(un)+u +(u+u )=0,(2)其中=+.在方程(2)两边同时对积分,并令积分常数为0,则方程(2)可变形为:-c u+un+u+(u+u )=0.(3)在式(3)中引入dud=v和dvd=w,则式(3)可以转化为慢系统:dud=v,dvd=w,dwd=c u-un-w-v.(4)对慢系统式(4)进行时间尺度变换,即令=,则系统(4)可变为式(3)的快系统:dud=v,dvd=w,dwd=c u-un-w-v.(5)在系统(4)和系统(5)中令0,则可得如下系统(依次分别称为退化系统和层系统):301延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 dud=v,dvd=w,0=c u-un-w,dud=0,dvd=0,dwd=c u-un-w.其中:退化系统存在二维临界流形M0=(u,v,w)R3:c u-un-w=0;层系统在平衡点处其线性化系统的系数矩阵为N=000000c-n un-10-.经计算,该系数矩阵的特征值为0、0、-,所以临界流形M0是法向双曲的1 0.根据F e n i c h e l第一不变流形定理1 1可知,在M0的o()领域存在一个与M0微分同胚的二维局部不变流形M:M=(u,v,w)R3:w=1(c u-un)+q(u,v,),(6)其中q(u,v,)是关于u、v、光滑的,并且q(u,v,0)=0.因此,将q(u,v,)按展开后,再将q(u,v,)=q1(u,v,)+o(2)代入系统(4)中进行比较(比较的系数)可得:q1(u,v,)=12(n un-1-c-)v.由上式可得不变流形M为:M=(u,v,w)R3:w=1(c u-un)+2(n un-1-c-)v+O(2).若将系统(4)限制在M上,则可将其动力学行为定义为:dud=v,dvd=1(c u-un)+2(n un-1-c-)v+O(2).(7)在扰动的平面动力系统(7)中,令0可得与其对应的未扰平面动力系统:dud=v,dvd=1(c u-un).(8)由系统(8)右端函数的零点个数可知:当n为偶数时,系统(8)有2个平衡点E0(0,0)和E1(0,0),其中0=n-1c.若n为奇数且0时,系统(8)有3个平衡点,分别为E0(0,0)、E1,2(0,0);当0时,系统(8)只有1个平衡点E0(0,0).系统(8)的线性化系数矩阵的行列式为J=011(c-n un-1)0=1(n un-1-c).由平面动力系统理论可知,在平衡点处,如果J0,则该平衡点为中心点.由上述可知,利用各平衡点处J的符号可以进行如下判断:1)当n为偶数时:当0时,E0为鞍点,E1为中心,如图1(a)所示;当0且0时,E0为鞍点,E1,2为中心,如图1(c)所示;当0且0时,E0为中心,E1,2为鞍点,如图1(d)所示;当0时,E0为鞍点,如图1(e)所示;当0且0 (b)n为偶数,0,0(d)n为奇数,0,0 (e)n为奇数,0 (f)n为奇数,0,0,h=0.此时:若n为偶数,则未扰系统(8)存在环绕中心E1和连接鞍点E0的同宿轨道(c)(即+(c);若n为奇数,且0,则未扰系统(8)存在环绕中心E1,2和连接鞍点E0的同宿轨道(c)(即+(c)-(c).根据h=0和式(9)可得v=dud=uc-2n+1un-1.对该式两边同时对进行积分可得:un-1=(n+1)c2s e c h2(n-1)c2+k ,(1 0)其中k为积分常数.令un-1(0)=(n+1)c2,并将其代入式(1 0)计算可得k=0.由此可得未扰动系统(8)的同宿轨道的孤立波解(见图2)的显式表达式为:u=(n+1)c2s e c h2(n-1)c2 1n-1,当n为偶数时;(n+1)c2s e c h2(n-1)c2 1n-1,当n为奇数时.(1 1)501延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 (a)n=4时的同宿轨道(c)(b)n=3时的同宿轨道+(c)(c)n=3时的同宿轨道-(c)图2=c=1时未扰系统(8)的孤立波解由上述可得如下定理1:定理1当0时,若n为偶数或奇数(0),则未扰系统(8)的孤立波解存在显式表达式,为式(1 1).2 扰动G Z K方程孤立波解的存在性G Z K方程受到K S扰动后,由于其同宿轨道鞍点的稳定流形和不稳定流形的横截相交性可以由未扰系统(8)同宿轨道的M e l n i k o v积分的简单零点决定1 3,因此有:M(c)=(c)v1(c u-un)012(n un-1-c-)v d=12+-(n un-1-c-)v2d.(1 2)引理1未扰系统(8)的右侧同宿轨道+(c)的M e l n i k o v积分为:M+(c)=2c(n-1)2(n+1)c2 2n-1(c+)(I(n+1,n-1)-I(2,n-1)+n(n+1)c2(I(n+1,n-1)-I(2n,n-1).(1 3)证明 将式(1 1)代入式(1 2)可得未扰系统(8)的右侧同宿轨道+(c)的M e l n i k o v积分为:M+(c)=+(c)v1(c u+-un+)012(n un-1+-c-)v d=13+-(n un-1+-c-)c u2+-2n+1un+1+d=13(c+)2n+1+-un+1+d-c+-u2+d +nc+-un+1+d-2n+1+-u2n+d =2c(n-1)2(n+1)c2 2n-1(c+)(I(n+1,n-1)-I(2,n-1)+n(n+1)c2(I(n+1,n-1)-I(2n,n-1).其中I(m,n)=+-(s e c h)2mnd,=(n+1)c2,m=2,n+1,2n.令=a r c s i n(t a n h),于是再查积分表1 4可得:601 第2期 温倩,等:具有K u r a m o t o-S i v a s h i n s k y扰动的广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程孤立波解的存在性 I(m,n)=+-(1-t a n h2)m-nnd t a n h=2-2(c o s)2m-nnd=220(c o s)2m-nnd=(2m-nn-1)!(2m-nn)!,当2m-nn为偶数时;(2m-nn-1)!(2m-nn)!,当2m-nn为奇数时.(1 4)下面讨论具有K S扰动的G Z K方程孤立波解的存在性.定理2当0时,若n为偶数或为奇数(0),则方程(1)在c0=-ab处存在孤立波解.证明1)若n为偶数,则由式(1 3)可得M(c)=M+(c)=cn+32(n-1)(a+b c),其中:a=2(n-1)(n+12)2n-1(I(n+1,n-1)-I(2,n-1),b=2(n-1)2(n+12)2n-1(I(n+1,n-1)-I(2,n-1)+n(n+1)2 (I(n+1,n-1)-I(2n,n-1).对上式计算可得,当b0时M(c)存在简单零点c0=-ab,并且M(c0)=b cn+32(n-1)00.2)若n为奇数,则由式(1 2)可得M(c)=13+-(n un-1-c-)(c u2-2n+1un+1)d.于是由u的显示表达式(1 1)和n的奇偶性知M+(c)=M-(c),因此有M(c)=M+(c)+M-(c)=2M+(c).同理,在点c0=-ab处,M(c)=0,并且M(c0)0.综上所述,当0时,若n为偶数或为奇数(0),c0=-ab,则在小扰动下系统(7)仍然存在同宿轨道,即具有K S扰动的G Z K方程(1)存在孤立波解.当0时,该孤立波解即为未扰系统(8)的孤立波解.3 数值模拟为验证上述结果的正确性,本文利用M a p l e软件对方程(1)孤立波解的存在性进行了数值模拟验证.验证时方程(1)中的n分别取3和4.1)当n=4时,利用式(1 4)计算可得:I(2,3)=3(53)2(76),I(5,3)=2 4(23)7(16),I(8,3)=4 0(23)9 1(76).将上述结果代入式(1 3)可得c=1.4 4.图3为n=4时扰动系统(7)的相图和时间序列图,其中=0.0 0 1,初值为未扰系统(8)的同宿轨道与u轴的交点P0(u,v)=(1.5 3,0),即图中的黑色点.2)当n=3时,利用式(1 4)计算可得:I(2,2)=2,I(4,2)=43,I(6,2)=1 61 5.将上述结果代入式701延边大学学报(自然科学版)第4 9卷(1 3)可得c=1.3 6.图4为n=3时扰动系统(7)的相图和时间序列图,其中=0.0 0 1,初值为未扰系统(8)的同宿轨道与u轴交点(P0(u,v)=(1.6 5,0),即图中的黑色点.由图3和图4可以看出,无论n取偶数还是奇数,系统(7)的同宿轨道在相当小(01)的扰动下仍然存在,即在K S扰动下G Z K方程仍存在孤立波解.(a)扰动系统(7)的相图 (b)扰动系统(7)的时间序列图 图3 n=4时扰动系统(7)的相图和时间序列图(a)扰动系统(7)的相图 (b)扰动系统(7)的时间序列图图4 n=3时扰动系统(7)的相图和时间序列图参考文献:1 KO R T EWE G D J,V R I E S G D.O n t h e c h a n g e o f f o r m o f l o n g w a v e s a d v a n c i n g i n a r e c t a n g u l a r c a n a l,a n d o n a n e w t y p e o f l o n g s t a t i o n a r y w a v e sJ.P h i l o s o p h i c a l M a g a z i n e,2 0 1 1,9 1(6):1 0 0 7-1 0 2 8.2 Z AKHA R OV V,KU Z N E T S OV E.O n t h r e e-d i m e n s i o n a l s o l i t o n sJ.S o v i e t P h y s i c s,1 9 7 4,3 9:2 8 5-2 8 8.3 Z HAN G W B,Z HOU J B.T r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s o f a g e n e r a l i z e d Z a k h a r o v-K u z n e t s o v e q u a t i o nJ.I S R N M a t h-e m a t i c a l A n a l y s i s,2 0 1 2,2 0 1 2:1 0 7 8 4 6.4 WA ZWA Z A M.E x a c t s o l u t i o n s w i t h s o l i t o n s a n d p e r i o d i c s t r u c t u r e s f o r t h e Z a k h a r o v-K u z n e t s o v(Z K)e q u a t i o n a n d i t s m o d i f i e d f o r mJ.C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n,2 0 0 5,1 0(6):5 9 7-6 0 6.5 WA ZWA Z A M.T h e e x t e n d e d t a n h m e t h o d f o r t h e Z a k h a r o v-K u z n e t s o v(Z K)e q u a t i o n,t h e m o d i f i e d Z K e q u a t i o n,a n d i t s g e n e r a l i z e d f o r m sJ.C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n,2 0 0 8,1 3(6):1 0 3 9-1 0 4 7.6 KO L E B A J E O T,AK I NY EM I P,O B E N D E M.T r a v e l l i n g w a v e s o l u t i o n s o f t h e g e n e r a l i z e d Z a k h a r o v-K u z n e t s o v e q u a t i o n v i a t h e e x t e n d e d g e n e r a l i z e d R i c c a t i e q u a t i o n m a p p i n g m e t h o dJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f A d v a n c e d M a t h-e m a t i c a l S c i e n c e s,2 0 1 3,1(1):1-7.7 OGAWA T.T r a v e l l i n g w a v e s o l u t i o n s t o a p e r t u r b e d K o r t e w e g-d e V r i e s e q u a t i o nJ.H i r o s h i m a M a t h e m a t i c a l J o u r n a l,1 9 9 4,2 4(2):4 0 1-4 2 2.8 L I C Q,WE I M Z,L I N Y H.E x i s t e n c e o f s o l i t a r y w a v e s i n a p e r t u r b e d K d V-mK d V e q u a t i o nJ.J o u r n a l o f M a t h e-m a t i c s,2 0 2 1,2 0 2 1:2 2 7 0 9 2 4.9 丘慧敏,沈建和.扰动浅水波方程的行波解和显式M e l n i k o v方法J.福建师范大学学报(自然科学版),2 0 2 1,3 7(6):1 4-2 1.1 0 Z HE N G H,X I A Y.T h e s o l i t a r y w a v e,k i n k a n d a n t i-k i n k s o l u t i o n s c o e x i s t a t t h e s a m e s p e e d i n a p e r t u r b e d n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o nJ.J o u r n a l o f P h y s i c s A:M a t h e m a t i c a l a n d T h e o r e t i c a l,2 0 2 3,5 6(1 5):1 5 5 7 0 1.1 1 F E N I CHE L N.G e o m e t r i c s i n g u l a r p e r t u r b a t i o n t h e o r y f o r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i-a l E q u a t i o n s,1 9 7 9,3 1(1):5 3-9 8.1 2 赵爱民,李美丽,韩茂安.微分方程基本理论M.北京:科学出版社,2 0 1 1:1 1 2.1 3 韩茂安.B i f u r c a t i o n t h e o r y o f l i m i t c y c l e sM.北京:科学出版社,2 0 1 6.1 4 G R A D S HT E YN I S,R Y Z H I K I M.T a b l e o f i n t e g r a l s,s e r i e s a n d p r o d u c t sM.Am s t e r d a m:A c a d e m i c P r e s s,2 0 1 4:3 6 2 3.801