两类空心阶梯型标准杨表的计数.pdf

云南师范大学学报(自然科学版),2 0 2 3,4 3(5):2 9-3 5 h t t p s:/q k g j.y n n u.e d u.c nJ o u r n a l o fY u n n a nN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e sE d i t i o n)D O I:1 0.7 6 9 9/j.y n n u.n s-2 0 2 3-0 6 3两类空心阶梯型标准杨表的计数*李秋营,白建侠*(天津仁爱学院 数学教学部,天津3 0 1 6 3 6)摘要:通过嵌套顺序统计量与标准杨表之间的对应关系,将标准杨表的计数问题转化成相应嵌套顺序统计量上的多重积分问题,结合组合恒等式给出了近似直角梯形的空心阶梯型标准杨表的一般求和表示,并证明了一个关于平移阶梯型标准杨表数量的猜想.关键词:标准杨表;空心阶梯型;多重积分;C a t a l a n数中图分类号:O 1 5 7 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 7-9 7 9 3(2 0 2 3)0 5-0 0 2 9-0 7标准杨表(s t a n d a r dY o u n gt a b l e a u x,S Y T)在几何学以及抽象代数的置换群和一般线性群的不可约表示中都具有非常广泛的应用1-2.许多学者运用不同方法针对不同标准杨表的计数进行了研究3-1 3,这些标准杨表的计数运用了不同的代数和组合方法,因此标准杨表的计数问题是一个综合概率、积分和组合等多数学分支的研究问题,对其进行深入研究具有重要意义.通过嵌套顺序统计量与标准杨表之间的对应关系,将标准杨表的计数问题转化成相应嵌套顺序统计量上的多重积分问题,研究近似直角梯形的中空阶梯型标准杨表(n+2)(m+2)k)(H)的计数问题,证明文献1 1 的猜想,得到中空平移型标准杨表n+2(H),n2的计数公式,并得到一些结果和结论.1 预备知识定义11 4 将正整数列 1,2,n一一映射到型F e r r e r sd i a g r a m的方格中,且方格中的正整数分别满足行和列从左向右、从上向下均严格递增,则称得到的表格图形为型标准杨表。定义21 1 形状为|(i0,j0)的标准杨表是指从形状为的标准杨表中删除一个形状为的标准杨表,且被删除的形状为的标准杨表的最左上角的单元格应位于形状为的标准杨表的(i0,j0)单元格,其中和为正整数的分拆.类似地,若将型标准杨表从(2,2)位置的单元格开始删除其内部所有的单元格,将其内部所有单元格所构成的标准杨表的形状记为,则所得形状为中空型标准杨表,即|(2,2)型,后简记为(H).例 如,(n+2)(m+2)(m+1)(n+1)(m+1)m)|(2,2)型 标 准 杨 表 可 记 为(n+2)(m+2)m+1)(H)型标准杨表.引理16 通过多重积分计算U(0,1)上嵌套顺序统计量的分布得到型标准杨表的数量H=|!V o l(S)=|!S1 dx1,1dzd,d;(1)其中,V o l(S)为型标准杨表所对应的嵌套单形S的体积,即积分区域.通过嵌套顺序统计量与标准杨表的一一对应关系,依据引理1中计算公式,本文主要研究以下两类中空型标准杨表(如图1)的计数问题.*收稿日期:2 0 2 3-0 7-1 9基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 2 0 2 3 0 9);天津市教委科研计划资助项目(2 0 2 2 K J 0 4 9).作者简介:李秋营(1 9 9 3-),女,河北唐山人,硕士,讲师,主要从事组合概率方法方面研究.通信作者:白建侠.E-m a i l:j i a n x i a b a i y e a h.n e t.图1(n+2)(m+2)m+1)(H)型标准杨表和n+2(H),n2型标准杨表F i g.1 S Y To f t h e(n+2)(m+2)m+1)(H)s h a p ea n dt h en+2(H),n2s h a p e2 主要结果及证明本文主要根据标准杨表与嵌套顺序统计量的对应关系,将标准杨表的计数问题转化为嵌套顺序统计量模型上的多重积分问题.本节主要通过对嵌套单形的划分与讨论,依据文献6 中相关计算方法,对(n+2)(m+2)k)(H)型标准杨表(如图1(a)所示)的计数问题进行精确的计算,利用相应组合恒等式对结果进行了简化,从而得到标准计数公式,依据此结果推导证明文献1 1 中关于n+2(H),n2型标准杨表的数量的猜想并得出几个推论.定理1(n+2)(m+2)k)(H)型标准杨表的计数公式为 H(n+2)(m+2)k)(H)=2n+2m-k+2n+m-k+1-2n+2m-k+2n-1-2n+2m-k+2m-1+2n+2m-k+2k-3.(2)证明 由引理1可知,该形状标准杨表的计数公式应为H(n+2)(m+2)k)(H)=(2n+2m-k+4)!In,m,k=(2n+2m-k+4)!Dn,m,kdxrdyrdzrdtr;(3)其中,积分范围Dn,m,k表示(n+2)(m+2)k)(H)型标准杨表(如图2)所对应的嵌套单形,且变量须满足每行和每列分别从左向右、从上到下严格递增,该积分范围较为复杂,需划分为以下三种情况进行讨论:图2(n+2)(m+2)m+1)(H)型标准杨表F i g.2 S Y To f t h e(n+2)(m+2)m+1)(H)s h a p e(1)yi-1xyi,1in-k+1;(2)tj-1xtj,1jk;(3)tj-1xtj,k+1jm+1;其中y0=x0,t0=yn-k+1,tm+1=z.这样,Dn,m,k就被分解为D1(i)、D2(j)和D3(j)三部分来进行多重积分计算.03云南师范大学学报(自然科学版)第4 3卷 其中,1in-k+1.其中,1jk.其中,k+1jm+1.记In,m,k=n-k+1i=1I1(i)+kj=1I2(j)+m+1j=k+1I3(j);(4)其中,I1(i)=D1(i)dxrdyrdzrdtr,I2(j)=D2(j)dxrdyrdzrdtr;I3(j)=D3(j)dxrdyrdzrdtr.当2in-k+1时,通过积分计算可得I1(i)=D1*(x-x0)i-1(i-1)!(x-x0)mm!(zi-x)i-1(i-1)!(z-tk-1)m-k+1(m-k+1)!dyrdtrdzrdxdx0dz,(5)其中为了简化计算,作变量替换,令yr=x+(z-x)ur-i+1,irn-k+1,tr=x+(z-x)ur+n-k-i+2,1rk-1,zr=x+(z-x)vr-i+1,irn;可得I1(i)=D1*(x-x0)m+i-1(i-1)!m!(z-x)2n+m-k-i+2v1i-1(i-1)!(1-un-i-1)m-k+1(m-k+1)!durdvrdxdx0dz,其中结合欧拉公式10 x-1(1-x)-1dx=()()(+),则有I1(i)=m+i-1i-1(2n+m-i-k+2)!(2n+2m-k+4)!I1*(i),(6)这里13 第5期 李秋营,等:两类空心阶梯型标准杨表的计数I1*(i)=v1i-1(i-1)!(1-un-i+1)m-k+1(m-k+1)!durdvr.借助行列式积分法计算可得I1*(i)=1n!(n+m-k-i+2)!-1(n+m-k+2)!(n-i)!,(7)所以,将(7)式代入(6)式可得I1(i)=1(2n+2m-k+4)!m+i-1i-12n+m-i-k+2n+m-k-i+2-2n+m-i-k+2n-i.(8)当i=1时需单独讨论,同理可得I1(1)=1(2n+2m-k+4)!2n+m-k+2n-2n+m-k+2n-1.(9)结合(8)-(9)式,可知n-k+1i=1I1(i)=n-k+1i=11(2n+2m-k+4)!m+i-1i-12n+m-i-k+2n+m-k-i+2-2n+m-i-k+2n-i.(1 0)当2jk-1时,通过积分运算得I2(j)=D2*(t1-x0)n-k+1(n-k+1)!(x-xj-1)m-j+1(m-j+1)!(zn-k+1+j-x)n-k+j(n-k+j)!(z-tk-1)m-k+1(m-k+1)!dxrdtrdzrdxdx0dz.(1 1)其中作如下变量替换 xr=x0+(x-x0)ur,1rj-1;tr=x0+(x-x0)vr,1rj-1.tr=x+(z-x)vr,jrk-1;zr=x+(z-x)wr-n+k-1,n-k+1+jrn.得I2(j)=1(2n+2m-k+4)!n+m-k+jn-k+j-n+m-k+jj-2 n+m-j+1n-n+m-j+1k-j-1,(1 2)再分别计算I2(1)和I2(k),即I2(1)=1(2n+2m-k+4)!n+m-k+1mn+mn-n+mk-2,(1 3)I2(k)=1(2n+2m-k+4)!n+m-k+1nn+mn-n+mk-2,(1 4)结合(1 2)-(1 4)式可得23云南师范大学学报(自然科学版)第4 3卷 kj=1I2(j)=1(2n+2m-k+4)!kj=1n+m-k+j n-k+j-n+m-k+j j-2n+m-j+1 n-n+m-j+1 k-j-1.(1 5)类似地,当k+1jm+1时,积分得I3(j)=(t1-x0)n-k+1(n-k+1)!(x-xj-1)m-j+1(m-j+1)!(z-x)m-j+1(m-j+1)!(z-x)nn!dxrdtrdxdx0dz;(1 6)作如下变量替换xr=x0+(x-x0)ur,1rj-1;tr=x0+(x-x0)vr,1rj-1,故有I3(j)=1(2n+2m-k+4)!n+m-j+1m-j+1n+m-k+jn-k+j-n+m-k+jj-2,(1 7)I3(m+1)=1(2n+2m-k+4)!n+2m-k+1m-n+2m-k+1m-1,(1 8)即可得m+1j=k+1I3(j)=1(2n+2m-k+4)!m+1j=k+1n+m-k+jn-k+j-n+m-k+jj-2n+m-j+1n.(1 9)综合(4)、(1 0)、(1 5)和(1 9)式,可得H(n+2)(m+2)k)(H)=n-k+1i=1m+i-1i-12n+m-k-i+2n+m-k-i+m+1j=1n+m-k+jn-k+jn+m-j+1m-j+1-n-k+1i=1m+i-1i-12n+m-k-i+2n-i+m+1j=1n+m-k+jn-k+jn+m-j+1k-j-1-m+1j=1n+m-k+jj-2n+m-j+1m-j+1+m+1j=1n+m-k+jj-2n+m-j+1k-j-1.(2 0)记H(n+2)(m+2)k)(H)=S1-S2-S3+S4.若令n-k+j=i,很容易验证m+1j=1n+m-k+jn-k+jn+m-j+1m-j+1=n+m-k+1i=n-k+1m+ii2n+m-k-i+1n+m-k-i+1,又由组合恒等式ni=0 x+kky+n-kn-k=x+y+n+1n,可知S1=n+m-k+1i=0m+ii2n+m-k-i+1n+m-k-i+1=2n+2m-k+2n+m-k+1.(2 1)类似地,令n+k-j=i,那么m+1j=1n+m-k+jn-k+jn+m-j+1k-j+1=n+m-k+1i=n-k+1m+ii2n+m-k-i+1n-i-1,又由于m+2k且(n-1)+(m+2-k)n-1,因此33 第5期 李秋营,等:两类空心阶梯型标准杨表的计数S2=n-1i=0m+ii2n+m-k-i+1n-i-1=2n+2m-k+2n-1,(2 2)S3=m-1j=0n+m-k+j+2jn+m-j-1m-j-1=2n+2m-k+2m-1,(2 3)由于m+2k,可得S4=k-3j=0n+m-k+j+2jn+m-j-1k-j-3=2n+2m-k+2k-3.(2 4)结合以上各式,可知定理1成立,证毕.定理21 1 当n1,m1时,中空矩形(n+2)(m+2)(nm)|(2,2)型标准杨表(如图3(a)所示)的计数公式为H(n+2)(m+2)(nm)|(2,2)=2n+2m+2n+m+1-2n+2m+2n-1-2n+2m+2m-1.(2 5)证明 令k=0代入定理1中即可得证.相比文献1 1 方法,通过本文中标准杨表的计数公式很容易得到文献1 1 的结论.图3(n+2)(m+2)(H)型标准杨表和(n+2)(n+2)n+1)(H)型标准杨表F i g.3 S Y To f t h e(n+2)(m+2)(H)s h a p ea n dt h e(n+2)(n+2)n+1)(H)s h a p e定理3(n+2)(n+2)n+1)(H)型标准杨表(如图3(b)所示)的计数公式为H(n+2)(n+2)n+1()(H)=(3n+1)!n!(2n+3)!(n2+3n+6),(2 6)该结果是C a t a l a nt r i a n g l e的卷积1 5.证明 令n=m,k=n+1代入定理1即可得证.定理41 1 当n2时,n+2(H)(n2)型标准杨表(如图1(b)所示)的计数公式为Hn+2(H)=(3n+1)!n!(2n+3)!(n2+3n+6),(2 7)该结果是C a t a l a nt r i a n g l e的卷积1 5.证明 由于标准杨表的单元格被标记的原则是每行和每列从左向右、从上到下均严格递增.那么阶梯型标准杨表n+2(H)(n2)型和(n+2)(n+2)n+1(H),(n2)型分别表示如图4(a)和(b)所示.图4(n+2)(m+2)m+1)(H)型标准杨表和n+2(H),n2型标准杨表F i g.4 S Y To f t h e(n+2)(m+2)m+1)(H)s h a p ea n dt h en+2(H),n2s h a p e箭头所指示的方向是变量从小到大的方向,很容易发现两类标准杨表的积分变量范围是一样的,因43云南师范大学学报(自然科学版)第4 3卷 此所得计数公式理应相同.那么根据定理3的结果,可得平移阶梯型n+2(H),n2型标准杨表的计数公式为Hn+2(H)=(3n+1)!n!(2n+3)!(n2+3n+6),该结果为C a t a l a nt r i a n g l e的卷积1 5,文献1 1 中猜想得证.参考文献:1 桂禹.置换群S7同位标量因子和C G系数的计算D.南京:南京大学,2 0 1 8.2 丘维声.群表示论M.北京:高等教育出版社,2 0 1 1.3 F R AMEJS,R O B I N S ONGd eB,THR A L LRM.T h eh o o kg r a p h so f t h e s y mm e t r i cg r o u pJ.C a n a d i a nJ o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,1 9 5 4,6:3 1 6-3 2 4.4 J AME SGD,P E E L M H.S p e c h t s e r i e s f o r s k e wr e p r e s e n t a t i o n so f s y mm e t r i cg r o u p sJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,1 9 7 9,5 6(2):3 4 3-3 6 4.5 A D I NR M,R O I CHMANY.T r i a n g l e-f r e et r i a n g u l a t i o n s,h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t sa n ds h i f t e dt a b l e a u xJ.T h eE-l e c t r o n i cJ o u r n a l o fC o m b i n a t o r i c s,2 0 1 2,1 9(3):3 2.6 S UNP.E v a l u a t i n g t h en u m b e r so f s o m e s k e ws t a n d a r dY o u n g t a b l e a u xo f t r u n c a t e ds h a p e sJ.T h eE l e c t r o n i c J o u r-n a l o fC o m b i n a t o r i c s,2 0 1 5,2 2(1):1-2.7 A D I NR M,K I N GRC,R O I CHMAN Y.E n u m e r a t i o no fs t a n d a r dY o u n gt a b l e a u xo fc e r t a i nt r u n c a t e ds h a p e sJ.T h eE l e c t r o n i cJ o u r n a l o fC o m b i n a t o r i c s,2 0 1 1,1 8(2):2 0.8 A D I NR M,E L I Z A L D ES,R O I CHMANY.C y c l i cd e s c e n t s f o rn e a r-h o o ka n dt w o-r o ws h a p e sJ.E u r o p e a nJ o u r n a lo fC o m b i n a t o r i c s,2 0 1 9,7 9:1 5 2-1 7 8.9 P ANOVAG.T a b l e a u xa n dp l a n ep a r t i t i o n so f t r u n c a t e ds h a p e sJ.A d v a n c e s i nA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2 0 1 2,4 9:1 9 6-2 1 7.1 0S UNP.N o t eo ft h ee n u m e r a t i o nf o r m u l ao fs t a n d a r dY o u n gt a b l e a u xo ft r u n c a t e ds h a p e(nm)(2)J.E u r o p e a nJ o u r n a l o fC o m b i n a t o r i c s,2 0 1 5,4 6:1 2 6-1 3 3.1 1S UNP.E n u m e r a t i o nf o r m u l a s f o rs t a n d a r dY o n gt a b l e a u xo fn e a r l yh o l l o wr e c t a n g u l a rs h a p e sJ.D i s c r e t eM a t h e-m a t i c s,2 0 1 8,3 4 1:1 1 4 4-1 1 4 9.1 2S UNP.E n u m e r a t i o no f s t a n d a r dY o u n gt a b l e a u xo f s h i f t e ds t r i p sw i t hc o n s t a n tw i d t hJ.T h eE l e c t r o n i cJ o u r n a l o fC o m b i n a t o r i c s,2 0 1 7,2 4(2):4 1.1 3L IQY,L IFF.E n u m e r a t i o nf o r m u l a s f o r s t a n d a r dY o u n gt a b l e a u xo f a p p r o x i m a t eCs h a p eJ.J o u r n a l o fP h y s i c s:C o n f e r e n c eS e r i e s,2 0 2 1,1 9 7 8:0 1 2 0 3 5.1 4YOUNGA.W h a t i saY o u n gt a b l e a u?J.N o t i c e so f t h eAM S,2 0 0 7,5 4(2):2 4 0-2 4 1.1 5THEO E I SF OUN D A T I ON.T h eo n-l i n ee n c y c l o p e d i ao f i n t e g e rs e q u e n c e sD B/O L.h t t p:/o e i s.o r g.E n u m e r a t i o no fT w oH o l l o wS h a p e so fS h i f t e dS t a n d a r dY o u n gT a b l e a u xL IQ i u y i n g,B A I J i a n x i a*(D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s,T i a n j i nR e n a iC o l l e g e,T i a n j i n3 0 1 6 3 6,C h i n a)A b s t r a c t:T h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nn e s t e do r d i n a ls t a t i s t i c sa n ds t a n d a r dp o p l a rt a b l e si se s t a b-l i s h e d,a n dt h ec o u n t i n gp r o b l e mo fs t a n d a r dY o u n gt a b l e a u xi st r a n s f o r m e di n t oam u l t i p l ei n t e g r a lp r o b l e mo nt h ec o r r e s p o n d i n gn e s t e do r d i n a l s t a t i s t i c s.O t h e r w i s e,w ec o m b i n ew i t ht h ec o m b i n a t o r i a li d e n t i t y,t h eg e n e r a ls u mm a t i o nr e p r e s e n t a t i o no fh o l l o ws h i f t e ds t a n d a r dY o u n gt a b l e a u xw i t ha p-p r o x i m a t e l yr i g h t-a n g l e dt r a p e z o i d si sg i v e n,a n dac o n j e c t u r ea b o u tt h en u m b e ro fh o l l o ws h i f t e ds t a n d a r dY o u n gt a b l e a u x i sp r o v e d i nt h e l i t e r a t u r e.K e y w o r d s:S t a n d a r dY o u n gt a b l e a u x;H o l l o ws h i f t e ds h a p e s;M u l t i p l e i n t e g r a l;C a t a l a nn u m b e r53 第5期 李秋营,等:两类空心阶梯型标准杨表的计数