初一几何难题-练习题(含上下册答案).docx

1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可 化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂 线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例 1.己知：如图 1 所示，中，ZC = 90°, AC=BC, AD= DB, AE = CF。
求证：DE=DF
图1
分析：由AA8C是等腰直角三角形可知，ZA = ZB = 45°,由D是AB中点，可考虑连结CD,易 得 CD=AD, ZDCF = 45。° 从而不难发现 ADCF^ADAE
证明：连结CD
AC= BC
:.ZA = ZB
•/ ZACB = 90° , AD=DB
：.CD= BD= AD, ZDCB = ZB = ZA
AE = CF, ZA =，DCB, AD = CD
:.AADE = NCDF
:.DE = DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边 上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中 线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G,使DG = DE,连结BG,证是等腰直角三角形。 有兴趣的同学不妨-试。
例 2.己知：如图 2 所示，AB = CD, AD = BC, AE=CF。
求证：ZE= ZF【试题答案】
1. 证明：取CD的中点F,连结AF

AC=AD
二 AFLCD
:.ZAFC= ZCDE = 90。
又 21 + 24 = 90。，21 + 23 = 90。
Z4 = Z3
-AC =CE
:.\ACF ^\CED{ASA)
:.CF = ED
DE = -CD
2. 分析：此题从和图形上看好象比拟简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截K补短”的手法。“截即将长的线段截成两局部，证明这两局部分别
和两条短线段相等：“补短”即将-条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

证明：延长CA至E,使CE=CB,连结ED
在和中，
CB = CE
• ZBCD = ZECD
CD = CD
:.\CBD 三 \CED
:.ZB = ZE
ZBAC = 2>B
ABAC = 2ZE
又 ZBAC=ZADE + ZE
:.ZADE = ZE, AD = AE
:.BC=CE= AC+ AE = AC+ AD
3. 证明：延长PM交CQ于R

•/ CQ1AP, BPLAP
:.BP! ICQ
:.ZPBM = ZRCM
又 BM = CM, /BMP = ZCMR
:.\BPM = NCRM
:.PM = RM
:.QM是Rt\QPR斜边上的中线
MP = MQ初一下册几何练习题
1.如图1,推理填空：
(1) V ZA =Z (己知)，
・.・AC〃ED ():
(2) VZ2 =Z (己知)，
・.・AC〃ED ()；
(3) V ZA +Z = 180° (己知)，
・.・AB〃FI)()；
(4) VZ2 +Z = 180° ()，
・.・AC〃ED (2.如图9 ,

2.如图9 ,
ZD =ZA, ZB =NFCB,
求证:ED〃CF.

3.如图 3, Z1 ： Z2 ： Z3 = 2 ： 3 ： 4, ZAFE =
60° , ZBDE =120° ,写出图中平行的直线，并说明

理由.
图2
4.如图4,直线AB、CD被EF所截,

4.如图4,直线AB、CD被EF所截,
Z1 =Z2, ZCNF =ZBMEO 求证：AB〃CD, MP〃NQ.

5. 如图 5,ZABE +ZDEB = 180° , Z1 =Z2,求证：ZF =ZG.

6. 如图 10, DE/7BC, ZD : ZDBC = 2 ： 1, Z1 =Z2,求ZDEB 的度数.

B图6

图8
如图11,己知AB〃CD,试再添上一个条件，使匕1 =Z2成立. 求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）
7. 如图12, NABD和NBDC的平分线交于E, BE交CD于点F, Z1 +Z2 = 90° .
求证：(1) AB〃CD； (2) Z2 +Z3 = 90° .
8. ：如图：ZAHF+ZFMD=18O° , GH 平分ZAHM, MN 平分ZDMHO
求证：GH〃MN。
9. 己知：如图，匕4 =匕4。占，= 4DF ,且ZZ = Z5.
求证：EC〃DF.
10. 如图，ZB=ZE, AB=EF, BD = EC,那么AABC与 Z\FED全等吗？为什么？
11. 如图，点A、C、B、D在同一直线上,AM=CN, BM=DN, NM=NN,试 说明:AC=BD.

如下图，AB=DC, AE二DF, CE=BF,试说明: AF=DE.
12. 11、如图，在△ABC 和ZXDBC 中，Z1=Z2, Z3=Z4, P 是 BC 上任一点。 求证：PA=PDo如图(12) AB〃CD, OA=OD,点 F、D、0、A、E 在同一直线上,AE=DF° 求证：EB〃CF。
13. 如图（13） AABC^AEDCo 求证:BE=AD。
（图 13） C如图:AB=DC, BE=DF, AF=DE° 求证：ZXABE丝△DCF。
14. 如图；AB=AC, BF=CFo 求证：ZB=ZC.

15. 如图：AB〃CD, ZB=ZD,求证：AD〃BC。

16. 如图：AD=BC, DEI AC 于 E, BF1AC 于 F, DE=BF。求证：(1) AF = CE, (2) AB〃CD。

一、和差倍分问题
，1、甲队人数原为乙队人数的2倍，假设从甲队调10人到乙队，那么甲队人数比乙队人数的一半多3 人，求原来两队的人数。
解：设甲队原有x人，乙队原有y人。
x=2y< 1
x-10 = -O + 10） + 3
依题意可列方程组：25=24
V
解这个方程组得：1^ = 12
答：甲队原有24人，乙队原有12人。
V2、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1,十位上的数字与个位上的数字的和呈这个
1_两位数的5,求这个两位数是多少？
解：设十位数字是x,个位数字是yx+l = «y
<1x+v = -（10x+>）
依题意可列方程组：5\=4
V
解这个方程组得：〔’=5
答：这个两位数是45。
V3、某厂为某学校生产校服，每3米长的某种布料可以做上衣2件或裤子3条，一件上衣和 一条裤子为一套，计划用750米长的这种布料生产校服，应分别用多少布料生产上衣和裤『才能恰好配套？ 共能生产多少套？
解：设用x米做上衣，y米做裤子。
'= 750
'三 x2^x3
依题意可列方程组：〔33上= 450
V
解这个方程组得：〔> = 300
—x3 = 3003（套）
答：用450米布料做上衣，用300米做裤子恰好配套。共能生产300套。
V4、学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组人数比为3： 2,乙组与丙组人数的比为7： 5, 问各组有多少人？
解法一：设甲组X人，乙组y人，那么丙组(90-x-y)人。
工了=3:2
依题意可列方程组：1〉：(90一工一＞)=7:5\ = 42
V解这个方程组得：〔^ = 28
90-42-28=20 (人)答：甲组42人，乙组28人，丙组20人。
解法二：将条件“甲组与乙组人数比为3： 2,乙组与丙组人数的比为7： 5”中的比例化为“通比”，即3:2=21:14, 7:5=14:10,于是甲乙丙三组人数之比为21:14:10
设甲组21k人，乙组14k人，丙组10k人。
依题意可列方程：21k+14k+10k=90, k=221 x2 = 42 (人)
14x2 = 28 (人)10x2 = 20 (人)
答：甲组42人，乙组28人，丙组20人。
V5、i个K方形的K增加6J里米，宽减少2厘米，那么面积增加8平方厘米，如果长减少6厘米， 宽增加6厘米，那么面积不变，求原来长方形的周长和面积。
解法一：设长x厘米，宽y厘米，依题意有：
0 + 6)0 - 2) = 9 + 8(x-6)(y+6) = xy
拆掉括号后发现每个等式两边都有9项，抵消掉后得：
6y- 2x = 206x-6y = 36
\ = 14解这个方程组得：8
所以原长方形的周长为：2 (14+8) =44cm,面枳为：14*8=112cmJ答：长方形周长44cm,面积112cm'
解法二：仔细分析第二个面积不变的条件，山丁•面积不变，所以少了的面积等丁•多出的面积，如图

设宽为X厘米，那么长为(x+6)厘米。
再由第一个条件比拟，少了的一块儿跟多出局部的差，可得一元一次方程：2(x+6) = 8 + 6(x-2)
解得x=88+6=14 (厘米)
所以原长方形的周长为：2 (14+8) =44cm,面积为:14*8=112cm2
答：长方形周长44cm,面积112cm'
二、行程问题：
▼ 1、轮船在两个码头之间航行，顺流航行需6小时，逆流航行要8小时，水流速度为3千米/时, 求轮船在静水中的速度及两码头之间的距离。
解：设船在静水中的速度为x千米/小时，两码头之间的距离为、千米。
6(3 4-x) = y 依题意可列方程组：〔8(工一3)=,x = 21
解这个方程组得：1>=144答：船在静水中的速度为21「•米/小时，两码头之间的距离为144干米。
▼ 2、甲乙二人练习赛跑，假设甲让乙先跑12米，甲跑6秒钟，即可追上乙，假设乙比甲先跑2.5秒,
那么甲跑5秒钟就能追上乙：问甲、乙两人每秒各能跑多少米？
解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒。
E
图2
证明：连结AC
在MBC和△CD4中，
v AB = CD, BC= AD, AC = CA
..AABC 三△C£M (SSS)
ZB = ZD
v AB = CD. AE = CF
:.BE = DF
在MCE•和\DAF中，
BE=DF
< ZB = ZD
BC= DA
:.\BCE M \DAF (SAS)
:.ZE = ZF
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意:
(1) 制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
(2) 添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同 旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个 角等于90° ,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一"来证。
例3.如图3所示，设BP、CQ是ZX/WC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证：KH/7BC
6x-6y= 12依题意可列方程组：〔5工= (5+2.5)、
x= 6<
解这个方程组得：
答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒。
V 3、某一铁桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1
分钟，整列火车完全在桥上的时间是40秒，求火车的速度和长度。
解：设火车的速度为x米/秒，车长y米。
60x = 1000+y依题意可列方程组：［如工=1°00一 V
x=20解这个方程组得：3 = 20°
答：火车的速度为20米/秒，车长20 o米。
—4、一条公路，从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以12千米/小时的速度下 坡，而以9千米/小时的速度通过平路，到达丙地，共用55分钟，回来时，又以8千米/小时的速度行至乙 地，以每小时4千米的速度由乙地到达甲地，共用1.5小时，问从甲地到丙地共有多少千米？
55m in
丙

8km/hl.5h

解法一：设甲乙段路程为X千米，乙丙段路程为y千米,
12 9 60由时间条件可得:

由时间条件可得:

3x+4y = 33整理得：1 2x+y=12
x = 3解之得：3 = 6
3 + 6 = 9 （千米）答：甲丙段共9千米。
解法二：由于下坡和上坡的速度比为3:1,所以时间比为1:3,设甲到乙的时间为x小时，那么乙到甲的时间为3x小时；
（丑F山题意，乙到丙的时间为60 小时，丙到乙的时间为（】・5—3工）小时,
而平路往返路程相等，9（冬 x） = 8（1.5 成）
那么：601
x =-解得 4
三甲乙路程：n（千米）
38（1.5--）= 6
乙丙路程：4 （千米）全程：3 + 6 = 9 （千米）
答：甲丙段共9千米。
C^5、某人步行速度为10千米/小时，骑自行车速度为30千米/小时，他从甲地到乙地的S路程步行，5路程骑车，然后按照原路返回时的5的时间骑车，5的时间步行，结果比去时快了半小时，求 甲乙两地的距离。
解：设距离为X千米，返回时间y小时。
23—X —X
— + — -0.5 = ^10 30/
32依题意可列方程组:

依题意可列方程组:
30x-y + 10x-y= x

275X =
8<25
y=— 解这个方程组得：16275
答：甲乙两地距离是8千米。
三、销售问题（1）进价：购进商品时的价格（有时也叫本钱价）»
（2）售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价）（3）标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）
（4）利润：在销售商品的过程中的纯收入，利润=售价-进价（5>利润率：利润占进价的百分率，即利润率=利润小进价X100%
（6）打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，那么称将标价进行了几折：或理解为：销售 价占标价的百分率。例如某种服装打8打即按标价的百分之八十出传。
四、选学内容
，1、某商场有一部自动扶梯匀速由下向上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同 时匀速登梯，甲登了 55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙登楼梯级数是甲的2倍），他 登了 60级后到达楼上，问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？
解：设甲速度为x级/单位时间，那么乙速度为2x级/单位时间，设扶梯自身速度为y级/单位时间，扶梯共z级台阶。
55 _ zX x+y
60 _ z依题意可列方程组:

依题意可列方程组:
2x 2x + y整理得:

整理得:
xz = 55x + 55> xz = 60x + 3Qy于是 55x + 55y = 60工 + 30»
55= z把X=5y 代入 X x+y 得：z=66 答：扶梯共66级。
A
分析：由，BH平分匕ABC, XBH1AH,延长AH交BC于N,贝0 BA=BN, AH = HN。同理, 延长AK交BC于M,那么CA=CM, AK = KM。从而由三角形的中位线定理，知KH〃BC。
证明：延长AH交BC于N,延长AK交BC于M
VBH 平分ZABC
ZABH = /NBH
又 BH1AH
... ZAHB = ZNHB = 90°
BH = BH
\ABH = \NBH (ASA)
BA = BN, AH = HN
同理，CA=CM, AK = KM
:.KH是AAMV的中位线
:.KH//MN
艮KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，那么此三角形必为等腰三角形。我们也可以 理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。
例 4.己知：如图 4 所示，AB=AC, /A = 90° , AE = BF, BD = DC 0
求证：FD1ED
D图4
证明一：连结AD
v AB = AC, BD= DC
Z1+ Z2 = 90° , ZDAE = /DAB
•.•NBAC = 90。，BD= DC
:.BD = AD
:.ZB= ZDAB= ZDAE
在 MO回和费£＞「中，
AE = BF, ZB = ZDAE, AD = BD
:.\ADE = \BDF
:.Z3 = Z1
Z3+22 = 90。
FDA.ED
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M,使DM = ED,连结FE, FM, BM

BD = DC
ZBDM = ZCDE, DM = DE
:.NBDM M \CDE
:.CE = BM,= ZCBM
:.BM ! I AC
ZA = 90°
ZABM = 90°= £4
v AB = AC, BF = AE
:.AF = CE= BM
:.AAEF = ABFM
:.FE = FM
,/ DM = DE
:.FDLED
说明：证明两直线垂直的方法如下:
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见此题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余局部等于另一较短线段。（截长法）
例5.：如图6所示在AABC中，ZB = 6（F, ZBAC> ZBCA的角平分线AD、CE相交于0。
求证：AC=AE+CD
图6
分析：在AC上截取AF = AE o易知=Zl = Z2 <,由 以 =6(尸，知Z5+Z6 = 60°, Z1 = 60° ,匕2 + 23=120。 。/. Zl = Z2 = Z3 = Z4 = 6()° , 得：
△FOC 三△OOC, /. FC = DC
证明：在AC上截取AF=AE
v ABAD = ACAD. AO=AO
:.AAE。三 AAFO(SAS)
Z4 = Z2
又 ZB = 6(T
Z5 + Z6 = 60°
/. Zl = 60°
22 + 23=120。
Zl = Z2 = Z3=Z4 = 60°
\FOC \DOC {AAS)
:.FC = DC
即 AC=AE+CD
（二）延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，那么两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
例6.：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，ZE4F = 45° o求证:

求证:
EF=BE+DF

分析:
证明:
延长CB至G,使BG=DF
此题假设仿照例1,将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使BG=DF。

在正方形 ABCD 中，ZABG = ZD = 90° , AB=AD
:.\ABG M \ADF (SAS)
AG= AF, Z1 = Z3 又 ZE4F = 45°
Z2 + Z3 = 45°
Z2 + Z1 =45°
即 ZGAE=ZFAE
GE = EF
:.EF = BE + DF4、中考题：
如图8所示，己知为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DEo
求证：EC = ED

证明：作DF//AC交BE于F
是正三角形
/. \BFD是正三角形
又AE=BD
AE = FD= BF
BA = AF= EF 即 EF=AC
AC//FD
:.ZEAC = ZEFD
:.AEAC = ADFE (SAS)
:.EC = ED题型展示：
证明几何不等式：
例题：：如图9所示，Zl = Z2, AB> AC.
求证：BD>DC

在zSADE和MDB中，
v AE = AB, Z2 = Z1, AD= AD
:.\ADE 三 \ADB
：・ BD= DE, ZE = ZB
ZDCE > ZB
ZDCE > ZE
DE > DC, :. BD > DC
证明二：如图10所示，在AB±截取AF=AC,连结DF
AC=AD=CE.求证:
de*d
2.：如图12所示,
在A4BC中，ZA = 2ZB, CD是匕C的平分线。
求证：BC=AC + AD

那么易证*DF兰MDC
:.Z3=Z4, DF= DC
v BFD > Z3, Z4 > Z.B
:.ZBFD > ZB
:.BD > DF
:.BD > DC
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
【实战模拟】1.己知：如图11所示,

1.己知：如图11所示,
M8C中，ZC = 90°, D 是 AB 上一点，DE_LCD 于 D,交 BC 于 E,且有
3.：如图13所示，过A/WC的顶点A,在NA内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。
求证：MP=MQB

B
P
图13
4. AABC中，ZBAC = 90°, AD1BC 于 D,求证：AD<^(AB+ AC+ BC)