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,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,音乐中数学之美,第1页,目 录,音乐与数学结合起源,乐理中数学规律,乐曲结构与黄金分割,和声傅立叶分析,乐器中数学奥妙,第2页,音乐与数学结合起源,最早将音乐与数学联络起来研究要追溯至公元前六世纪,毕达哥拉斯学派,，他们用,百分比,把二者有机结合起来。,乐声协调与所联络整数之间有着亲密关系，拨动一根弦发出声音取决于,绷紧弦长度,协和音由长度与原弦长比为,整数比,弦给出,被拨动弦每一个友好结合，都能表示为整数比，由增大成整数比弦长度，能够产生全部音阶。,第3页,音乐与数学结合起源,C,B,A,G,F,E,D,C,2,.,第4页,音乐与数学结合起源,五度相生律,也是毕达哥拉斯首创，故又名毕达哥拉斯律,基础音,：发音体整体振动产生最低音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生,泛音,：以基础音为标准，其余,1/2,、,1/3,、,1/4,等各部分也是同时振动，是泛音。泛音组合决定了特定音色，并能使人明确地感到基音响度。乐器和自然界里全部音都有泛音。,第5页,音乐与数学结合起源,依据第一、二泛音间频率比为,2,：,3,关系进行音繁衍，以此为纯五度，进行一系列五度相生，从而得到调中诸音。,纯律,取泛音列中第一、二泛音之间纯五度以及第三、四泛音间大三度这两种音程为繁衍新音要素，由频率比为,4:5:6,几个大三和弦确定诸音高。,第6页,纯律实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱,碣石调幽兰,。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出,十二平均律,，其频率由等比数列通项公式,确定，公比为,1.05946,，是,2,开,12,次方算数根。,音乐与数学结合起源,第7页,乐理中数学规律,音程转位,音程,：两个音之间在音高上关系,单音程,：八度以内音程,音程转位,：将音程冠音和根音相互颠倒位置,第8页,乐理中数学规律,音程转位,对,单音程,而言，原音程及其转位音程度数之和为,9,。,在,音符,方面，小于全音符诸音符由除法确定，如二分音符为全音符 ，四分音符为全音符 。,拍子,是拍分组，如 拍子是以全音符,为,1,拍，每小节有,3,拍，即 ，而 拍子可认为以全音符 为一拍，每小节有,6,拍，即 。,？,第9页,乐曲结构与黄金分割,对称,在数学上就是,1:1,，由上下句组成乐段，由起承转合四部分组成作品，由四个乐章组成交响曲，都表达了造型对称美,作曲,黄金分割,把线段,L,分成两段，使其中较长段,x,为全段与较短段（,L-x,）百分比中项，即满足等式,L:x=x:,（,L-x,）,.x=0.618034,倍,L,第10页,第11页,乐曲结构与黄金分割,巴托克顶峰之作,弦乐、打击乐与钢片琴音乐,第12页,乐谱结构,第13页,这部作品第三乐章,89,小节,B,34,小节,A,21,小节,A,34,小节,一,21,小节,二,13,小节,二,8,小节,一,13,小节,二,21,小节,一,13,小节,高潮,55,小节,34,：,55,13,：,21,21,：,34,8,：,13,黄金分割,第14页,8,、,13,、,21,、,34,、,55,、,89,等小节数数字本身，则均含于黄金分割另一个形式,斐波那契数列,（即,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,55,，,89,，,144,等，且从第三项起每项均为前两项之和）。这个数列前两项之比,1:1,反应对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如,2:3,、,3:5,、,5:8,、,8:13,等均近似反应黄金分割百分比关系，且愈往后准确度愈高。由此可认为，上述乐曲结构显著受斐波那契数列制约。,第15页,和声傅立叶分析,一个音叉所发出声音，其图像就是一个正弦函数，如 。任何乐声图像都是周期性图像，它有固定音高和频率。而,傅立叶定理指出，任何一个周期函数都能够表示为三角级数形式,，如任何一个周期函数都可表示为,其中频率最低一项为基本音，其余为泛音。由公式知，全部泛音频率都是基本音频率整数倍，称为基本音谐波。,第16页,和声傅立叶分析,依据傅立叶定理，,每个乐音都能够分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波叠加。,假设,do,频率是 ，那么它能够分解成频率为 ，,谐波叠加，即,；同理，高音,do,频率是 ，一样能够分解为频率为 ，,谐波叠加，即,。这两列谐波频率有二分之一是相同，所以,do,和高音,do,是最友好。,第17页,傅立叶还发觉每种声音都有三种品质：,与曲线频率相关,与曲线振幅,相关,与周期函数形状,相关,音调,音量,音色,第18页,乐器中数学奥妙,能与某音发生,共鸣,空气柱长度为该音波波长,、,1,、,2,等倍。,低音乐器发音低，声波长,，所以要求共鸣箱有较大致积；,高音乐器则反之，发音高，声波短,，所以共鸣箱需较小体积。,因为一件乐器能够发出多个乐音，所以又要求其形状复杂，以利于在各个不一样方位上形成不一样长度共鸣空气柱，适合于不一样高度音响需要。如中央,C,音频率为,261.63Hz,，波长,1.3,米，波长 是,0.325,米，为确保该音共鸣，则共鸣箱内空最少有一个方位为,0.325,米（或其,2,、,4,、,8,等倍数）。音越低，波长越大，跨越障碍本事也越强，再加上频率低，能量损耗小特点，决定了低音传远性。,第19页,乐器中数学奥妙,乐器之王,钢琴键盘，其琴键音程恰好与,斐波那契数列,相关。在钢琴键盘上，从一个,C,键到下一个,C,键就是音乐中一个八度音程，其中共包含,13,个键，分别是,8,个白键和,5,个黑键，而,5,个黑键分成,2,组，一组有,2,个黑键，一组有,3,个黑键。,2,、,3,、,5,、,8,、,13,恰好就是斐波那契数列中前几个数。,第20页,音乐是心灵算术练习。,莱布尼茨,音乐是由数要求运动。,奥古斯丁,第21页,音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体完美表达。音乐能够抒发人们情感，是对人们自己内心世界反应和对客观世界感触，因而是以一个感性方式来描述世界，而数学是以一个理性、抽象方式来描述世界，使人类对世界有一个客观、科学了解和认识。即使音乐与数学描述世界方式不一样，但最终目标都是为人类更加好地生存和发展服务，所以二者能够从根本上统一起来，成就了一个必定。,第22页,Thank You!,第23页,
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