第二节形函数.doc

第二节 形函数的性质
在讨论常应变三角形单元时，提出形函数
(i,j,m轮换)
式中

其第一行、第一列元素的代数余子式为

其第一行、第二列元素的代数余子式为

其第一行、第三列元素的代数余子式为

同理可以证明第二行、第三行元素的代数余子式分别为  和 。
同理
------------第一列三个元素的代数余子式
------------第二列三个元素的代数余子式
------------第三列三个元素的代数余子式
注： 行列式的性质
1. 行列式的任一行（或任一列）的元素与其对应元素的代数余子式乘积之和=行列式的值
2. 行列式的任一行（或任一列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和=零

一、 形函数的性质
1.

所以有

——即形函数在节点i处的值为1
同理

——即形函数在节点j处的值为1

—即形函数在节点m处的值为1
又根据行列式性质2

同理

综上，有

由此可见，形函数在节点i处的值等于1，而在其他节点处的值皆等于零 (i , j , m轮换)。
2. 在单元任一点上三个形函数之和等于1。即
（3-16）
证明如下：
而
行列式的第一列的元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和=零
同理有

行列式的第一列的元素与第一列对应元素的代数余子式乘积之和=行列式的值
所以

由此可见，三个形函数中只有两个是独立的。

3. 三角形单元ijm的任意一条边上，例如在ij边上，有
（3-17）
即在ij边上的形函数只与该边两个端点及两点连线上的坐标有关，而与第三个节点的坐标无关。

证明： 因为ij边的直线方程为

所以
代入式（3-4） 和中，得

而
故有

由形函数的性质2，得

例题4： 证明当3节点三角形单元位移模式是坐标的线性函数时，相邻单元的位移在公共边上是连续的。

证：在单元①的ij边上，有 ，所以

在单元②的ij边上，有 ，所以

可见，在公共边上的位移u，v完全由公共边的两个节点i、j的位移所确定，所以相邻单元的位移在公共边上是连续的。

二、面积坐标
对于高阶三角形单元，若采用直角坐标的形函数，在计算单元刚度矩阵进行积分时会遇到很大困难。如果采用面积坐标的形函数，则可使积分计算大大简化。
1. 面积坐标的定义
如图所示的三角形单元ijm中，任意一点P（x，y）的位置可以表示为：

， ， （3-18）
式中△为三角形单元面积，△i，△j，△m分别是三角
形Pjm，Pmi，Pij的面积。
称为P点的面积坐标，
x0y——整体坐标系

2. 面积坐标的性质
在直角坐标系中任意点的位置取决于x、y两个独立变量。当然，改用面积坐标后，三个面积坐标中也只能有二个是独立变量。这是因为

所以有
（3-19）
例如选择为独立变量，则

由于面积都是正值，故

3. 三角形单元内各特殊点的面积坐标
（1）三个节点的面积坐标
节点i
节点j
节点m
（2）在单元三条边上的面积坐标
边
边
边

（3）三角形单元形心的面积坐标

（4）在三角形单元内平行于jm边的直线KL上各点的相同。

——直线KL与jm边的距离
——节点i到jm边的距离
对于直线KL上任意点，和 是不变的，故不变
同理，可以证明：平行于mi边的直线上各点的相同。
平行于ij边的直线上各点的相同。

4. 面积坐标与直角坐标的关系
三角形单元ijm的面积

三角形Pjm的面积

所以
（3-20）
同理，轮换i，j，m，可得
（3-21）
（3-22）
常应变三角形单元的形函数
（i，j，m轮换）（3-4）
可见，就是面积坐标 （i,j,m轮换）。
将（3-20）、（3-21）和（3-22）写成矩阵形式

将（3-20）、（3-21）和（3-22）分别乘以 ， ，，然后相加，得
即

同理 （3-23）
将式（3-19）和上式写成矩阵形式

4. 面积坐标的求导和积分
（1）面积坐标的求导
当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下式：
（3-24）
（2）面积坐标的积分
在载荷处理中，常常会出现形函数或形函数之积对体积积分和面积积分问题。通常利用面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分来求解。下面给出面积坐标的幂函数在三角形单元上积分公式：
(3-25)
式中α、β、γ为整常数。
若求面积坐标的幂函数在三角形某一边上的积分时，例如对边进行积分时，则可用下式
（i，j，m轮换） (3-26)
式中为边的边长。

例如

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