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第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是( )
A．30 B．42
C．36 D．35
解析：选C.因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．
2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：选B.三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇．对于(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对于(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18.故选B.
3．(2016·兰州诊断考试)从6名男医生、5名女医生中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
解析：选C.从6名男医生中选出2名有C＝15种不同的选法，从5名女医生中选出1名有C＝5种不同的选法，根据分步乘法计数原理可得，组成的医疗小组共有15×5＝75种不同的选法，故选C.
4．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
解析：选B.长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，共36＋12＝48(个)．
5.
一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )
A．6种 B．8种
C．12种 D．48种
解析：选D.从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法；同理，若先游览B景点，有16种不同的方法；若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48(种)．
6．(经典考题)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
解析：选B.若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，
此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．
所以(a，b)的个数为4＋9＝13.
7．(2015·高考广东卷)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
解析：A＝40×39＝1 560.
答案：1 560
8．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．
第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．
答案：36
9．(2016·沈阳模拟)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．
解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x可取1，2，3，…，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2，3，…，10，有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．
所以所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.
答案：36
10．(2016·杭州质检)用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________．(注：用数字作答)
解析：根据题意，可以分为两步：第一步将1，3，5分为两组且同一组的两个数排序，共有6种方法；第二步，将第一步的两组看成两个元素，与2，4排列，其中2不在两边且第一步两组(记为a，b)之间必有元素，即4，a，2，b；a，2，4，b；a，4，2，b；a，2，b，4，其中a，b可以互换位置，所以共有8种，根据分步乘法计数原理知，满足题意的五位数共有6×8＝48(个)．
答案：48
11．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？
(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？
(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类各自有3、6、8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17(种)．
(2)分两步，先选老师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×14＝42(种)．
(3)老师、男、女同学各一人可分三步，每步方法依次为3，6，8种，由分步乘法计数原理知方法数为3×6×8＝144(种)．
12．由数字1，2，3，4，
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字？
解：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步乘法计数原理知共可组成43＝64个三位数．
(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步乘法计数原理知共可排成没有重复数字的三位数4×3×2＝24(个)．
(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．
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