兰州一中2016-2017年高三期中数学(理)试题及答案.doc

兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试
数学试题（理科）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，若是实数，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
3.以下判断正确的是 ( )
.函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件[来源:学§科§网]
.命题“”的否定是“”
C.“”是“函数是偶函数”的充要条件
D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题
4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 (　 　)
A．120 cm3 B．100 cm3 C．80 cm3 D．60 cm3
5.由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为
( )
A. B. C. D.

6.设等差数列的前项和为，若,,，则 （ ）
A. B. C. D.
7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( )
A. B. C. D.
8.设，则 ( )

A. B. C. D.

9.已知函数，则的图象大致为 ( )
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x

A B C D
10.函数的图象向右平移个单位后，与函数的
图象重合，则的值为 ( )
A. B. C. D.
11.椭圆: 的左、右焦点分别为,焦距为. 若直线y= 与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于 （ ）
A. B. C. D.
12.已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为 （ ）
A. B . C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 .
14.已知，则 .
15.已知满足约束条件若的最小值为,则 .
16.在中，内角的对边分别为,已知,，
则面积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；
（Ⅱ）若，求的最大值和最小值.
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，是棱上
的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．
B
A
C
D
P
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

19．（本小题满分12分）
随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
35
25

10

已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点
（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21．(本小题满分12分)
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，且的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求证：．
兰州一中2016-2017-1学期期中考试
高三数学试题参考答案（理科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
C
C
A
C
A
B
D
B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；w w w .x k b 1.c o m
（Ⅱ）若，求的最大值和最小值.
解：（Ⅰ） …4分
∴的最小正周期为， ……5分
令，则，
∴的对称中心为 ……6分
（Ⅱ）∵ ∴ ......8分
∴ ∴ .......10分
∴当时，的最小值为；当时，的最大值为 ……12分

18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，是棱上
B
A
C
D
P
的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

y
x
B
A
C
D
P
z
解：（Ⅰ）连接交于，连接.
∵∥平面，面，面面
∴∥ ……………2分新*课*标*第*一*网]
又∵为的中点，
∴为中点∴为中点 ……………4分
∴∴ ……………5分
（Ⅱ）∵在直三棱柱中，
∴ ……………6分
以为坐标原点，以, 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。
由（Ⅰ）知为中点
∴点坐标分别为
，，，

设平面的法向量
∵且
∴取 ∴ ……………8分
同理：平面的法向量 ……………10分
设二面角平面角为
则， ∴ ……………12分
19．（本小题满分12分）
随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
35
25

10

已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望.
解：(Ⅰ)由，得因为所以 ………3分
………6分
（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则
…8分
的所有可能取值为1000，1500，2000.

………10分
所以的分布列为

1000
1500
2000
P
0.35
0.4
0.25
………12分
20．（本小题满分12分）
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点
（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）解法一：设，，把代入得，
得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵，点的坐标为．　　　　　………………………2分
∵　∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　
即抛物线在点处的切线的斜率为．　　　　　　　　　　　 ………………………4分
∵直线:的的斜率为，∴．　　　　　　　 ……………………6分
解法二：设，，把代入得，
得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵，点的坐标为．　　　　　……………………2分
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，　　　　　　　………………………4分
直线与抛物线相切，， ， 即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………6分
（Ⅱ）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点．
是的中点，．　　　　　　　　　　　　
由（Ⅰ）知　

轴，．　 …………………8分
∵　　　　　　　　　　　
．　　　　 ……………………10分
，∴，
故，存在实数使为直径的圆经过点．　　　　　 ………………12分
21．(本小题满分12分)
已知函数x k b 1 . c o m
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．
解：（Ⅰ）当时，；
函数的定义域为，
当时，；当时，.
所以，在上单调递减；在上单调递增. ………………4分
(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，
x
y
o
1
y=lnx
y=ax
A
所以方程在有两个不同根.
即，方程在有两个不同根.
（解法一）转化为，函数与函数
的图像在上有两个不同交点，如图.
可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，
只须. ………………6分
令切点，所以，又，所以，
解得，，于是，
所以. ………………8分
（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，
而（）
若，可见在上恒成立，所以在单调增，
此时不可能有两个不同零点. ………………5分
若，在时，，在时，，
所以在上单调增，在上单调减，
从而 ………………6分
又因为在时，，在在时，，于是只须：
，即，所以. ………………7分
综上所述， ………………8分
（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，
即，，
不妨设，作差得，，即.
原不等式等价于

令，则， ………………10分
设，，
∴函数在上单调递增，
∴，
即不等式成立，
故所证不等式成立． ………………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．
解：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得 ．．．．．3分
由得，曲线的直角坐标方程为 ．．．．5分
（2）设，则点到曲线的距离为
．．．．．．．．．．．8分
当时，有最小值0，所以的最小值为0 ．．．．．．．．．．．．．10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，且的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求证：．
解：（Ⅰ）因为，
所以等价于，
由有解，得，且其解集为．
又的解集为，故 ．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又， ∴≥=9．
(或展开运用基本不等式)
∴                                 ．．．．．．．．10分

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