基于突变理论的边坡监测预警概率性模型研究.pdf

投稿网址:2023 年 第23 卷 第24 期2023,23(24):10229-07科 学 技 术 与 工 程Science Technology and EngineeringISSN 16711815CN 114688/T收稿日期:2022-10-11修订日期:2023-05-22基金项目:国家自然科学基金(52179110,51309025,41877280,41672320)第一作者:蔡玮珍(1995),女,汉族,江西九江人,硕士研究生。研究方向:边坡稳定分析与控制。E-mail:1481277578 。通信作者:李聪(1985),男,汉族,湖北荆州人,博士,高级工程师。研究方向:边坡稳定分析与加固。E-mail:23151112 。引用格式:蔡玮珍,李聪,张荣堂,等.基于突变理论的边坡监测预警概率性模型研究J.科学技术与工程,2023,23(24):10229-10235.Cai Weizhen,Li Cong,Zhang Rongtang,et al.Probabilistic model of slope monitoring and warning based on catastrophe theoryJ.ScienceTechnology and Engineering,2023,23(24):10229-10235.基于突变理论的边坡监测预警概率性模型研究蔡玮珍,李聪,张荣堂,吴亮亮,张新宙,程帆,李韶杰,肖正奕(武汉轻工大学土木工程与建筑学院,武汉 430023)摘 要 为解决边坡系统演化过程中不确定因素的影响,得到非确定性的边坡预警结果。结合突变理论与广义胞映射理论提出了一种边坡监测预警概率性模型。该模型采用尖点突变理论识别边坡稳定状态;将边坡稳定性演化结果视为随机事件,基于广义胞映射理论计算滑坡在某一时刻准时发生、提前发生、滞后发生、滑坡不发生的概率,从而实现边坡概率性预警。利用该模型计算了某黄土区工程边坡在某时刻发生失稳的概率为 100%,且滞后发生的概率为 83.8%,判定边坡系统突变会在该时刻之后发生,预警结果与实际情况一致,验证了该模型的有效性。与传统模型相比,概率性预警模型可提供更丰富合理的信息,有助于提升监测预警的准确率,为边坡监测预警研究提供了一种新思路。关键词 突变理论;边坡;监测预警;不确定性;概率性模型中图法分类号 P642.2;文献标志码 AProbabilistic Model of Slope Monitoring and WarningBased on Catastrophe TheoryCAI Wei-zhen,LI Cong,ZHANG Rong-tang,WU Liang-liang,ZHANG Xin-zhou,CHENG Fan,LI Shao-jie,XIAO Zheng-yi(School of Civil Engineering and Architecture,Wuhan Polytechnic University,Wuhan 430023,China)Abstract In order to solve the influence of uncertain factors in the evolution of the slope system,the non-deterministic warning re-sults were obtained.A probabilistic model for slope monitoring and warning was proposed combining catastrophe theory and generalizedcell mapping theory.The model used catastrophe theory to identify slope stability.The slope stability evolution results were regarded asrandom events,and the probability of landslide happening on time,in advance,lagging and not happening at a certain time was calcu-lated based on the generalized cell mapping theory,so as to realized the slope probabilistic warning.The results of the case analysisshow that the probability of a sudden change in the slope of a loess area is 100%,and the probability of lagging occurrence is 83.8%,and it is decided that the slope will occur afterwards,and the warning result is consistent with the actual situation.Compared with thetraditional deterministic model,the probabilistic early warning model can provide more abundant and reasonable information,which ishelpful to improve the accuracy of monitoring and early warning.In addition,the proposed uncertainty warning model provides a newidea for the research of slope monitoring and warning.Keywords catastrophe theory;slope;monitoring and early warning;uncertainty;probabilistic model 滑坡是世界上十大自然灾害之一,灾害性巨大。中国地质环境监测院根据滑坡造成的损失程度,对国内县(市)进行了滑坡地质灾害调查与区划1,结果显示,中国滑坡灾害覆盖面广,高灾情区突出且分布较集中。唐辉明等2指出,中国滑坡灾害不论是在数量、规模还是损失上,均是全世界严重的国家之一。对边(滑)坡进行有效稳定性分析与监测预警是人类生存发展的永恒课题。研究表明,将非线性突变理论研究边坡的非线性动态过程是改善传统单一的稳定性分析方法无法全面描述边坡复杂系统问题的有效途径3。近年来,突变理论在边(滑)坡防灾减灾中已被广泛应用。曹涛4基于突变理论对尖点型突变势函数进行分析,通过将监测数据进行等间隔化处理后获得对基坑变形和失稳的预测。蒋腾飞等5基于突变理论以及基坑防突层失稳的力学模型入手,推导了能够针对循环爆破次数的岩溶基坑防突厚度的计算方法。李凯等6依据突变理论将位移和折减系数作为变量构建尖点突变模型,将该量值作为边坡失稳依据。张志会等7以兰州地铁小西湖站为背投稿网址:景,将尖点突变概念结合速率比值法整体实现了适用于基坑施工过程中不同监测对象的变形预警研究。Qiao 等8针对寒区锚固边坡,将冻融(F-T)试验得到的损伤变量代入建立的尖点突变预测模型,推断出 45的锚固边坡对 F-T 退化的影响最敏感,最易发生滑坡。Sun 等9基于随机森林(randomforest,RF)和尖点突变模型(cusp catastrophe model,CCM),开发了用于预测的 LSM(Linux security mod-ule)混合框架(RF-CCM)模型,该研究结果成功降低了影响因子的不确定性,且比 RF 更具稳定性。张艺冰等10通过突变理论得到针对边坡稳定性风险的常规评价值,构建了有助于解决评价结果优劣性不明等问题的稳定性风险程度评价体系。上述研究均是利用尖点突变模型研究相关滑坡的失稳机制。针对滑坡的失稳时间,周小平等11利用突变理论和滑面介质的流变特性在研究了单滑面滑坡的失稳机制的基础上,建立了滑坡失稳时间预测模型。任杰等12利用突变理论和极值理论的超阈值(POT)模型对位移监测的时序进行,分析并验证了合理性。田卿燕等13基于突变理论,将监测数据拟合,并经过微分同胚变换为尖点突变模式,建立了灰色-突变预测模型,能够对块裂岩质边坡崩塌时间进行有效预测。廖元欢等14以巷道突变失稳的位移为变量,利用突变理论建立位移突变模型,得出在开挖到第 7 步时发生突变失稳。王俊等15基于突变理论构建了针对边坡应力的突变预警模型,并能够有效推导出突变时间。王树仁等16应用 B 样条法对监测所得的位移和时间进行一系列分析转换后得到突变公式以及突变判据,从而实行滑坡预警。Zhao 等17利用尖点突变理论建立了基于一般本构关系的通用尖点突变模型,着重分析了岩石边坡在水影响下的稳定性。王鹏飞18在京-新高速项目中,结合灰色突变模型和径向基函数(radial basisfunction,RBF)神经网络模型构建了高路堑边坡失稳变形预测分析模型,实现高路堑边坡在稳定性预测过程中良好精度的保持。宁波等19针对边坡变形预测精度的定量分析,利用尖点突变模型结合支持向量机方法构建了针对巨型古滑坡的滑坡变形预测模型,从而评价滑坡失稳的时间和发展趋势。Xu 等20利用突变理论构建了花岗岩残积土边坡灰色尖点突变预测模型,并成功用于花岗岩残积土边坡在降雨作用下失稳时间的计算。突变理论主要运用在边坡与岩体失稳中,所构造的模型大多只能描述滑坡连续变化的状态,且解是唯一的、确定性的,模型的建立没有有效考虑预测结果的随机性。但是在边(滑)坡监测预警中,监测数据、地质环境、致灾因子(如降雨情况)等因素均具有不确定性,且贯穿整个过程。目前的边坡监测预警方法未考虑这些因素的不确定性影响,所得预警结果均是确定性结果。监测预警时若考虑边坡系统演化过程中的不确定因素,得到基于滑坡演化过程的非确定性预警结果,是对传统的确定性预警方法的改进。利用蓬勃发展的科学技术研究探索随机方法和模糊方法结合的复合分析法21,也是对单一模型的边坡稳定性预警方法的改进。鉴于此,应用能够描述非连续现象的突变理论分析边坡稳定状态,基于广义胞映射的概率思想,将边坡的演化结果视为随机事件(具有一定的发生概率),提出了基于突变理论的边坡监测预警概率性模型。运用该模型可以得到更加科学合理的滑坡监测预警结果,为提升边坡稳定性分析和监测预警水平提供了有效途径。1 广义胞映射胞映射(Cell-Mapping)理论由 Hsu22于 1985年提出,用于复杂非线性动力学系统特性分析。该理论将胞与胞之间的映射关系对应复杂系统的演化过程。与传统的数学函数映射不同,它将点到点的映射转化为胞到胞的映射。将连续的映射空间离散成胞状态空间,将状态空间等分为若干份,每一份都定义为一个完整的胞23。胞映射理论分为简单胞映射(simple cell mapping,SCM)24与广义胞映射(generalized cell mapping,GCM)25两类,运用广义胞映射进行分析。广义胞映射指一个胞可以映射到多个像胞,且映射到不同像胞的概率不同。因此,广义胞映射不仅是胞到胞之间的映射,还反映了胞的状态概率之间的映射关系。设一维动力系统的非线性动力学方程为dxidt=fi(x;i),x G(1)式(1)中:t 为时间;xi为状态变量;i为控制变量;G为状态空间。状态空间离散成胞状态空间时,将状态变量的取值区间离散为若干段,每段使用一个整数 C 表示,则该整数与一个胞对应,可以代表某个胞。另外,将状态空间 G 之外的部分看作一个胞,称为沉没胞。基于胞映射理论,可将胞到胞的映射函数 c表示为离散化的动力系统演化过程,即复杂系统演化的胞映射过程为C(t+1)=cC(t)(2)式(2)中:c 为胞映射;C(t)为 t 时刻的胞;C(t+1)为 t+1 时刻的胞。03201科 学 技 术 与 工 程Science Technology and Engineering2023,23(24)投稿网址:胞映射描述了复杂系统不同时刻演化过程,实际的胞映射关系可由转移概率矩阵确定;式(2)反映的是一个客观的映射关系,通常不直接赋值;具体胞映射理论可参考文献26。依据广义胞映射理论,每个胞在下一时刻可映射到多个胞,若将第j 个胞(胞 j)映射到第 i 个胞(胞 i)的概率记为 pij,由 pij构成一次转移概率矩阵 P。可以使用式(3)所示的样本法计算转移概率pij。在胞 j 中取 n 个样本(子胞),若胞 j 中有 nij个样本映射到胞 i 中,则该胞映射的一次转移概率为pij=nijn(3)样本(子胞)的映射函数可使用式(4)描述。Zd(t+1)=FZd(t)(4)式(4)中:Zd(t)为 n 时刻样本(子胞)中心点状态变量;Zd(t+1)为样本在 t+1 时刻的中心点状态变量;F 为映射函数,可通过已知数据的拟合方程确定,如可使用 n 阶多项拟合。利用转移概率矩阵 P 可以描述系统的演化特性,则广义胞映射可表示为p(t+1)=Pp(t)(5)式(5)中:p(t)为 t 时刻的胞概率向量。假设胞总数为 m,则 p(t)为每个胞(胞 j,j=1,2,m)在下一时刻映射到胞 i 中的概率之和形成的向量(或一维数组)。由上可知,系统演化过程中将全状态空间中胞序列视为离散的随机序列,具有不确定性;且广义胞映射过程是概率性映射。则可以基于广义胞映射的概率思想,建立边坡监测预警概率性模型。2 基于突变理论的边坡监测预警概率性模型 利用边坡监测数据建立监测预警概率性模型。该模型融合了突变理论与广义胞映射理论的优点,建立了边坡系统的非确定性预警模型。2.1 灰色-尖点突变模型采用灰色-尖点突变模型进行边坡监测数据的突变判断,其原理参见文献15,27。通过对观测数据的突变分析,可确定边坡处于不稳定平衡的临界时刻与系统突变时间,计算步骤如下。步骤 1 选取需分析的监测数据,对数据进行时间序列累加生产(AGO),拟合至 5 阶多项式并确定系数 Fi,拟合方程为y=F0+F1t+F2t2+F3t3+F4t4+F5t5(6)式(6)中:y 为对应时刻 t 的所监测状态量累加值;Fi(i=0,1,5)为多项式拟合参数。步骤 2 通过变量代换将式(6)变换为y=u0+u1t+u2t2+u3t3+u4t4(7)式(7)中:系数 ui(i=0,1,5)分别为u0=F1,u1=2F2,u2=3F3,u3=4F4,u4=5F5(8)步骤 3 进行 Tschirnhaus 变换,令:t=x-F(9)式(9)中:系数 F=u34u4。步骤 4 Tschirnhaus 变换,函数方程变换为y=v0+v1x+v2x2+v4x4(10)式(10)中:系数 vi(i=0,1,2,4)分别表示为v0=u4F4-u3F3+u2F2-u1F+u0(11)v1=-4u4F3+3u3F2-2u2F+u1(12)v2=u2-3u3F+6u4F2(13)v4=u4(14)步骤 5 运用微分同胚变换,将函数方程变换为尖点突变的标准形式。y=14z4+12uz2+vz+c(15)式(15)中:z 为临界点的状态变量。变换方程为x=414v4z,v4 0 x=4-14v4z,v40,则计算式(15)中系数为u=v2/v4,v=v1/4v4(17)若 v40,系统稳定;若 D=0,系统处于临界状态;若 D 0 且 3z2+u 0,系统稳定,需要重新选择分析数据;若 D 0,则系统不稳定,计算该边坡系统不稳定状态的临界时刻 t0与突变时刻 tt。步骤 3 使用广义胞映射理论计算下一时刻的边坡状态发生概率。图 1 边坡监测预警概率性模型分析流程图Fig.1 Flow chart of slope monitoring andwarning probabilistic model 步骤 4结合广义胞映射与灰色-尖点突变理论确定滑坡在突变时刻 tt准时发生()、提前发生()、滞后发生()以及滑坡不发生()的概率。2.2.2基于广义胞映射理论预测下一时刻的边坡状态发生概率的计算步骤步骤 1以前文多项式拟合得到的函数方程式(6)可以得到边坡系统演化的非线性动力学方程,并计算系统下一时刻的状态变量。步骤 2 根据边坡监测数据与经验确定边坡监测数据可能的变化范围,从而得到系统可能的状态空间,将状态空间离散成胞状态空间。步骤 3 使用样本法计算转移概率矩阵 P。样本法即在每个胞(胞 j)中均匀的取 n 个样本,计算该样本的状态数据,将其带入到非线性动力学方程中可以使用式(4)的映射关系进行计算,得到样本在下一时刻的数据(像点)及其对应的胞 i。若胞j 中有 nij个样本映射到胞 i 中,则可以利用式(3)计算一次转移概率。步骤 4 采用式(5)描述系统的演化特性。从该方程可以得到边坡系统下一时刻的状态概率向量。2.2.3结合广义胞映射与尖点突变理论确定监测预警概率性结果的计算步骤步骤 1 以所选数据最后一个观测值对应的胞作为初始胞,并计算初始胞概率向量 p(t)(该数据胞对应的胞概率为 1,其他胞在初始状态下概率均为 0)。步骤 2根据式(5)得到下一时刻的胞概率向量 p(t+1)。步骤 3 设计监测预警可能出现的结果。包括四类,分别为在突变时刻(tt)滑坡准时发生()、提前发生()、滞后发生()、滑坡不发生()。步骤 4 设计不同预警结果的判别方法与标准。利用灰色-尖点突变模型分析系统在 t+1 时刻突变特性;基于 t+1 时刻系统状态数据计算系统突变时刻tt,与 t 时刻状态数据计算所得的突变时刻 tt相比较,得到预警结果。预警结果判断条件如表1所示。步骤 5 使用样本法统计四类预警结果发生的表 1 预警结果判断条件Table 1 Judgment conditions of warning results预警结果D 取值tt与 tt比较滑坡准时发生()D 0tt=tt滑坡提前发生()D 0tt tt滑坡滞后发生()D tt滑坡不发生()D 023201科 学 技 术 与 工 程Science Technology and Engineering2023,23(24)投稿网址:概率。在胞 i 中均匀地取 m 个状态样本,采用前述方法进行预警结果判别,若有 m1个样本使预警结果 发生,则 t+1 时刻系统处于胞 i 的条件下,滑坡在突变时刻(tt)准时发生()的概率按式(24)计算。P/T(i)=m1/m(24)式(24)中:T(i)为系统状态在 t+1 时刻处于胞 i。同理,若分别有 m2、m3、m4个样本使预警结果、发生,则有P/T(i)=m2/m(25)P/T(i)=m3/m(26)P/T(i)=m4/m(27)按照全概率公式,则四类预警结果发生概率的计算公式为P()=ni=1PT(i)P/T(i)(28)P()=ni=1PT(i)P/T(i)(29)P()=ni=1PT(i)P/T(i)(30)P()=ni=1PT(i)P/T(i)(31)式中:P()为事件 发生的概率;n 为胞的总数;PT(i)为系统状态在 t+1 时刻处于胞 i 的概率。3 实例计算将所提出的模型应用于子长县余家坪乡王家凹村黑山寺黄土区工程边坡27,并将分析结果与文献27的结果进行对比。该边坡详细情况参见文献27。选择实时数据库中 2 月 21 日22 日 1 号监测点应力值进行分析,监测时间间隔取 3 h,监测数据如表 2 所示。尖点突变理论分析系统稳定性的方法与文献27一致,仅介绍基于广义胞映射理论进行概率性预警的分析过程。该模型复杂的计算过程及结果输出均依托作者编制的计算程序完成。(1)表 2 中黄土区工程边坡的监测值为累计的应力变化量,可直接进行 5 阶多项式拟合;由灰色-尖点突变模型计算得知,D 0 该边坡系统不稳定,表 2 应力监测数据27Table 2 Stress monitoring data27监测时间时间间隔 t(t=3 h)监测值/kN2008-02-21 17:000364.392008-02-21 20:001365.862008-02-21 23:002366.022008-02-22 2:0033722008-02-22 5:0043762008-02-22 8:005395.59并得出此不稳定状态的临界时刻 t0=3.178t(t=3 h)与突变时刻 tt=5.604t(t=3 h),即距初测时刻约 17 h。由于初测时刻为 2008-02-21 17:00,故突变时刻对应为 2008-02-22 10:00。(2)根据所提出的边坡监测预警概率性模型分析流程,将多项式拟合得到的函数方程转化为边坡系统演化的非线性动力学方程后,计算得系统下一时刻的状态变量。(3)该算例以锚索应力值作为状态变量,以该工程中锚索应力可能的取值范围作为状态空间。根据所监测的应力变化区间,可确定该边坡系统可能的状态空间为 364.39 kNy930 kN,将状态空间均匀划分为 1 000 个胞(编号为 1 1 000),连同沉没胞(不可能状态空间组成的胞,编号为 1001)共1 001 个胞;以 t=5 时的胞概率向量(0,0,1,0,0)为初始胞概率向量(第 56 个胞概率为 1,其他为 0)。(4)采用边坡监测预警概率性模型方法,计算转移概率矩阵 P、下一时刻的胞概率向量 p(t+1)及系统突变时刻 tt。其中,转移概率矩阵 P 采用样本法计算;在第 j 个胞内均匀的取 1 000 个样本,确定出 1 000 个样本(子胞)中心点状态变量,使用式(4)计算 t+1 时刻的状态变量,从而得到 1 000个样本在 t+1 时刻所属的胞,统计出 t+1 时刻每个子胞中的样本数量即可得到转移概率 pij。该部分计算复杂,依托所编制的计算程序完成。(5)将 tt与尖点-突变模型所得突变时刻 tt相比较,得到该边坡系统的预警结果为:该边坡系统在2008-02-22 10:00 突变准时发生()的概率为0,在2008-02-22 10:00 突变提前发生()的概率为16.2%,在 2008-02-22 10:00 突变滞后发生()的概率为 83.8%,不发生突变()的概率为 0。从预警结果可以看出,边坡系统发生突变的概率为 100%,即该边坡会发生失稳。由于该模型考虑了不确定性的影响,故边坡系统突变时间具有不确定性。计算结果显示,在 2008-02-22 10:00 系统突变滞后发生的概率为 83.8%,可以判定边坡在2008-02-22 10:00 之前发生失稳的可能性很小,边坡系统突变会在 2008-02-22 10:00 之后发生。根据文献 27 给出的该边坡全过程应力监测曲线(图 227),可以看出,应力数据在 2 月 22 日以前保持在 360 380 kN,2 月 22 日以后随时间增幅加大,且在 3 月 13 日应力数据发生突变。该边坡坡面由 2 月 22 日开始产生裂缝至 3 月13 日 出 现 大 量 贯 通 裂 缝,产 生 较 大 变 形 破 坏(图 3)。可见,该边坡实际在 2 月 22 日出现明显变332012023,23(24)蔡玮珍,等:基于突变理论的边坡监测预警概率性模型研究投稿网址:图 2 某边坡全过程应力监测曲线27Fig.2 Whole process stress monitoring curve of slope27图 3 现场破坏特征Fig.3 Site damage characteristics of the slope形,于3 月13 日发生破坏;与本文得到预警结果(该边坡会发生失稳,且边坡失稳有 83.8%的概率发生于 2 月 22 日 10:00 之后)一致。另外,该模型不仅预测了滑坡可能发生,还计算出了该边坡在 2008-02-22 10:00 之后的某个时间区域滑坡发生的概率。表明该模型能更客观准确地反映边坡系统在临界时刻后的一段时间内,边坡可能的演化状态和突变情况,且预警结果具有不确定性内涵。4 结论结合广义胞映射与突变理论建立了一种边坡监测预警概率性模型,该模型可以识别边坡稳定性状态,且能够考虑边坡演化过程中不确定性因素的影响,计算出滑坡在某一时刻准时发生、提前发生、滞后发生、滑坡不发生的概率,从而实现边坡概率性预警。通过实例分析验证了该模型的有效性,得出如下结论。(1)所建立模型给出的预警结果与传统模型相比,反映了边坡演化状态的不确定性,含有更丰富合理的信息,贴合实际工程需要,具有较好的可信度。值得一提的是,边坡监测概率性预警模型能适用于变形、位移、声发射及微震信号等多类型监测数据,但目前还未实现数据的融合分析,有待进一步深入研究。(2)采用一维公式和数据,可方便直观展现该模型方法。(3)所提出的不确定性预警模型是结合了突变理论和广义胞映射的概率思想的组合模型,相较于单一预警模型在对边(滑)坡的整体监测预警能力上有较大提升,能够高精度预测出滑坡如何发生以及相对应发生的概率,给边坡监测预警研究提供了一种新途径和思路,也可对其他非线性动力系统的监测预警提供一定参考。参考文献1 中国地质环境监测院.中国滑坡灾情评价图(以县为单元)EB/OL.(2022-04-12)2022-10-11.https:/ Geological Environment Monitoring Institute.Landslide disas-ter assessment map of China(county as unit)EB/OL.(2022-04-12)2022-10-11.https:/ 唐辉明,鲁莎.三峡库区黄土坡滑坡滑带空间分布特征研究J.工程地质学报,2018,26(1):129-136.Tang Huiming,Lu Sha.Research on the spatlal distribution of slipzone of Huangtupo landslide in Three Gorges Reservoir AreaJ.Journal of Engineering Geology,2018,26(1):129-136.3 李帅,苏永华,杜俊旺.基于突变特征的边坡工程失稳判据研究J.防灾减灾工程学报,2020,40(6):852-859.Li Shuai,Su Yonghua,Du Junwang.Research on instability crite-rion of slope project based on mutation characteristicsJ.Journalof Disaster Prevention and Mitigation Engineering,2020,40(6):852-859.4 曹涛.基于灰色尖点突变理论的深基坑施工变形预测分析D.西安:长安大学,2019.Cao Tao.The forecasting analysis of deep foundation pit construc-tion deformation based on gray cusp catastrophe theoryD.Xian:43201科 学 技 术 与 工 程Science Technology and Engineering2023,23(24)投稿网址:Changan University,2019.5 蒋腾飞,姜谙男,许梦飞,等.基于尖点突变理论和爆破累积损伤模型的岩溶基坑防突厚度研究J.岩石力学与工程学报,2021,40(9):1902-1913.Jiang Tengfei,Jiang Annan,Xu Mengfei et al.Study on the thick-ness of karst foundation pits against outburst based on sharp pointcatastrophe theory and blasting cumulative damage modelJ.Chi-nese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2021,40(9):1902-1913.6 李凯,陈国荣.以尖点突变模型为边坡临界失稳的判据研究J.桂林工学院学报,2009,29(1):102-105.Li Kai,Chen Guorong.Cusp catastrophe model for slope criticalfailureJ.Journal of Guilin University of Technology,2009,29(1):102-105.7 张志会,张明,王先斌.基于尖点突变理论及速率比值法的基坑变形预警研究J.水利水电技术,2019,50(7):174-180.Zhang Zhihui,Zhang Ming,Wang Xianbin.Cusp catastrophe theo-ry and rate ratio method-based study on early warning of foundationpit deformationJ.Water Resources and Hydropower Engineering,2019,50(7):174-180.8 Qiao C,Wang Y,Li C,et al.Catastrophe instability analysis ofrock slopes with locked segments in open-pit mine due to freeze-thaw weatheringJ.Bulletin of Engineering Geology and the Envi-ronment,2022,81(4):1-14.9 Sun X F,Yuan L G,Tuo S Q,et al.A novel landslidesusceptibility optimization framework to assess landslide occurrenceprobability at the regional scale for environmental managementJ.Journal of Environmental Management,2022,32(2):108-116.10 张艺冰,刘汉东,杨继红,等.基于改进突变理论的水库边坡稳定性风险分析 以前坪水库右坝肩边坡为例J.科学技术与工程,2020,20(8):3246-3251.Zhang Yibing,Liu Handong,Yang Jihong,et al.Slope stabilityrisk analysis of reservoir based on improved catastrophe theory:acase study of right abutment slope of Qianping ReservoirJ.Sci-ence Technology and Engineering,2020,20(8):3246-3251.11 周小平,钱七虎,张永兴,等.基于突变理论的滑坡时间预测模型J.工程力学,2011,28(2):165-174.Zhou Xiaoping,Qian Qihu,Zhang Yongxing.Time predictionmodel of landslides based on catastrophe theoryJ.EngineeringMechanics,2011,28(2):165-174.12 任杰,苏怀智,杨孟,等.边坡位移预警指标的实时估计与诊断J.水利水运工程学报,2016(1):30-36.Ren Jie,Su Huaizhi,Yang Meng,et al.Real-time estimation anddiagnosis of early warning indicator of slope displacement based onPOT-catastrophe theory J.Hydro-Science and Engineering,2016(1):30-36.13 田卿燕,傅鹤林.基于灰色突变理论的块裂岩质边坡崩塌时间预测J.华南理工大学学报(自然科学版),2009,37(12):122-126.Tian Qingyan,Fu Helin.Failure time prediction of slope collapseof block rockmass based on gray and catastrophic theoriesJ.Journal of South China University of Technology(Natural ScienceEdition),2009,37(12):122-126.14 廖元欢,邓涛,张文涛,等.基于尖点突变理论的巷道开挖围岩稳定性及支护研究J.有色金属工程,2022,12(4):116-123.Liao Yuanhuan,Deng Tao,Zhang Wentao,et al.Study on thestability and support of tunnel excavation surrounding rock basedon cusp catastrophe theoryJ.Nonferrous Metals Engineering,2022,12(4):116-123.15 王俊,周杰,张建平.基于尖点突变理论的边坡应力监测系统预警模型研究C/2013 年煤炭开采与安全国际学术研讨会论文集.北京:中国煤炭学会,2013:89-93.Wang Jun,Zhou Jie,Zhang Jianping,et al.Research on earlywarning model of slope stress monitoring system based on cusp ca-tastrophe theoryC/2013 International Symposium on Coal Min-ing&Safety.Beijing:China Coal Society,2013:89-93.16 王树仁,张艳博.基于纵向数据与突变理论的边坡滑坡预测新方法及其应用J.煤炭学报,2009,34(5):640-644.Wang Shuren,Zhang Yanbo.New method for landslide forecastand its application based on longitudinal data and catastrophictheory J.Journal of China Coal Society,2009,34(5):640-644.17 Zhao Z,Xu J,Yuan J,et al.Investigation of cusp catastrophemodel of rock slope instability with general constitutive equationsJ.Bulletin of Engineering Geology and the Environment,2020,80(6):101007.18 王鹏飞.基于 GM-RBF 组合模型的高路堑边坡稳定性预测研究J.建筑结构,2021,51(20):140-145.Wang Pengfei.Study on stability prediction of high cutting slopebased on GM-RBF combination modelJ.Building Structure.2021,51(20):