北京市石景山区2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题-理-北师大版.doc

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高二数学（理科）
考生须知
1. 本试卷为闭卷考试，满分为100分，考试时间为120分钟．
2. 本试卷共8页，各题答案均答在本题规定的位置．

参考公式：球的体积公式，其中表示球的半径．

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 已知直线经过点和点，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
3．过点与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知命题，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
主视图

左视图

俯视图

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
是（ ）
A．
B．
C．
D．

6．棱长为的正方体的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7．已知长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8．已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
9．过点的直线与圆交于两点，若，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若椭圆：（）和椭圆：（）
的焦点相同，且，则下面结论正确的是（ ）
① 椭圆和椭圆一定没有公共点 ②
③ ④
A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．
13．命题“，如果，则”的逆命题是___________________________．
14．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________．
15．圆上动点到直线距离的最小值为_______．

16．如图，正方体中，，分别为棱，上的点．已知下列判断：①平面；②在侧面
上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关．
其中正确结论的序号为_____________（写出所有正确结论的序号）.
三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分6分)
已知直线与直线的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.

18．(本小题满分6分)
已知直线，直线和直线．
（Ⅰ）求直线和直线交点的坐标；
（Ⅱ）求以点为圆心，且与直线相切的圆的标准方程．

19．(本小题满分6分)

如图，四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．
求证：（Ⅰ）∥平面；
（Ⅱ）平面平面.

20．(本小题满分8分)
如图，在底面是正方形的四棱锥中，，，点在上，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，
使得平面.

21．(本小题满分7分)
已知平面内一点与两个定点和的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设过的直线与曲线交于，两点，且（为坐标原点），求直线的方程．

22．(本小题满分7分)
已知椭圆的两个焦点，，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，如果的周长等于．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷
高二数学（理科）
参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.
题号
1
2
3
4
5
6
答案

题号
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
（一题两空的题目第一问1分，第二问2分.第16题答对一个给1分，但有多答或答错不给分.）
题号
13
14
15
16
答案
，如果，则

②③

三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分6分)
解：直线的斜率为.
因为直线与直线的倾斜角相等，
所以. ……………1分
设直线的方程为，
令，则. ……………2分
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
所以，
所以. ……………4分
所以直线的方程为，
即或． ……………6分

18．(本小题满分6分)
解：（Ⅰ）由得
所以直线和直线交点的坐标为． ……………2分
（Ⅱ）因为圆与直线相切，
所以圆的半径， ……………4分
所以圆的标准方程为． ……………6分

19．(本小题满分6分)
证明：（Ⅰ）连结．
因为是的中点，是的中点，
所以∥， ……………2分
又因为平面，平面，
所以∥平面． ……………3分
（Ⅱ）因为底面，
所以， ……………4分
又因为，且=，
所以平面． ……………5分
而平面，
所以平面平面． ……………6分
20．(本小题满分8分)
解：（Ⅰ）正方形边长为1，，，
所以，即，，
因为，
所以平面. ………………2分
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，.

由（Ⅰ）知为平面的法向量，
，
设平面的法向量为，
由，，
得
令，则，，
所以， ………………4分
所以，
即所求二面角的余弦值为. ………………5分
（Ⅲ）设，则，
，
若平面，则，即，，
解得， ………………7分
所以存在满足题意的点，
当是棱的中点时，平面. ………………8分

21．(本小题满分7分)
解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点的轨迹为双曲线，
其中，，则．
所以动点的轨迹方程：． ………………2分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由方程组得． ………………3分
因为直线与曲线交于，两点，
所以
即且． ………………4分
由根与系数关系得 ，，
　　 因为，，
所以． ………………5分
因为，所以，即， ………………6分
所以 ，
所以，
即，解得，由式知符合题意．
　所以直线的方程是或． ………………7分
22．(本小题满分7分)
解：（Ⅰ）由题意知，，
所以，，
所以椭圆的方程为. ……………2分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，.
由消去得， ……………3分
设，，
则由根与系数关系得，，
所以， ……………4分
则，，
所以＝
＝
＝
＝
＝ ……………5分
要使上式为定值须，解得，
所以为定值. ……………6分
当直线的斜率不存在时，，
由可得，，
所以，
综上所述当时，为定值. ……………7分

(如有不同解法，请参考评分标准酌情给分)

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