基于扰动和摩擦补偿的柔性机械臂系统非奇异快速终端滑模控制.pdf

本文针对系统中存在的关节摩擦、动力学参数不确定性和外部负载干扰等因素引起的柔性机械臂系统控制性能下降的问题,提出了一种基于扰动和摩擦补偿的非奇异快速终端滑模控制方法(NFTSMC-DE-FC).首先,设计扰动估计器(DE)对系统未知动态参数和负载干扰进行估计.然后,针对扰动估计器不能精确估计的关节摩擦力矩进行辨识.最后,利用滑模控制技术设计非奇异快速终端滑模控制器,并将扰动估计值和摩擦力辨识值以前馈的方式进行补偿,实现对柔性机械臂系统给定参考轨迹跟踪的准确性以及对外界扰动的鲁棒性.值得注意的是,与传统只使用扰动估计器的方法相比,本文考虑到了摩擦力等非线性因素的影响,并利用辨识技术对摩擦力进行辨识,提高了控制精度.利用Lyapunov稳定性定理从理论上证明了所设计的控制器可以保证闭环系统的稳定性.实验结果表明,相较于非奇异快速终端滑模控制方法(NFTSMC)和基于扰动估计器的非奇异快速终端滑模控制方法(NFTSMC-DE),所提方法提高了柔性机械臂系统的轨迹跟踪性能.关键词:柔性机械臂;滑模控制;扰动估计器;摩擦辨识;扰动抑制引用格式:王军晓,闫小东,徐建明.基于扰动和摩擦补偿的柔性机械臂系统非奇异快速终端滑模控制.控制理论与应用,2023,40(7):1199 1207DOI:10.7641/CTA.2022.20351Nonsingular fast terminal-sliding-mode control for flexible manipulatorsystem based on disturbance and friction compensationWANG Jun-xiao,YAN Xiao-dong,XU Jian-ming(College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology,Hangzhou Zhejiang 310023,China)Abstract:To deal with the problem of degradation in control performance of the flexible manipulator system caused byjoint friction,dynamic parameter uncertainty and external load disturbance,this paper proposes a nonsingular fast terminal-sliding-mode control method based on the disturbance and friction compensation(NFTSMC-DE-FC).Firstly,a disturbanceestimator(DE)is designed to estimate the unknown dynamic parameters and load disturbance of the system.Then the jointfriction torques which can not be accurately estimated by disturbance estimator are identified.Finally,a nonsingular fastterminalslidingmodecontrollerisdesignedbyusingtheslidingmodecontroltechnology,andthedisturbanceestimatesandfriction identification values are compensated in a feedforward way to achieve the accuracy of tracking the given referencetrajectory of the flexible manipulator system and the robustness to external disturbances.It is worth noting that comparedwith the traditional method which only uses disturbance estimator,the influence of nonlinear factors such as friction forceis considered in this paper,and the friction is identified by using the identification technology,which improves the controlaccuracy.The Lyapunov stability theorem is used to prove that the designed controller can guarantee the stability of theclosed-loop system.Experimental results show that compared with NFTSMC and NFTSMC-DE,the proposed methodimproves the trajectory tracking performance of the flexible manipulator system.Key words:flexible manipulators;sliding mode control;disturbance estimator;friction identification;disturbancerejectionCitation:WANG Junxiao,YAN Xiaodong,XU Jianming.Nonsingular fast terminal-sliding-mode control for flexiblemanipulator system based on disturbance and friction compensation.Control Theory&Applications,2023,40(7):1199 1207收稿日期:20220506;录用日期:20221110.通信作者.E-mail:;Tel.:[phone].本文责任编委:李世华.国家自然科学基金项目(62273306)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(62273306).1200控 制 理 论 与 应 用第 40 卷1引引引言言言由于柔性机械臂具有更强的柔顺性,因此在人机交互领域得到了广泛应用1.与传统的刚性机械臂相比,柔性机械臂具有更平滑的力传输和较大的耐冲击性能2,然而,由于柔性关节机械臂的动力学模型是由电机侧动力学模型和连杆侧动力学模型组成,而在实际系统中存在电机侧的质量矩阵、阻尼矩阵等动力学参数难以得到,连杆侧的惯性矩阵、重力矩阵等动力学参数不准确的问题,难以建立精确的柔性机械臂动力学模型;此外,机械臂还会受到关节摩擦以及外界负载变化等因素的影响,这些都会影响机械臂的控制精度.其中摩擦力矩是一种复杂的,非线性的,特别是关节处在低速和速度反向阶段,在此阶段关节摩擦力对位置跟踪性能有很大的影响3.为此,国内外学者针对柔性机械臂的高精度轨迹跟踪问题做了许多探索和研究,提出了许多有效的控制方法,如自抗扰控制4、基于扰动观测器的控制5、滑模控制(sliding mode control,SMC)67、自适应控制89、智能控制1011等.这些控制策略在一定程度上改善了柔性机械臂的控制性能.其中,对扰动具有较强鲁棒性的滑模控制SMC受到了更多的关注12,SMC虽然能够对系统存在的扰动进行有效的抑制,但SMC由于不连续的切换项的存在会导致抖振问题,严重时可能会对执行器造成破坏13.基于扰动观测器的控制方法(disturbance observer based control,DOB-C)能够有效地补偿外部干扰和动力学模型参数不确定性对控制系统的影响1415,而基于扰动观测器的滑模控制方案不仅能够有效的削弱SMC中的抖振现象,而且使系统的抗干扰性能得到了提升16.目前扩张状态观测器(extended state observer,ESO)17、广义比例积分观测器(generalized proportional integral observer,GPIO)18、滑模观测器19等多种扰动观测器被应用于柔性机械臂的控制策略中,文献2022将系统中的动力学参数不确定性和摩擦非线性因素等未知状态作为总扰动,将总的扰动扩展成一个新的状态变量并利用ESO进行估计,然而扰动观测器却不能精确的估计摩擦23.本文针对系统中动力学参数不确定性、外部负载扰动以及关节摩擦等因素引起的柔性机械臂系统控制性能下降的问题,提出了一种基于扰动和摩擦补偿的柔性机械臂系统非奇异快速终端滑模控制方法.该方法首先将系统中动力学参数不确定性和外部负载干扰作为系统总扰动,然后采用扰动估计器(disturb-ance estimator,DE)对总扰动进行估计,针对扰动估计器不能精确估计的关节摩擦力矩基于辨识技术进行摩擦补偿(friction compensation,FC),最后利用滑模控制技术设计非奇异快速终端滑模控制器.实验结果表明,相较于非奇异快速终端滑模控制(nonsingularfast terminal sliding mode control,NFTSMC)24和基于扰动估计器的非奇异快速终端滑模控制(NFTSMC-DE)方法,所提出的基于扰动和摩擦补偿的非奇异快速终端滑模控制(NFTSMC-DE-FC)方法提高了柔性机械臂系统的轨迹跟踪性能.2柔柔柔性性性机机机械械械臂臂臂系系系统统统的的的数数数学学学模模模型型型本文所采用的柔性机械臂系统结构如图1所示,该系统主要由电机、减速器、串联弹性制动器(serieselastic actuator,SEA)、负载连杆组成.电机与负载是通过SEA进行连接,使关节具有柔顺性.根据文献25,将关节柔性等效为线性扭矩弹簧,并且考虑到外界负载干扰以及电机端和连杆端的摩擦等因素,建立柔性机械臂系统的数学模型为M(q)q+C(q,q)q+G(q)+f2+(t)=,(1)J+D+f1+=Tm,(2)Kp(q)=,(3)其中:为电机侧转角,q为为连杆侧转角,为电机侧角速度,q为连杆侧转角速度,为电机侧角加速度,q为连杆侧转角加速度,M(q)为机械臂惯性矩阵,C(q,q)为离心力和哥式力项,G(q)为机械臂重力矩阵,Kp为柔性关节的弹性系数,Tm为控制器输出力矩,为柔性关节传递扭矩,J为电机转子转动惯量,D为电机阻尼系数,(t)为机械臂受到的未知外界扰动,f1,f2分别为电机端和负载端摩擦力矩.图 1 柔性机械臂系统结构Fig.1 Structure of the flexible robots system根据文献26,单关节柔性机械臂数学模型为I q+Mglsinq+f2+(t)=,(4)Jm+Dm+f1+=Tm,(5)Kp(q)=,(6)其中:M为连杆质量,g为重力加速度,l为连杆长度.由式(4)(6)可知,柔性机械臂实际上是由电机驱动电机转轴旋转,通过使SEA发生弹性形变产生扭矩,进而把电机轴扭矩传递给末端负载,结合式(4)(5)可得I q+Mglsinq+f1+f2=Tm(t)F(,),(7)其中F(,)=Jm+Dm为电机动力学参数,进一步考虑关节柔性的影响,由式(6)(7)得到柔性机械臂完整动力学模型为I q+Mglsinq+f=第 7 期王军晓等:基于扰动和摩擦补偿的柔性机械臂系统非奇异快速终端滑模控制1201Tm(t)JmK1p DmK1p Jm q Dm q.(8)其中f=f1+f2为电机端和连杆端摩擦力矩总和,并且式中的机械臂动力学参数可以写成I=I0+I,M=M0+M,l=l0+l,其中:I,M,l为系统动力学参数不确定量,并假定柔性机械臂系统动力学模型中电机侧的动力学参数Jm和Dm完全未知.令x1=q,x2=q,则柔性机械臂系统的状态空间方程表示为 x1=x2,x2=I10Tm I10(M0gl0sinx1+f)+F,y=x1.(9)其中F=I10(t)I x1 Mglsinx1JmK1p DmK1p Jm x1Dm x1)为总扰动,总扰动主要由3部分组成:I10(t)为机械臂系统工作过程中由于负载变化等外界环境的干扰对系统动力学造成的影响;I10(I x1 Mglsinx1)为机械臂系统自身动力学参数变化引起的不确定性;I10(JmK1p DmK1p Jm x1 Dm x1)为机械臂系统引入SEA后造成的动力学模型不确定项;y为测量输出.假假假设设设 1假设系统中存在的总和扰动的一阶导数F是有界的,且满足|F|6lg.3控控控制制制器器器设设设计计计系统中动力学参数不确定性、外界负载干扰以及关节摩擦会引起柔性机械臂系统在运行过程中偏离参考位置甚至还会导致系统不稳定,因此本节提出了一种基于扰动估计和摩擦补偿的非奇异快速终端滑模控制方法(图2).该方法首先对系统中存在的动力学模型参数不确定性和外部负载干扰设计扰动估计器进行估计,然后针对估计器不能精确估计的摩擦项通过实验数据进行辨识.最后设计非奇异快速终端滑模控制器,并将总扰动估计值和摩擦辨识值以前馈的方式进行补偿.d2?dd?2NFTSMC?d?dd?1?DE?图 2 基于扰动和摩擦补偿的非奇异快速终端滑模控制框图Fig.2 Block diagram of nonsingular fast terminal-sliding-mode-control based on disturbance and friction com-pensation3.1关关关节节节摩摩摩擦擦擦力力力矩矩矩辨辨辨识识识LuGre摩擦模型27是一种广泛应用于机械和伺服系统的非线性动态摩擦模型,本节将基于实验平台采集摩擦力数据,并利用辨识技术得到模型参数.LuGre摩擦模型假设相对运动的两个刚性体在微观上通过弹性鬃毛相接触.模型的建立是基于鬃毛的平均形变量,能够准确的描述机械手系统中摩擦的动、静态特性,鬃毛的平均变形用z表示为dzdt=v 0|v|g(v)z,(10)其中:v为接触面相对速度,g(v)为速度相关的函数,表示不同的摩擦效应.LuGre摩擦力矩数学模型如下:dzdt=v 0|v|g(v)z,(11)g(v)=Fc+(Fs Fc)e|v/vs|,(12)F=0z+1 z+2v,(13)其中:0,1和为动态摩擦参数;0为鬃毛的刚性系数;1为鬃毛微观阻尼系数;2为黏性阻尼系数;Fc为库伦摩擦力;Fs为静摩擦力;vs为Stribeck速度;指数为一个经验值,在本文中取值为228.本节中LuGre摩擦模型参数是通过离线辨识获得,其中有4个静态参数和2个动态参数需要辨识,分别为vs,Fc,Fs,2和0,1.首先对静态参数进行辨识,当关节匀速运动时,摩擦力矩可描述为Fv=g(v)sgnv+2v.(14)经过多次实验得到摩擦力数据,并通过最小二乘法得到摩擦模型的静态参数.根据文献29中的两步法对动态参数进行辨识,应用速度闭环控制,使系统进行低频低幅值正弦运动,并选取此过程中的速度和驱动力信息作为动态参数辨识的输入数据.经过多次实验得到LuGre摩擦模型参数如表1所示.表 1 摩擦力矩模型参数Table 1 Parameters of the friction torque model参数符号辨识值库伦摩擦力F+c/Nm0.6490Fc/Nm0.1498静摩擦力F+s/Nm0.6838Fs/Nm0.1794黏性阻尼系数+2/(Nms rad)10.17122/(Nms rad)10.1391Stribeck速度v+s/(rad s)10.02567vs/(rad s)10.01691鬃毛刚性系数0/(Nm rad)145.014鬃毛微观阻尼系数1/(Nms rad)11.281注注注 1由表1可知:在速度正负两个方向上辨识出的摩擦力过零点位置是不一致的,也就是说两个方向上的摩擦力1202控 制 理 论 与 应 用第 40 卷也是不尽相同的.在做摩擦补偿的时候需要考虑运动方向带来的问题,而式(12)在速度为零时会有两个不同的取值,取g(0)=(F+s+Fs)/2.假假假设设设 2假设系统中存在的摩擦力的辨识误差f=f f是有界的,并满足|f|6lg.3.2扰扰扰动动动估估估计计计定定定义义义 130考虑系统 x=f(x,t)的平衡状态xe=0,如果对任何 0,存在一个 0(与和初始时间t0有关),使得从球域S()内任一初始状态出发的状态轨迹始终在球域S()内,则平衡状态xe=0称为在李雅普诺夫意义下是稳定的.引引引理理理 131当且仅当对于任意给定的正定对称矩阵Q,存在一个正定对称矩阵P满足ATP+PA=Q,那么A是Hurwitz矩阵,即A的所有特征值都满足Rei1.定义估计器误差e1=z1x1,e2=z2x2,e3=F F,得到估计器误差系统如下:e1=e2 1e1,e2=e3 22e1,e3=33e1F.(18)定义误差变量=e1e2e32,则系统估计误差用状态空间模型可以表述为 =A BF2,(19)其中:A=11 020 130 0,B=001.对设计的扰动估计器进行稳定性分析如下.定定定理理理 1假设估计器误差系统(19)满足假设1,若矩阵A是Hurwitz矩阵,则估计器误差系统稳定,并且估计误差收敛到界2lg内.证证证选取李雅普诺夫函数V=TP,求导得V=TP+TP =(A BF2)TP+TP(A BF2)=T(ATP+PA)2F2TPB.(20)根据引理1,若A为Hurwitz矩阵,则存在唯一的正定对称矩阵P,使得ATP+PA=I成立,并将Cauchy-Schwarz不等式33应用到式(20)得V=T(ATP+PA)2F2TPB=22F2TPB62+2lg2,(21)其中:为扰动估计误差的范数,lg为扰动导数F的上界,=PB.当 2lg3时,V 0.根据定义1,所设计的扰动估计器是稳定的.因此从理论上可以得出结论,估计器误差变量收敛到界2lg3内,而=e21+e22/2+e23/4,得到系统估计误差|ei|6lgi=2lg4i,i=1,2,3.即扰动F的估计误差|e3|62lg.由上述结论可知,在保证矩阵A是Hurwitz矩阵前提下可以通过增大参数使估计误差趋向于无穷小,但由扰动估计器式(16)可知,过大的参数会引起扰动估计值有比较大的波动,导致控制器的控制性能下降等问题,因此扰动估计器参数的选择应保证扰动估计满足控制要求的前提下选择尽量小的值.而针对摩擦力f,机械臂关节在转向时f会有正负切换,而此时的摩擦力一阶导数f=.如果把摩擦力当作扰动F的一部分,则在这一阶段F=,由式(19)可知,扰动估计误差并不能收敛到零或者收敛到较小的界内.另外,若要保证扰动估计误差收敛到第 7 期王军晓等:基于扰动和摩擦补偿的柔性机械臂系统非奇异快速终端滑模控制1203零,需要选择比较大的估计器参数,然而过大的在实际中会导致扰动估计值有比较大的波动等问题.因此,利用扰动估计器对摩擦力进行估计时并不能得到满意的估计精度.证毕.3.3非非非奇奇奇异异异快快快速速速终终终端端端滑滑滑模模模控控控制制制本节考虑系统中存在动力学参数不确定性,外界负载扰动以及关节摩擦的情况下,讨论结合扰动估计和摩擦补偿的非奇异快速终端滑模控制器的设计.由于控制目标是使机械臂关节跟踪期望轨迹.定义误差函数如下:=xd x1,(22)其中:x1为机械臂关节实际状态,xd和为关节状态参考值,设计非奇异快速终端滑模面为s=+1g/h+1 p/q.(23)其中:R+,R+,p,q,g,h N为奇数,且满足1 p/q 2,p/q I10lg+lg3,(25)其中:lg为摩擦力矩辨识误差上界,lg3为总扰动估计误差上界.结合式(23)(25),得到滑模控制律如下:Tm=I0 xd+qp 2p/q(1+ghg/h1)F+ksgns+M0gl0sinx1+f.(26)3.4闭闭闭环环环系系系统统统稳稳稳定定定性性性分分分析析析定定定义义义 231对于系统 x(t)=f(x(t),t),如果存在与t0无关的正常数a2,t00,且对于任意大的a1,存在T=T(a1,a2)0与t0无关,满足x(t0)6a1 x(t)6a2,tt0+T,则系统的解x(t)是全局一致最终有界的.定定定理理理 2假设系统(9)满足假设1和假设2,在控制律(26)作用下,如果控制器切换增益k满足条件k I10lg+lg3,则系统的位置跟踪误差能够收敛零.证证证由于控制器中增加了估计器部分,所以需要考虑估计器变量,定义V=TP,其中P为对称正定矩阵.选取李雅普诺夫函数V=12s2+V,(27)对其求导V=s s+TP+TP =s +ghg/h1 +pq p/q1(xd x1)+TP+TP =s()(ksgns F+I10f)+(A BF2)TP+TP(A BF2)=s()(ksgns F+I10f)+T(ATP+PA)2F2TPB,(28)其中:f=f f为摩擦力辨识误差,F=FF为系统未知扰动估计误差,()=pq p/q1,并且满足()0.根据引理1,若A为Hurwitz矩阵,则存在唯一的正定 对 称 矩 阵P,使 得ATP+PA=I成 立,并 将Young不等式34应用到式(28)得V=s()(ksgns+I10f F)+T(ATP+PA)2F2TPB=s()(ksgns+I10f e3)2 2F2TPB6|s|()(k+(I10lg+lg3)2+2+l2g42=|s|()(k+(I10lg+lg3)+(1 )2+l2g42=|s|+(1 )2+l2g42,(29)其中:=()(k (I10lg+lg3),2表示误差向量的范数的平方.因此上式理论结果会出现以下两种情况:1)当|s|l2g24时,l2g42|s|0,V 0,若 满足条件2l2g2 4|s|4(1),则V I10lg+lg3,此时有V160.下面对()=0的情况进行分析.1)当()=0(=0)时,=ksgns+I10f F,此时 s 0时,k I10lg+lg3,此 时V1 I10f+F,而当外界有负载干扰时,需要通过较大的切换增益k对外界干扰进行抑制;利用NFTSMC-DE方案进行实验时,需保证切换增益满足k I10f+lg3条件;而利用NFTSMC-DE-FC方案进行实验时,只需保证切换增益k I10lg+lg3,相对于前两种方案,NFTSMC-DE-FC控制器中设计的切换增益k明显减小.控制方案中的扰动估计器参数1,2,3设计为3,3,1,控制器中其他参数的选取参见表3.表 3 控制器参数表(实验)Table 3 Parameters of the controller(Experiment)控制器控制器参数ghpqkNFTSMC119511976.6NFTSMC-DE119511970.845NFTSMC-DE-FC119511970.845通过下述实验对动态轨迹跟踪性能和扰动抑制性能进行验证:情情情况况况I对动态轨迹的跟踪性能,设计正弦轨迹跟踪实验,参考位置为xd=0.8sintrad.正弦跟踪实验结果如图45所示,其中3种控制方案的主要参数为切换增益k,实验中k的值分别为第 7 期王军晓等:基于扰动和摩擦补偿的柔性机械臂系统非奇异快速终端滑模控制12056.6,0.8,0.8.由图4可知,为了能够抑制动力学模型中的参数不确定量和关节摩擦等因素的影响,使关节状态跟踪上期望位置,其中NFTSMC 方案的非连续切换项会选择较大的增益k.而NFTSMC-DE方案可以通过对扰动进行估计补偿减少控制器的切换增益,减弱系统的抖振现象.然而由上文分析可知,扰动估计器并不能精确估计非线性摩擦项,依然会出现“平顶”现象,如图5所示.为了比较本文所提出控制策略的优势,选择同样的切换增益k进行实验对比,实验结果表明本文所提控制方案在位置跟踪精度上有明显的提高.另外,图4和图5的实验结果和理论分析的结果一致.?NFTSMCNFTSMC-DE3.1 Nm?1/rad1.00.50.0?0.5?1.00.80.77.68.005101520?/sNFTSMCNFTSMC-DE05101520?/s0.40.20.0/radNFTSMCNFTSMC-DE151050?m/Nm05101520?/s图 4 2种控制方法作用下的正弦跟踪响应曲线(情况I实验)Fig.4 Responsecurvesofsinewavetrackingundertwocon-trollers(Case I Experiment)情情情况况况II对外界扰动抑制能力,通过在连杆末端悬挂质量为0.3kg的负载模拟受到外界扰动的影响.在外界有负载干扰情况下实验结果如图6和图7所示,其中3种控制方案的主要参数为切换增益k,实验中k的值分别为10.3,0.8,0.8.为了抑制末端负载和未知扰动的影响,NFTSMC方案中切换增益k设计为10.3.由图6可知,NFTSMC控制量波动值达到了4.7,导致系统具有比较大的抖振.如图7所示,利用DE对系统干扰进行估计、利用辨识技术对摩擦项进行辨识并在控制器中进行补偿之后的切换增益明显减小,控制精度得到提高.为了比较本文提出的控制策略的优势,在具有扰动的情况下选择同样的切换增益k进行实验对比,由图6和图7可知,实验结果和理论分析的结果一致,提出的控制方案具有更好的控制性能.实验结果的性能指标见表4.NFTSMC-DENFTSMC-DE-FC8.08.8?0.04?0.020.000.020.04?NFTSMC-DENFTSMC-DE-FC7.58.00.70.80.9?1/rad1.00.50.0?0.5?1.005101520?/s0.40.20.0/rad151050?m/Nm05101520?/s05101520?/sNFTSMC-DENFTSMC-DE-FC图 5 2种控制方法作用下的正弦跟踪响应曲线(情况I实验)Fig.5 Responsecurvesofsinewavetrackingundertwocon-trollers(Case I Experiment)7.58.00.650.700.750.800.854.7 Nm?NFTSMCNFTSMC-DE?1/rad1.00.50.0?0.5?1.005101520?/s0.40.20.0/rad?m/NmNFTSMCNFTSMC-DE05101520?/s05101520?/sNFTSMCNFTSMC-DE图 6 2种控制方法作用下的正弦跟踪响应曲线(情况II实验)Fig.6 Responsecurvesofsinewavetrackingundertwocon-trollers(Case II Experiment)5结结结论论论本文研究了柔性机械臂系统的位置跟踪问题.考虑系统存在的动力学模型参数不确定性,外界负载扰动和关节摩擦的情况,提出了一种基于扰动和摩擦补偿的非奇异快速终端滑模控制方法.通过扰动估计器1206控 制 理 论 与 应 用第 40 卷对系统动力学模型参数不确定性和外界负载扰动进行估计,并利用辨识技术对扰动估计器不能准确估计的摩擦项进行辨识,并结合非奇异快速终端滑模控制律得到最终的复合控制律,在基于串联弹性驱动器的Baxter机器人仿真和实验平台上验证本文提出的控制方法,实验结果表明,所提出的控制器具有令人满意的性能,并证明了所提的控制方法更有优势.0.700.750.800.858.0 9.0?0.050.000.05NFTSMC-DENFTSMC-DE-FC?NFTSMC-DENFTSMC-DE-FC?1/rad1.00.50.0?0.5?1.005101520?/s0.40.20.0/rad151050?m/Nm7.58.005101520?/sNFTSMC-DENFTSMC-DE-FC05101520?/s图 7 2种控制方法作用下的正弦跟踪响应曲线(情况II实验)Fig.7 Responsecurvesofsinewavetrackingundertwocon-trollers(Case II Experiment)表 4 位置跟踪的性能指标比较(实验)Table 4 Comparison of performance indexes for posi-tion tracking(Experiment)控制器ITAERMSE情况1NFTSMC438.20447.1111NFTSMC-DE191.65095.6180NFTSMC-DE-FC88.04655.3340情况2NFTSMC450.61355.9202NFTSMC-DE276.51285.4828NFTSMC-DE-FC133.37925.2439参参参考考考文文文献献献:1 LI X,PAN Y P,CHEN G,et al.Multi-modal control scheme for reha-bilitation robotic exoskeletons.The International Journal of RoboticsResearch,2017,36(5/7):759 777.2 SUN L,YIN W,WANG M,et al.Position control for flexible jointrobot based on online gravity compensation with vibration sup-pression.IEEE Transactions on Industrial Electronics,2017,65(6):4840 4848.3 KERMANI M R,PATEL R V,MOALLEM M.Friction identificationand compensation in robotic manipulators.IEEE Transactions on In-strumentation and Measurement,2007,56(6):2346 2353.4 LIU Fucai,LIANG Lihuan,GAO Juanjuan,et al.Trajectory track-ing control with active disturbance rejection for space manipulator indifferent gravity environments.Control Theory&Applications,2014,31(3):352 360.(刘福才,梁利环,高娟娟,等.不同重力环境的空间机械臂自抗扰轨迹跟踪控制.控制理论与应用,2014,31(3):352 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