高一数学正弦定理、余弦定理人教实验A版知识精讲.doc

高一数学正弦定理、余弦定理人教实验A版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
正弦定理、余弦定理

二. 重点、难点：
（1）正弦定理

（2）余弦定理

（3）面积公式

【典型例题】
[例1] △ABC中，∠A=30°，
① ，求边c
② ，求边c
③ ，求边c
④ ，求边c
⑤ ，求边c

解：（1）（法一） 无解
（法二）

无解
（2）（法一）
（法二） ∴
（3）（法一）
① B锐角
∴

② B为锐角

∴
（法二）

（4）（法一）
① B为锐角
∴
② B为钝角 舍
（法二）
（5）（法一）
① B为锐角

② B为钝角
∴ 舍
（法二）

∴
分析 无解
1解
两解
1解
总结，三角形有三边，三角六个基本量
知其三（至少一个为边）可求其余的量
（1）三边（可用余弦定理）
（2）两边一夹角（可用余弦定理）
（3）两边一对角（为例1情况最复杂）
（4）一边两角即一边三角（可用正弦定理）
[例2] △ABC中，三边长为，且三边上高线长为2cm，3cm，4cm，求。
解：，，

∴
∴

[例3] △ABC中，，，∠A平分线，AD=2，求三个角的度数。

解：

∴ ∴ ∴ A=60°

∴ ∴ B=30° C=90°

[例4] △ABC中，，，求。
解：∵ ∴
∴

∴
∴

[例5] 在△ABC中，已知，，若，求。
解：∵ ∴
设，，则
由（1）（2）消去，得，解得或
∵ 时，故舍去
∴ ，此时，，

[例6] 在△ABC中，，判断这个三角形的形状。
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
整理为
即
所以，即
所以△ABC是直角三角形

[例7] 在△ABC中，，是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。
解：∵ ∴ ，
又∵ 是方程的一个根 ∴
由余弦定理可得
则
当时，最小且，此时
所以，△ABC周长的最小值为

[例8] 在△ABC中，，试判断三角形的形状。
解法一：∵
∴
∴ ∴ ∴
故此三角形是等腰三角形
解法二：设，则，
∵ ∴
∴ ∴
∵ ，
∴ ∴ ，即A=B
故此三角形是等腰三角形

[例9] 在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，且，求角B的大小。
解：∵ ，根据正弦定理
得
化简为
∴
在△ABC中， ∴
∵ ∴

[例10] 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，C=2A，，，（1）求的值；（2）求的值。
解：（1）由C=2A及正弦定理得
（2）由 解得
由余弦定理得
化简得，解得或
检验：若，则A=B，
∴
与条件矛盾，所以不合题意，舍去，所以

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
1. 一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对边的长是（ ）
A. 4 B. C. D.
2. △ABC中，，，A=30°，则B等于（ ）
A. 60° B. 60°或120° C. 30°或°150° D. 120°
3. 在△ABC中，B=45°，C=60°，，则最短边的长等于（ ）
A. B. C. D.
4. △ABC中，A=60°，，，那么满足条件的△ABC（ ）
A. 不存在 B. 唯一存在 C. 有2个 D. 不确定
5. 在△ABC中，若A=60°，，则等于（ ）
A. 2 B. C. D.
6.在△ABC中，已知，，A=30°，则 。
7. 在△ABC中，周长为7.5cm，且，下列结论：
① ；② ；③ ；④ 。其中成立的序号依次是 。
8. 在△ABC中，，，，那么B等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
9. 若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形
C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形
10. 在△ABC中，若，则（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
11. △ABC中，如果，，A=30°，边（ ）
A. 6 B. 12 C. 6或12 D. 无解
12. 在△ABC中三边之比，则△ABC中最大角的大小为（ ）
A. B. C. D.
13. 在△ABC中，，，B=150°，则 。
14. 在△ABC中，若，则A= 。
15. 在△ABC中，已知，A=45°，C=30°，求和B。
16. 在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C及。
17. 在△ABC中，，，是方程的两个根，且，求：（1）角C的度数；（2）AB的长度。

【试题答案】
1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6.
7. ①③ 8. C 9. B 10. C 11. C
12. B 13. 7 14. 60°
15. 解：∵ ，A=45°，C=30°
∴
由，得
由，得

16. 解一：根据正弦定理，
∵ ，且 ∴ 或120
当A=60时，C=75，
当A=120时，C=15，
解二：根据余弦定理，
将已知条件代入，整理得，解得
当时，，从而A=60，C=75；
当时，同理可求得：A=120，C=15。
17. 解：（1）
∴ C=120°
（2）由题设得
∴

∴

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