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高中数学《抛物线》练习题
一、选择题:
1. (浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=( )
(A) (B) (C) (D)1
2. (上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在
3. 抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4. (辽宁卷)已知双曲线的中心在原点,离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 ( )
A.2+ B. C. D.21
5 .(江苏卷)抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0
6. (湖北卷)双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题:
7.顶点在原点,焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 .
8.若抛物线的焦点在x轴上,则m的值是 .
9.过(-1,2)作直线与抛物线只有一个公共点,则该直线的斜率为 .
10.抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 .
O
A
B
E
F
M
三、解答题:
11. (江西卷)如图,M是抛物线上y2=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹
12. (上海)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
当m<1时, AK与圆M相交.
13、(全国卷III)
设,两点在抛物线上,是的垂直平分线。
(Ⅰ)当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点?证明你的结论;
(Ⅱ)当直线的斜率为2时,求在轴上截距的取值范围。
14.(广东卷)在平面直角坐标系xOy中,抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足(如图4所示).
(Ⅰ)求得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
x
y
O
A
B
抛物线练习题答案
解答:一。BB D BB A
三.1. 解:(1)设M(y,y0),直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为-k,方程为
∴由,消 解得
∴(定值) 所以直线EF的斜率为定值
(2)直线ME的方程为
由得 同理可得
设重心G(x, y),则有
消去参数得
4. [解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, ∴N的坐标(,).
(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.
8. .解:(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等,
∵抛物线的准线是轴的平行线,,依题意不同时为0
∴上述条件等价于 ∵
∴上述条件等价于 即当且仅当时,经过抛物线的焦点。
(Ⅱ)设在轴上的截距为,依题意得的方程为;过点的直线方程可写为,所以满足方程 得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,即
13.解:(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …(1)
∵OA⊥OB ∴,即,……(2)
又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
(II)
由(I)得
当且仅当即时,等号成立。 所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1;
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