求函数的解析式.doc

求函数解析式的题型、方法有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：公式法、待定系数法、归纳法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另一个等式解方程组；
（5）应用题求函数解析式常用方法有直接法、待定系数法等

【典型例题】
一、待定系数法
例1. （1）已知一次函数满足，图像过点，求；
（2）已知二次函数满足，，图像过原点，求；
（3）已知二次函数与轴的两交点为，，且，求；
（4）已知二次函数，其图像的顶点是，且经过原点，求.

解：（1）由题意设 ，
∵且图像过点，
∴
∴.
（2）由题意设 ，
∵，，且图像过原点，
∴ ∴
∴.
（3）由题意设 ，
又∵，
∴ 得
∴.
（4）由题意设 ，
又∵图像经过原点，
∴，∴ 得，
∴.
说明：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；
②基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。

例2. （1）已知f（x）是一次函数，且f [ f（x）]＝9x＋8，求f（x）;
（2）设二次函数满足且＝0的两实根平方和为10，图像过点（0,3），求的解析式。

（1）解：因为f（x）是一次函数, 可设f（x）＝ax＋b.
则f [f（x）]＝a f（x）＋b＝a（ax＋b）＋b＝ a2x＋ab＋b＝9x＋8
∴
解之得 或
∴f（x）＝3x＋2或f（x）＝-3x-4
（2）解：设,
∵图像过点（0,3）,∴有f（0）＝c＝3,故c＝3；
又∵f（x）满足且＝0的两实根平方和为10，
∴得对称轴x＝2且x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝10，
即且，
∴a＝1，b＝－4，
∴

二、配凑法与换元法
例3. （1）已知，求；
（2）已知，求.
解：（1）.
（2）配凑法：

∴.
换元法：令，则，

∴ .
说明：①已知的解析式，求时，用代替；
②已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法。

三、解方程组法
例4. 已知f（x）满足，求；
解：∵已知 ①，
将①中x换成得 ②
①②得，
∴

四、分段函数解析式
例5. 函数在闭区间上的图像如下图所示，则求此函数的解析式。

解：.

五、实际应用问题
例6. 把长为的铁丝折成矩形，设矩形的一边长为，面积为，求矩形面积与一边长的函数关系式。
解：设矩形一边长为，则另一边长为，
∴ （）。
说明：在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。

本讲涉及的主要数学思想方法
1、对于各种求函数解析式的方法，要注意相互之间的区别与联系，对于分段函数，要注重分类思想的应用。
2、对于生活中的实际问题，要找到数学学习中的数学模型，进一步体会数学知识的应用。感受运用函数概念建立模型的过程和方法，初步运用函数的思想方法理解和处理其它学科与现实生活中的简单问题。
3、注重数形结合思想的应用，以便更好地掌握数学知识，提高数学学习的能力。