高一数学直线方程及其应用人教实验B版知识精讲.doc

高一数学直线方程及其应用人教实验B版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
直线方程及其应用

二、学习目标
1、掌握直线的几种方程形式，并能运用这些方程解决相关问题。
2、了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题
3、能够利用直线方程解决与圆锥曲线相关的问题。

三、知识要点
直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容。应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是比较棘手的。
1、对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等。
2、对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称。中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。
3、线性规划是直线方程的又一应用。线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域。求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解。

【典型例题】
例1、预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？
命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解。
知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解。
错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设。
技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解。
解：设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
为
由
∴A点的坐标为（，）
由
∴B点的坐标为（25，）
所以满足约束条件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三角形区域（如下图）。

由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为（25，），
但注意到x∈N*，y∈N*，故取y=37。
故有买桌子25张，椅子37张是最好选择。

例2、设点A和B为抛物线 y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程。
知识依托：直线与抛物线的位置关系。
错解分析：当设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）时，注意对“x1=x2”的讨论。
技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系。

解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y） （x≠0）
直线AB的方程为x=my+a
由OM⊥AB，得m=－
由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0
所以y1y2=－4pa， x1x2=
所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2
所以
故x=my+4p，用m=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
解法二：设OA的方程为，
代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
∴AB的方程为，过定点，
由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
解法三：设M（x，y） （x≠0），OA的方程为，
代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
由OM⊥AB，得
M既在以OA为直径的圆：……①上，
又在以OB为直径的圆：……②上（O点除外），
①+②得 x2+y2－4px=0（x≠0）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。

例3、已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线。
解：建立坐标系如图所示，

设|AB|=2a，则A（－a，0），B（a，0）.
设M（x，y）是轨迹上任意一点.
则由题设，得=λ，坐标代入，得 =λ，化简得
（1－λ2）x2+（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+（1－λ2）a2=0
（1）当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）.
（2）当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以（－，0）为圆心，为半径的圆。

例4、已知y＝f（x）为一次函数，且f（2）、f（5）、f（4）成等比数列，f（8）＝15，求Sn＝f（1）＋f（2）＋…＋f（n）的表达式
解：设y＝f（x）＝kx＋b，
则f（2）＝2k＋b，f（5）＝5k＋b，f（4）＝4k＋b，
依题意：［f（5）］2＝f（2）·f（4）.
即（5k＋b）2＝（2k＋b）（4k＋b）化简得k（17k＋4b）＝0.
∵k≠0，
∴b＝－k ①
又∵f（8）＝8k＋b＝15 ②
将①代入②得k＝4，b＝－17.
∴Sn＝f（1）＋f（2）＋…＋f（n）
＝（4×1－17）＋（4×2－17）＋…＋（4n－17）
＝4（1＋2＋…＋n）－17n＝2n2－15n.

本讲涉及的主要数学思想方法
直线与圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，与其他知识如函数、不等式、方程、向量等综合，涉及求曲线方程、讨论曲线性质、最值、有关参数的取值范围、对称等综合问题。解答这类问题以解析几何思想为指导从方程或方程组入手，还要用上等价转化、函数方程、数形结合、分类讨论、运动变换等数学思想。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 直线与曲线的交点的个数是（ ）
A. 　　　　 B. 2　　　　　 C. 3　　　　　 D. 4
2. 若函数则满足的的范围是
A. B. C. D.
3. 已知实数x、y满足约束条件的最大值为 （ ）
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
*4. 点到点及直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值是
A. B. C. 0 D.
5. 方程有且仅有一个实根，且为负根，则实数的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
**6. 直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是（ ）
A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相交但不过圆心
C. 直线与圆相离 D. 直线过圆心

二、填空题
*7、高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A（－5，0）、B（5，0），则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________。

8. 已知点P是圆上任意一点，P点关于直线的对称点也在圆C上，则实数a= .
9、已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为 .

三、解答题
*10、把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？
**11、已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。
12、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元. 问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

【试题答案】
1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6、B
7、解析：设P（x，y），依题意有，化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0
答案：4x2+4y2－85x+100=0
8. －6
9、－1或3
10、解：本题实际上是求正方形窗口边长的最小值。
由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小。
如图：

设AE=x，BE=y，
则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y
∴
∴.
11、解：联立方程
（1）当=0时，此方程恰有一组解为：
（2）当≠0时，消去x，得y2－y－1=0。
①若=0，即=－1，方程变为一元一次方程：－y－1=0，方程组恰有一组解：
②若≠0，即≠－1，令⊿=0得:1+4=0，可得=，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.
综上所述知，当=0、－1、时，直线与曲线恰有一个公共点。
12、解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.
如图：作直线， 即.

平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值.
联立解得.
点的坐标为. （元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.

用心 爱心 专心