一类具反馈控制的群生物模型的渐进性与周期解.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文
一类具有反馈控制的捕食模型的渐近性
作者：倪德源
摘要 本文研究了两类具有反馈控制和两类功能性反应的三种群非自治捕食系统．利用比较原理给出了系统一致持久性的充分条件；当系统是周期系统时，应用Brouwer不动点原理和构造Lyapunov函数方法给出其存在惟一且全局吸引的周期正解的充分条件.并举实例验证.
关键词 反馈控制 群生物模型 全局渐近性 周期解

1 引言
数学生态学模型具有非常深刻的实际背景，历来受到学术界的重视，现已有了大量工作.基于人与自然的协调发展和生态资源的可持续发展，带有反馈控制的数学生态学模型更具有深远意义，反馈控制已被越来越多的学者所关注.近年来，扩散对种群持续生存的影响已有不少，人们通过扩散可以挽救绝灭的种群, 从而使其保持持续生存.本文主要考虑了两个模型.一个是具有反馈控制及两类功能性反应的三种群捕食系统的持久性，即本文的系统（1）.另一个是具有反馈控制的三种群捕食系统的持续性和周期解，即本文的系统（2）.

考虑下面的生物系统（1）：

其中,,是三个控制变量,,,分别表示捕食种群,,在时刻的密度.为方便起见，对于连续有界函数，引入记号:
，.
令考虑到系统（1）的生态意义，以下总在中考虑.本文假定系统（1）的初始条件为：
.
定义1 若存在一紧集使得系统（1）的每一个满足初始条件的解
.
最终进入并且停留在中,则系统（1）是一致持久的.
2 系统的一致持久性
我们假设系统（1）满足如下条件：
[1]
[2]
[3]
.
[4]

其中：

引理1 是系统（1）的正不变集.令：

其中：

定理1 假设系统（1）满足下列条件：[1],[2],[3],[4].则是系统（1）的正不变集.
定理2 假设系统（1）满足定理1的四个条件，则是系统（1）的最终有界域，从而系统（1）是持久生存的.
证明 设是系统（1）的任一解.若；则一定存在，使得；否则，对所有的，恒有，那么一定存在正数，从系统（1）的第一个方程，有：

从而有，这与当时矛盾.
若，则一定存在，使得；否则，对一切，恒有，那么一定存在正数，则系统（1）的第三个方程变为：

从而有，这与相矛盾.
同理可证明存在,使得当时,存在使得当,存在时,使得当 ，存在,使得当时.由定理1知,对一切的有：

类似于上面的方法，可证明存在，使得对一切的，有：

令当时,总有：

因此是系统（1）的最终有界域，从而知系统（1）是一致持久的.
3 正周期解的全局渐进稳定性
定义2 设,则
.
定义3 若系统（1）的所有系数均为时间的具有正周期的连续函数，则称系统（1）为一个周期系统.
定义4 若对系统（1）的任意正解既在Lyapunov意义下稳定又对其他正解有：

则称系统（1）是全局渐进稳定的.
定理3 若周期系统（1）满足定理2中条件，则系统（1）至少存在一个严格正的周期解.
定理4 若周期系统（1）满足定理2中条件及下列条件（3）

则系统（1）存在惟一全局渐进稳定的正周期解.
证明 设是系统（1）的严格正的周期解，是系统（1）的任一满足正初始条件的解.做Lyapunov函数
.则沿系统（1）解的上右导数为：

令则有
（2）
（2）式两端在上积分得：

因此.从而有:

根据定理2知、以及它们的导数在上是有界的，进一步可知是一致连续的.故可得：
.
这就证明了系统（1）的周期正解是全局渐进稳定且惟一的.证毕.

类似于系统（1）的情形,下面我们对这类基于比率的系统引入非自治的情形,即一类非自治的三种群捕食系统的持续性及周期解.系统（2）如下：

其中表示种群的密度，表示控制变量，记：
，，均为正常数，
均为非负连续函数并且满足令假定系统（1）满足如下初始条件：

则系统（2）在上存在惟一解,且对于有
4 持久生存
引理2 若，并且当时有，则有：
.
引理3 若，并且当时有，则有

定理5 若是系统（2）满足条件的任意解，并且满足则存在，当时有.其中：

证明 由系统（2）的解的正性可得由比较原理，存在，当时.由系统（2）的第二个方程得因此，当时从而当时有：

由引理2，对上面的，同理可知.再由系统（2）的第
个方程得再由引理1，存在，当时其中为一些正常数.定理1证毕.
定理6 若系统（2）除满足上述条件外，还满足：
.
则系统（2）的解是持久的.
证明 令为系统（2）满足条件的任意解.由系统（2）的第一个方程可知

利用比较原理可得：，
因此，对充分大的，有，由系统（2）的第二个方程可得：

又有当时，

从而可得：

所以，再由比较原理可得
，
同理可证：
故对系统（2）上的第个方程有：

由比较原理知由以上讨论知，系统（2）是一致持久的.
注 本文的结果可推广到具有反馈控制的n种群食物链模型.
5 周期解
本部分讨论系统（2）的周期解，得到系统（2）存在周期解的充分条件.假定系统（2）还满足均为周期为得连续实值函数.则系统（2）至少存在一个周期为的正周期解.
6 实例分析
例1 考虑系统（2）满足如下条件：
；
；
；
.
经计算知，该系统是一致持久的，且至少存在一个周期的正周期解.
例2 考虑系统（2）满足如下条件：
经计算知，该系统是一致持久的，且存在一个正周期解.

结束语
本文尝试讨论研究了一类具有反馈控制的三种群捕食模型的渐近性，利用比较原理给出了模型持久生存的条件，并通过构造Lyapunov函数方法，得到其周期模型正解的全局渐近稳定性的充分条件，并进行了验证.然后在此基础上研究3种群捕食模型的持久性与周期解，并进行了验证.

参考文献
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[6]孙永生，王昆扬， 泛函分析讲义[M]，北京师范大学出版社2007年12月
[7]钟玉泉， 复变函数论[M]，高等教育出版社2003年6月
[8]Gopalsamy K，Weng P X， Feedback Regulation of Logistic Growth[M]，Internal Math and Math Sci， 1993， 16: 177-192

A class of predator-prey model with feedback control of the asymptotic behavior
Authors: Ni Deyuan teacher guidance: Wu Daiyong
Abstract: in this paper we study a class of feedback control and the two kind functional reaction of Nonautonomous two species competitive system. By using the comparison theorem gives sufficient conditions for uniform persistence of the system; when the system is a periodic system, the application of Brouwer fixed point theorem and Lyapunov function construction method gives the existence and Global Attractivity of periodic positive sufficient conditions for solution. Then study three species predator prey system with continuous and periodic solution. Develop simultaneously example verification.
Key words: feedback control group biological model globally asymptotically periodic solutions

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