基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）作者简介：肖甜丽（），女，河南上蔡人，博士研究生，研究方向：质量管理与质量工程；马义中（），通讯作者，男，河南泌阳人，教授，博士，研究方向：质量管理与质量工程；林成龙（），男，山东临沂人，博士研究生，研究方向：质量管理与质量工程。基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析肖甜丽，马义中，林成龙（南京理工大学 经济管理学院，江苏 南京 ）摘要：工程实践中存在着各种不确定性因素，影响着工程结构的安全运行。结构可靠性分析以失效概率的形式考虑了不确定性的影响，可为结构的安全设计提供指导。然而，失效概率的评估往往涉及昂贵功能函数的调用，导致难以负担的计算成本。为解决该问题，基于 模型的可靠性分析法在近年来受到了广泛的关注。该方法以训练良好的 模型近似真实功能函数，从而在失效概率的计算中达到减少功能函数评价次数的目的。本文在主动学习 模型的框架下，提出了基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析法，以提高失效概率的估计精度和计算效率。在该方法中，模型的训练样本以两阶段局部抽样的方式从候选样本池中被逐渐添加。第一阶段以输入变量的均值点为抽样中心，利用概率密度函数确定抽样区域。当所估计失效概率满足基于置信区间的阶段划分阈值时，则开始第二阶段的局部抽样。第二阶段则以最可能失效点为抽样中心，以目标可靠度和功能函数的非线性度确定抽样区域。应用案例表明：所提方法能平衡有效抽样区域的全局探索和局部搜索，实现高精度失效概率估计的同时提高计算效率。关键词：结构可靠性；模型；两阶段局部抽样；期望可行性函数中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，）：，；，：；引言不确定性广泛存在于实际工程系统中，如材料特性、几何尺寸、荷载、环境等。忽略这些不确定性的影响，将导致工程结构无法满足其功能性和完整性。可靠性分析方法通过将上述不确定性看作功能函数的随机输入，以功能函数值未能满足预定目标的概率（即失效概率）作为工程结构安全水平的估计。实际应用中，功能函数通常是非线性甚至隐式的。这将导致失效域的识别和失效概率的直接积分计算难以进行。因此，如何有效权衡失效概率估计的精度和效率是可靠性分析的主要任务和挑战。失效概率估计常用方法包括近似解析法和蒙特卡洛仿真（，）法 。近似 解 析法 中，一阶可 靠 性 法 和 二 阶 可 靠 性法 分别以最可能点（，）处的一阶和二阶泰勒展开式近似功能函数。该方法较适合线性或中等非线性问题，但当功能函数呈现高度非线性时，难以提供失效概率的精确估计。不同于近似解析法，利用大量的随机样本保证估计精度，对问题类型和维度均具有较高稳健性 。然而，由于昂贵功能函数的大量调用，常导致较高的计算成本。为兼顾失效概率估计的精度和效率，基于代理模型的可靠性分析方法受到了越来越多的关注。在常用代理模型中，模型由于能够同时提供未观测点处的精确插值和局部不确定，在可靠性分析中获得广泛应用 。该模型常与序贯抽样策略相结合，从而可在尽可能小的样本量下获得真实功 能 函 数 的 精 确 近 似。等 基 于 模型提出高效全局可靠性分析法，但对于候选样本大小缺乏系统分析；等 通过逐步 增 加 蒙 特卡 洛 仿 真 候选 样 本，提 出 自 适应 蒙特卡洛仿真（，）法，有效提升了对候选样本量的系统分析能力。以上方法均采用基于整个设计空间的全局抽样策略。事实上，并非所有候选样本都能有效提升模型精度。等 认为具有小概率密度的候选样本对失效概率精确估计的影 响 可 忽 略，提 出基 于 局 部抽 样的 改 进 序贯 可 靠 性 分 析（，）法；等 以极限状态边 界 附 近 区域 作 为 局 部抽 样 区 域，提 出 基于 的 可 靠 性 分 析（，）法。以上基于局部抽样策略的可靠性分析方法中，法以输入变量均值点为抽样中心，根据所构造的失效概率与样本概率密运 筹 与 管 理 年第 卷度关系，自适应地调整局部抽样区域大小，但当均值点远离极限状态边界且抽样区域较小时，可能导致极限状态附近区域外的样本点更新；法可将更多的极限状态面包含在抽样区域内，但当所更新样本不足以确保对极限状态面良好近似时，基于 模型确定的 可能与实际偏离较大，导致不精确的失效概率估计。为避免不必要的样本点更新，同时保证失效概率估计精度，本文将失效概率置信区间考虑在内，提出 两 阶 段 局 部 抽 样 的 可 靠 性 分 析（，）法，以更好地权衡失效概率估计的效率和精度。模型介绍 模型又称为高斯过程回归模型，其假设预测函数值为一个回归模型和一个随机过程的线性组合。一般表示形式为：（）（）（）（）式中，（），用于近似全局趋势，（）（），（），（）表示基函数向量，为回归系数向量；（）为中心化的平稳高斯过程，（）和 （）之间的协方差为：（），（）（，）（）其中，为样 本量，表示 过 程 方 差，（，）（，）为样本点 和 之间的空间相关函数，通常假设服从高斯分布：（，）（）（）其中，为待估计的相关参数，为样本点 的第 个元素。利用对 的最大似然估计，可得到回归系数和过程方差估计：（）（）（）其中，为已知训练点处基函数 （）的矩阵。假设给定预测点为，该点与已知训练点，之间相关向量表示为 （，），（，），（，）。则在预测点 的最优线性无偏预测和 方差估计值为：（）（）（）（）（）（）其中 （）。模 型 预 测（）（），（）。基于 模型的 法代理模型的预测精度很大程度上依赖于试验点的设计。所提 法综合 法和 法的不足和优势，采用两阶段抽样策略自适应调整局部抽样区域，并在所确定区域序贯地选择新点，获得试验设计样本集。两阶段局部抽样策略 基于置信区间的抽样阶段划分标准在可靠性分析中，模型的近似效果以所估计失效概率 的相对误差来判断。将由 法获得的失效概率 作为参考值，根据中心极限定理，应满足：（）（）其中，为所估计失效概率变异系数，常用来量化失效概率的不确定性，其表示形式为：（）（槡）（）其中，表示采用 产生的候选样本点数量。当 落入式（）中的置信区间时，则判定所构建的 模型对极限状态面具有良好近似。将上述置信区间转换为等价的中间第次迭代的相对误差 应满足：（）其中，一般认为 值小于 是可接受的。因此，值的设置应不大于 。第一阶段局部抽样第一阶段有效抽样集以概率密度大于阈值 随机样本点构成。由于小概率密度候选样本对失效概率估计的可忽略性，等 通过有效抽样区域的序贯抽样，有效减小了对真实模型的调用次数。在该方法中，阈值 通过下式确定：（）（）其中，（）为候选样本 的联合概率密度函数；，为常数系数，其大小影响着 的精度，等 认为当 ，时，能够获得可接受的概率估计，表示上一次迭代中基于所构建 模型而计算的失效概率。为便于阈值 的计算，以候选样本集 作为随机点集，计算对应的概率密度集（）（），（），（），则 可表示为：（）（）第 期肖甜丽，等：基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析其中，（）表示概率密度集 （）的 分位数。进一步地，第一阶段局部抽样集 可确定为：（）（）第二阶段局部抽样第二阶段抽样区域由两部分抽样集共同确定。第一部分抽样集 通过对低概率密度样本的过滤确定为 （）。第二部分抽样集 则以 为抽样中心，由目标可靠度指数 和极限状态函数的非线性度确定抽样半径。等 建议将超球面半径设置为目标可靠度指数 的 倍。则由极限状态函数的非线性度确定。等 提出利用测试点梯度值的方差量化极限状态函数的非线性系数 ：（）（），（）（）其中，（，）表示均匀分布在 超球面区域的 个测试点，（）为基于所构建 模型的梯度值。根据所计算的非线性系数，将抽样集 的抽样半径 表示为：（）（）其中，目标可靠度 由 法计算获得。从而，抽样集 可表示为：，（）其中，为最可能的失效点。进而，第二阶段的局部抽样集 可确定为：（）期望可行性函数序贯抽样中，新加点常根据所构建的学习函数来选 择。期 望 可 行 性 函 数（，）是结构可靠性分析中的代表性学习 函 数 之 一。该 函 数 基 于 有 效 全 局 优 化（，）中的期望改进思想 ，可提供新加点处功能函数真实值在所定义区域内接近极限状态面的程度度量。通过最大化该函数，能够获得最大程度提升代理模型的新样本点。类似于 中的期望改进函数，利用对极限状态邻近区域的积分，获得可行性函数期望值，其一般形式表示为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中，为常数，在可靠性分析中设定为 ；和分别表示 ，与预测标准差成比例，设置为（）。倾向于选择期望值接近于 或预测方差大的点。基于两阶段局部抽样的可靠性分析算法实施步骤所提算法具体步骤如下：步骤 利用拉丁超立方抽样（，）产生样本大小为 的候选样本集 ，并从中随机选择 个样本点作为 模型初始训练样本。步骤 以高斯核函数为 模型相关函数，基于训练样本构建常 模型。步骤 基于步骤 所建立的 模型，获得候选集 的 个预测期望值和预测方差，并计算失效概率估计值 。步骤 给定阶段划分的阈值 （），利用式（）判断局部抽样阶段。当 时，转至步骤 ，反之转至步骤 。步骤 根据式（）（）计算样本低概率密度阈值 及对应的局部抽样集。步骤 根据步骤 所构建 模型，计算极限状态边界的 点。以 作为局部抽样中心，利用式（）（）获得局部抽样集。步骤 在所确定的局部抽样集中，最大化式（）的 学习函数，获得新点。步骤 当 （）时，学习停止并转至步骤 ；反之，计算 对应的真实功能函数值，更新训练集，返回步骤 。步骤 利用式（）计算所估计失效概率的变异系数 。当 大于 时，重新生成新的候选样本集 ，转至步骤 ；反之，转至步骤 。步骤 算法停止并输出失效概率估计值。基于所提策略的计算精度及效率分析基于代理模型的可靠性分析中，失效概率估计精度主要取决于代理模型对于极限状态面的拟合质量，而拟合质量主要与试验点的设计有关。有效的试验设计能够实现以较少的真实模型评价次数运 筹 与 管 理 年第 卷达到较高的估计精度。本文所提的两阶段局部抽样策略根据代理模型预测信息序贯选择具有最大信息的设计点，可获得代理模型预测精度和计算效率的更好权衡。该策略的优势主要体现在：（）传统的一次性试验设计仅关注设计变量的空间分布，而所提策略除此之外还利用了代理模型的预测信息，与前者相比所设计的样本点对模型精度提升的贡献更大；（）设计点的序贯填充过程中，除添加最有信息的样本点提升精度和效率外，通过缩减抽样空间来提升新加点的选择效率，进一步提高总计算效率；（）两阶段的抽样策略一方面通过过滤低概率密度样本点提高抽样效率，另一方面抽样中心由设计变量均值处转移到最可能失效点处，使选择的样本点位于极限状态面附近，进一步提升了代理模型的估计精度和效率。所提方法验证分析采用非线性度、纬度等复杂程度不同的三个案例，并以 ，法及 为比较，验证所提方法的性能。法所估计的失效概率为真实失效概率参考值。为保证方法之间的可比性，同一案例不同方法的实施均基于相同的初始样本和候选样本。其中，设计变量以均值的正负五个标准差为取值范围。四边界串联系统案例 为一个四边界的串联系统 ，包含两个独立且均服从标准正态分布的随机变量。功能函数表达形式为：（）（）（）槡 （）（）槡（）槡（）槡（）候选样本集 大小为 ，初始 样本量为 ，值为 ，抽样阶段的划分阈值 取 。可靠性分析结果见表 和图 。由表 系统可靠性应用的比较可知：（）基于全局抽样策略的可靠性分析方法 具有较好的失效概率估计精度，但对真实函数的调用次数较大，具有较高的计算成本；（）与 相比，基于局部抽样策略的后三种可靠性分析方法所需的 值较小，具有更好的计算经济性，尤其是对于一次调用较耗时的问题；（）尽管可大大节省计算成本，但所提供的失效概率估计精度非常差，说明该方法不适合串联系统；（）与其他方法相比，所提 法可以较少的真实函数调用次数达到较准确的估计精度。如计算成本方面，所提方法与 相比，减少了 ，与 相比将少了 ；估计精度方面，与 相比提高了 ，与 相比提高了 。表 案例 的结构可靠性分析结果方法（）注：表示对真实函数的调用次数。由图 可明显看出：（）与其他局部抽样方法相比，利用 法的全局抽样中包含较多远离极限状态面的点，导致一定的成本浪费；（）基于 的序贯抽样仅集中于极限状态面的部分区域，所构建 模型对极限状态面的近似较差，无法提供良好的失效概率估计精度；（）基于 的序贯抽样，由于对于低概率密度样本的过滤，新添加的试验设计点更加集中于极限状态面，从而避免了无效抽样；（）基于本文所提 的序贯抽样，能够克服以上方法不足，以较少的试验设计点提供较好的极限状态近似，从而可兼顾计算经济性和失效概率估计准确性。（）（）（）（）图 不同方法的 对比 复杂高非线性函数案例 为一个具有高度非线性且多峰值的第 期肖甜丽，等：基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析复杂问题 ，其功能函数表达式为：（）（）（）（）其中，（，），（，）。设置候选样本集 大小为 ，初始 样本量为 ，值为 ，抽样阶段的划分阈值 分别取 ，。可靠性分析结果见表 。由表 高度非线性且多峰应用的比较发现：（）在序贯可靠性分析中，一般来说 与 成反比，随着 的减小，对应的相对误差 逐渐增大，二者之间具有相互矛盾的关系；（）与 相比，尽管 可更快地给出失效概率估计值，但由于初始迭代中所构建的 模型对极限状态面的近似较差，导致对应的 较大；（）通过两阶段局部抽样阈值的调整，能够克服 和 的不足，以相对较小的 ，达到较高的失效概率估计精度，能够更好地平衡 和。如 真 实 函 数 的 调 用 次 数 方 面，与 相比，减少了 ；估计精度方面，为 时，与 相比提高了 ，与 相比提高了 。表 案例 的结构可靠性分析结果方法（）（）（）（）（）非线性振荡器案例 为一个包含 个随机变量的非线性无阻尼单自由度系统 ，见图 。功能函数表示为：（，）（）（）其中，（）槡 表示系统频率。各随机变量具体分布见表 。图 非线性振荡器设置初始候选样本集 大小为 ，初始 样本量为 ，值为 ，抽样阶段划分阈值 取 。可靠性分析结果见表 。由表 比较发现：（）估计精度方面，与 相比提高了 ，与 相比提高了 ，与 相比提高了 ，说明了所提方法可保证较高的失效概率估计精度；（）计算成本方面，对功能函数的调用次数与 相比降低了 ，与 相比降低了 ，与 相当，说明了所提方法具有较好的计算经济性；（）与其他方法相比，该例中 在计算成本和预测精度方面都具有优势，说明在该问题中基于初始 的 模型对极限状态面的近似已达到一定精度，进而导致初始迭代就能获得较准确的 。表 案例 中随机变量分布随机变量分布类型均值标准差正态分布 正态分布 正态分布 正态分布 正态分布 正态分布 表 案例 的结构可靠性分析结果方法（）结论与展望针对失效概率估计时难以有效平衡精度和效率问题，本文利用失效概率的置信区间提出了两阶段的局部抽样策略。数值和工程案例表明：（）与全局抽样策略 相比，可有效减少对真实模型的调用次数，尤其是对于高计算成本的可靠性分析问题效果更显著；（）与局部抽样策略 相比，通过第二阶段抽样中心的调整，提高了在极限状态面的抽样效率；（）与局部抽样策略 相比，通过第一阶段局部抽样的全局探索，避免了初始迭代中 模型近似精度不足导致的高估计误差。与以上三种方运 筹 与 管 理 年第 卷法相比，所提方法可更好地兼顾失效概率估计的精度和效率。抽样阶段划分是本文所提方法关键，文中仅给出了阈值范围，未来将集中于最优阈值的公式化。此外，还可结合其他抽样方法，如重要性抽样，子集模拟等进一步提高计算效率。参考文献：，：，；（）：，：，：，：，：王娟，马义中，汪建均 基于 模型与重要性抽样的可靠 性 灵 敏 度 分 析 系 统 工 程 理 论 与 实 践，（）：，：，（）：，：，（）：，：，：，：，：，（）：，：，（）：第 期肖甜丽，等：基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析