【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学-3.8应用举例课时体能训练-文-新人教A版.doc

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 3.8应用举例课时体能训练 文 新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )
（A） （B） （C） （D）
2.△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于( )
(A) (B)
(C)或 (D)或
3.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是( )
（A）米 （B）米
（C）米 （D）200米
4.（易错题）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
（A）锐角三角形 （B）直角三角形
（C）钝角三角形 （D）由增加的长度决定
5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
（A）15米 （B）5米 （C）10米 （D）12米
6.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
（A）5海里 （B）5海里
（C）10海里 （D）10海里
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为______米.
8.(2011·合肥模拟)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件______时，该船没有触礁危险.
9.（2012·温州模拟）地上画了一个角∠BDA=60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为______米.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2012·杭州模拟)以40 km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1 000米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度.
11.（预测题）据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270 km及以内的地区将受到台风的影响.
问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.
【探究创新】
（16分）如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96 km的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120 km的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A，乙车从车站B同时开出.
（1）计算A，C两站距离及B，C两站距离；
（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换；
（3）求10点时甲、乙两车的距离．
（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4，≈18.2）

答案解析
1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
cosα.
【解析】选B.因为tanα=，则sinα=cosα，代入sin2α+cos2α=1
得：cosα=.
2.【解析】选D.∵
∴
∴C=60°或C=120°.
当C=60°时，A=90°，S△ABC=
当C=120°时，A=30°，S△ABC=sin30°=.
即△ABC的面积为或.
3.【解析】选A.设塔高为x米，则由题意得200tan30°=(200-x)tan60°，解得x=.
4.【解析】选A.设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最长边，其对应角最大.而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.
5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.
【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，

则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：
OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，
即
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).
6.【解析】选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).
7.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，
设塔高为h,
因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,
AD=BE=60,
则AE＝
在Rt△AEC中，
CE＝AE·tan30°=
所以塔高为60+40+60=(120+40)米.
答案：120+40
【变式备选】如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ=______.
【解析】在△ABC中，

在△BCD中，sin∠BDC=
结合题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1.
答案：-1
8.【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得解得BM＝，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝>n，所以α与β的关系满足mcosαcosβ>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险.
答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)
9.【解析】如图，设BD=x m，
则142=102+x2-2×10×xcos60°,
∴x2-10x-96=0,
∴(x-16)(x+6)=0,
∴x=16或x=-6（舍去）
∴B与D之间的距离为16米.
答案：16
【方法技巧】三角形中的几何计算问题
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.
10.【解析】如图，船从A航行到C处，气球飘到D处，由题知，BD=1 000米，AC=2千米，∵∠BCD=30°，∴BC=千米，设AB=x千米，
∵∠BAC=90°-30°=60°,
∴由余弦定理得22+x2-2×2xcos60°=()2,
∴x2-2x+1=0，∴x=1,
∴气球水平飘移速度为=20（km/h）.
11.【解题指南】设B为台风中心，则B为AB边上的动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270，这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.
【解析】如图，设台风中心经过t小时到达B点，由题意：

∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°，
若S岛受到台风影响，则应满足条件：
|SB|≤270，即SB2≤2702，
化简整理得t2－10t＋19≤0，
解之得5－≤t≤5＋，
所以从现在起，经过（5－）小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束，持续时间：
(5＋)－(5－)＝2 (小时).
所以S岛会受到台风影响，从现在起经过(5－)小时S岛开始受到台风影响，且持续时间为2小时.
【探究创新】
【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝60°.
∵
∴≈96(km),
BC= ≈132(km).
（2）能.理由如下：甲车从车站A开到车站C约用时间为=1（小时）＝60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出．乙车从车站B开到车站C约用时间为=1.1（小时）＝66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上.
（3）10点时甲车离开C站的距离为×96=80(km)，乙车离开C站的距离为×120=88(km)，两车的距离等于 (km).
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