二元一次方程组(素质资源活动).doc

二元一次方程组

素质资源活动
重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义
难点：弄懂二元一次方程组解的含义
1. 创设情景
通过课件展示“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有10头，下有32足。问鸡、兔各几何？
这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣。怎样来解答这个问题呢？下面我们就来分组讨论这个问题，时间为2分钟。
通过刚才的观察，我发现同学们主要用两种方法，解决了这个数学名题。
方法一是算术方法：把兔子都看成鸡，10头共有10×2=20只角，则实际上多出了32-20=12只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，由此可先求出兔子有12÷2=6只，
进而鸡有10-6=4只
这是方法一，能用这种方法解决这个数学名题的同学是非常不错的。除了这种方法以外，很多同学是用方法二做的，也就是列一元一次方程解。说起一元一次方程，我们先来回答一下下面几个问题：
1. 一元一次方程的定义是什么？
2. 一元一次方程中的“元”是指什么？
3. 一元一次方程中的“次”是指什么？
一元一次方程的复习就到这里，下面我们就来列一元一次方程解决刚才的“鸡兔同笼”问题
我们可以设有x只鸡，则有（10-x）只兔，根据题意可列方程：
2x+4（10-x）=32
我们可以解得x=4
则鸡的只数为4只
兔子的只数为10-4=6只
2.探究二元一次方程、二元一次方程组的概念
通过列一元一次方程，我们也准确地解决了上面的问题。但在上面的问题中，由于有两个未知数，如用一元一次方程来解决，我们要用一个未知数来表示另一个未知数，能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？下面我们一起来尝试着做一下：
设有x只鸡，y只兔，依题意可列方程：
x+y=10 ①
2x+4y=32 ②
对于这两个方程，它们和我们前面所学的方程都不一样，为了便于和其他方程区分开来，我们一起来给这两个方程取一下名字，大家能给它们取出合适的名字吗？为什么叫二元一次方程呢？前面我们所学的一元一次方程是指只含有一个未知数并且未知数的次数都是1的方程，而这种方程含有两个未知数并且未知数的次数都是1，我们叫它们二元一次方程是非常合适的。大家取名字取得非常好，接下来我们再来取一个名字，大家把我讲的内容听好，听完后马上开始取名字。
在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②这两个方程，所以我们把①②这两个二元一次方程组合在一起，用大括号连接起来，我们给它取个名字，叫什么好呢？为什么叫二元一次方程组？把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组

3. 探究二元一次方程、二元一次方程组的概念
接下来，我们来尝试一下解出上面这个二元一次方程组，求出鸡和兔的只数。
先看第一个方程，请问满足x+y=10的值有哪些？请填入下表，并计算出相应的2x+4y的值。
x

y

2x+4y

由上表可知，x=0,y=10;x=1,y=9;一直到最后的x=10，y=0，都能使方程x+y=10两边的值相等，所以它们都是二元一次方程x+y=10的解。我们将使一元一次方程两边相等的未知数的值定义为一元一次方程的解，那么大家能否由此给出二元一次方程的解的定义？使二元一次方程两边相等的两个未知数的值为二元一次方程的解。
这就是二元一次方程的解的定义，大家想一想，对于这样的一个二元一次方程组，我们又该如何定义它的解？
学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程，即：既是方程①又是方程②的解。可见二元一次方程组的解就是二元一次方程组中的两个方程的公共解。
对于上表,仔细观察，我们会发现当x=4，y=6时，不仅满足方程x+y=10，而且满足方程2x+4y=32，可见x=4，y=6是方程①和方程②的公共解，也就是说x=4，y=6是这个方程组的解，记为大括号x=4
y=6
这样的话，我们就通过第三种方法也就是列二元一次方程组的方法求出了鸡和兔的只数分别为4只和6只。
回顾上述“鸡兔同笼”问题的三种方案，我们做一下比较，大家觉得哪种方法好一些？
哪一种方法用起来容易，能大大减轻我们的思维负担？
对，第三种方法也就是列二元一次方程组解决问题的方法相比前面两种方法要容易一些。当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，采用这种方法是再好不过的。下面我们就来尝试着用这种方法解决实际问题。请看题目：
4. 探究二元一次方程、二元一次方程组的概念
香蕉的售价为5元∕千克，苹果的售价为3元∕千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？（先列出方程组，再找出解）
解：设香蕉买了x千克，苹果买了y千克。根据额题意可得：
x+y=9，
5x+3y=33
二元一次方程组我们已经列出来了，接下来我们来找一下它的解，大家看这四个选项，一起来找找这个方程的解：
A. x=5 B.x=1, C.x=6 D.x=3
y=3 y=8 y=1 y=6
5. 总结
通过练习，老师发现各位同学对本课的知识内容掌握得非常好，最后让我们一起来为这节课 所学的内容做一下小结。本节课通过对“鸡兔同笼”问题的探讨，我们对二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念有了一定的理解，现在请大家用自己的话说说你们对这些概念的理解？除了对概念的理解以外，大家还有那些收获？
6. 布置作业
完成课本习题90页8.1的第1，2，3，5题