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平面图形的镶嵌
一．选择题（共5小题）
1．（2010•赤峰）下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（　　）

A．
任意一种三角形
B．
任意一种四边形

C．
任意一种正五边形
D．
任意一种正六边形
2．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（　　）

A．
正三角形
B．
正方形
C．
正五边形
D．
正六边形
3．（2004•包头）用边长均为a的正三角形、正方形、正六边形镶嵌成一个边长为a的正十二边形的平面图形，现有6个正方形，1个正六边形，那么还需要正三角形（　　）

A．
8个
B．
6个
C．
4个
D．
2个
4．从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个平面图形的共有（　　）

A．
3种
B．
4种
C．
5种
D．
6种
5．下列边长相等的正多边形的组合中，不能镶嵌平面的是（　　）

A．
正三角形和正方形
B．
正三角形和正六边形

C．
正方形和正八边形
D．
正五边形和正方形
二．填空题（共6小题）
6．（2003•徐州）有以下边长相等的三种图形：①正三角形，②正方形，③正八边形．选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）：　_________　，或　_________　．　
7．（2011•株洲）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有　_________　（写出所有正确答案的序号）．

8．（2005•陕西）如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是　_________　．　
9．如图是由4个完全相同的等腰梯形镶嵌成的图形．则等腰梯形较大的内角的度数是　_________　度．
10．用黑白两种颜色的正六边形的地面砖（如图）镶嵌成若干图案．第4个图案中，白色的地砖有　_________　块；第n个图形中，白色的地砖有　_________　块．

11．用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360°．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：　_________　．（请用序号表示，只需写出两种即可）
三．解答题（共9小题）
12．（2010•青岛）问题再现：
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着　_________　个正六边形的内角．
问题提出：
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y=8，
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：_______；结论2：_______．
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广：
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3：_______；
验证3：_______；
结论3：_______．

13．（2003•陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下﹣丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
正多边形每个内角的度数

…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

14．（2011•凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等．
（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？

15．有下列正多边形：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正十二边形，从中任选二种或二种以上的图形结合在一起作平面镶嵌（每种图形可重复使用）．请你设计4种符合上述条件的平面镶嵌方案，并指出每一种设计方案所用到的正多边形的序号（不需要作出平面镶嵌图形）．

16．（2005•济南）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y=360°，化简得x+2y=6．因为x、y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．
（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．

17．（2012•济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．

（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；
（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；
（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．

18．（1）如图1，是某市公园周围街巷的示意图，A点表示1街与2巷的十字路口，B点表示3街与5巷的十字路口，如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）表示由A点到B点的一条路径，那么，你能同样的方法写出由A点到B点尽可能近的其他两条路径吗？

（2）从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多边形镶嵌，请全部写出这两种正多边形．并从其中任选一种探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
（3）如图2所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P（均为小于平角的角）与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．
（4）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．如图3给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．
请你按照上述方法将图4中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数以及求出每个图形中的六边形的内角和．试把这一结论推广至n边形，并推导出n边形内角和的计算公式．

19．（2011•宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）

20．用同样图案的正方形地砖（图1），可以铺成如图2的正方形和正八边形镶嵌效果的地面图案（地砖与地砖拼接线忽略不计）．已知正方形地砖的边长为a，效果图中的正八边形的边长为20cm．
（1）求a的值；
（2）我们还可以在正方形地砖上画出与图1不同的图案，使它能拼出符合条件的图2镶嵌效果图，请你按这个要求，在图3中画出2种与图1不同的地砖图案，并且所画的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．（2010•赤峰）下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（　　）

A．
任意一种三角形
B．
任意一种四边形

C．
任意一种正五边形
D．
任意一种正六边形

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解答：
解：∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，
∴A、B能镶嵌平面的图形；
C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；
∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴D能镶嵌平面的图形．
故选C．
点评：
用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．因为三角形内角和为180°，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌，而四边形的内角和为360°，用4个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌．
用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

2．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（　　）

A．
正三角形
B．
正方形
C．
正五边形
D．
正六边形

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
常规题型。
分析：
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答：
解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
D、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．
故选C．
点评：
本题考查平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

3．（2004•包头）用边长均为a的正三角形、正方形、正六边形镶嵌成一个边长为a的正十二边形的平面图形，现有6个正方形，1个正六边形，那么还需要正三角形（　　）

A．
8个
B．
6个
C．
4个
D．
2个

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
计算题。
分析：
根据镶嵌的定义，使组成的图形既无缝隙又不重叠即可．
解答：
解：如图：由于每个正方形的夹角为为60度，如∠1，
故还需正三角形6个．
故选B．

点评：
本题考查了平面镶嵌，画出图形找到两正方形的夹角是解题的关键．

4．从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个平面图形的共有（　　）

A．
3种
B．
4种
C．
5种
D．
6种

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答：
解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个平面图形的有正三角形，正四边形，正六边形，共有3种．
故选A．
点评：
用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

5．下列边长相等的正多边形的组合中，不能镶嵌平面的是（　　）

A．
正三角形和正方形
B．
正三角形和正六边形

C．
正方形和正八边形
D．
正五边形和正方形

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
几何图形问题。
分析：
分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
解答：
解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能密铺．
B、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能密铺．
C、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺．
D、正方形的每个内角是90°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，90m+108n=360°，m=4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选D．
点评：
本题考查了平面镶嵌的条件．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．

6．不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为（　　）

A．
正八边形和正方形
B．
正五边形和正十边形

C．
正六边形和正三角形
D．
正六边形和正八边形

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌．
解答：
解：A、正方形和正八边形内角分别为90°、135°，由于90°+135°×2=360°，故能镶嵌；
B、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，由于108°×2+144°=360°，故能镶嵌．
C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60°×2+120°×2=360°，故能镶嵌；
D、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，由于120m+135n=360，得m=5﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能镶嵌．
故选D．
点评：
解这类题，除了掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，还可列二元一次方程看是否有正整数解来判断．

7．分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（　　）

A．
①②
B．
②③
C．
①③
D．
①②③都可以

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
几何图形问题。
分析：
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．
解答：
解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，符合题意；
②正方形的每个内角是90°，4个能密铺，符合题意；
③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，不符合题意．
故以镶嵌成一个平面图案的有：①②．
故选A．
点评：
本题考查一种正多边形的镶嵌问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

8．（2008•赤峰）分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（　　）

A．
①②③
B．
②③④
C．
①②④
D．
①②③④都可以

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
根据密铺的条件可知，正三角形能密铺；正方形4个能密铺；正五边形不能密铺；正六边形能密铺．
解答：
解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
故选C．
点评：
本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．

二．填空题（共7小题）
9．（2003•徐州）有以下边长相等的三种图形：①正三角形，②正方形，③正八边形．选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）：　①②　，或　②③　．

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再结合镶嵌的条件判断即可．
解答：
解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正三角形和正方形能镶嵌成平面图形；
正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，
正三角形的每个内角60°，135m+60n=360°，n=6﹣m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，
∵90°+2×135°=360°，
∴正八边形和正方形能镶嵌成平面图形．
所以①②或②③能镶嵌成平面图形．
点评：
两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

10．（2011•株洲）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有　②③　（写出所有正确答案的序号）．

考点：
平面镶嵌（密铺）；平移的性质。1453018
分析：
根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．
解答：
解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，
∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；
②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．
故答案为：②③．
点评：
此题主要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是解决问题的关键．

11．（2005•陕西）如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是　1：2　．

考点：
等腰梯形的性质；平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
仔细观察发现其中的规律：横边可以看成是3个等腰梯形的下底或6个等腰梯形的上底组成，则此时等腰梯形的上底长与下底长的比就不难求得了．
解答：
解：由图中横边可以看出：横边可以看成是3个等腰梯形的下底组成；
假如把上面三个小梯形的上底平移到最下面的三个小梯形的上底处，可以发现横边也可以看成是6个等腰梯形的上底组成．
∴等腰梯形的上底长与下底长的比是1：2．
点评：
解决本题的关键是利用平移找到上底和下底之间的等量关系．

12．（2012•西宁）5张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同．把这5张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，与卡片上图形相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是　　．

考点：
概率公式；平面镶嵌（密铺）。1453018
分析：
根据镶嵌的定义可得这5个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率．
解答：
解：∵这5个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，
∴P（单独一种能镶嵌）=．
故答案为：．
点评：
本题考查的是平面镶嵌以及概率的定义：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．

13．如图是由4个完全相同的等腰梯形镶嵌成的图形．则等腰梯形较大的内角的度数是　120　度．

考点：
平面镶嵌（密铺）；等腰梯形的性质。1453018
分析：
根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来求得其最大的内角．
解答：
解：由图中可以看出：密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相等的等腰梯形的较大内角组成
∴等腰梯形的较大内角为360°÷3=120°．
故答案为：120．
点评：
此题主要考查了平面镶嵌以及等腰梯形的性质，解决本题的关键是明白：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

14．用黑白两种颜色的正六边形的地面砖（如图）镶嵌成若干图案．第4个图案中，白色的地砖有　18　块；第n个图形中，白色的地砖有　（4n+2）　块．

考点：
规律型：图形的变化类。1453018
分析：
根据题意：第1个图案中，白色的地砖有6=4×1+2块；第2个图案中，白色的地砖有4×2+2=10块；…第4个图案中，白色的地砖有4×4+2=18块；第n个图形中，白色的地砖有（4n+2）块．
解答：
解：第4个图案中，白色的地砖有4×4+2=18块；第n个图形中，白色的地砖有（4n+2）块．
点评：
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

15．用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360°．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：　①②③；②③⑥　．（请用序号表示，只需写出两种即可）

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
开放型。
分析：
分别求得这七种不同的正多边形的内角，再判断用哪三种不同的正多边形能镶嵌平面即可．
解答：
解：①正三角形：180°÷3=60°；
②正方形：（4﹣2）×180°÷4=90°；
③正六边形：（6﹣2）×180°÷6=120°；
④正八边形：（8﹣2）×180°÷8=135°；
⑤正十边形：（10﹣2）×180°÷10=144°；
⑥正十二边形：（12﹣2）×180°÷12=150°；
⑦正十五边形：（15﹣2）×180°÷15=156°；
∴这三种正多边形可以是正三角形、正六边形各一个，正方形2个，故①②③；正方形、正六边形和正十二边形各一个，故②③⑥．
故答案为：①②③；②③⑥．
点评：
本题考查了平面镶嵌的内容，还涉及了多边形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．

三．解答题（共12小题）
16．（2010•青岛）问题再现：
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着　3　个正六边形的内角．
问题提出：
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y=8，
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：_______；结论2：_______．
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广：
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3：_______；
验证3：_______；
结论3：_______．

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
阅读型。
分析：
用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
用两种正多边形镶嵌，每一顶点可用3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等能镶嵌成一个平面图案．
解答：
解：用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．（1分）
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，
根据题意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
可以找到两组适合方程的正整数解为和．（3分）
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（5分）
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？（6分）
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角．
根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，
整理得：2m+3n+4c=12，
可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．（8分）
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（说明：本题答案不惟一，符合要求即可．）（10分）
点评：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．

17．（2003•陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下﹣丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
正多边形每个内角的度数

…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
压轴题。
分析：
（1）利用正多边形一个内角=180﹣求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．
解答：
解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n﹣2）•180°n；

（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；

（3）如：正方形和正八边形（如图），设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m•90°+n•135°=360°的正整数解．即2m+3n=8的正整数解，只有m=1，n=2一组，∴符合条件的图形只有一种．

点评：
求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

18．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角的度数
　60°　
　90°　
　108°　
　120°　
…
　（180﹣）°　
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

考点：
平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
规律型。
分析：
（1）利用正多边形一个内角=（180﹣）°求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．
解答：
解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形、…、正n边形的每一个内角为：
60°，90°，108°，120°，…180﹣；

（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；

（3）如：正方形和正八边形（如图），
设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，
那么m，n应是方程m•90°+n•135°=360°的正整数解．
即2m+3n=8的正整数解，只有m=1，n=2一组，
∴符合条件的图形只有一种．

点评：
本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

19．（2011•凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等．
（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？

考点：
列表法与树状图法；平面镶嵌（密铺）。1453018
专题：
计算题。
分析：
（1）根据镶嵌的定义可得这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率；
（2）利用列表法展示所有等可能的15种结果，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，再根据概率的概念计算即可．
解答：
解：（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，
∴P（单独一种能镶嵌）=；

（2）根据题意得：

A
B
C
D
E
F
A

AB
AC
AD
AE
AF
B
BA

BC
BD
BE
BF
C
CA
CB

CD
CE
CF
D
DA
DB
DC

DE
DF
E
EA
EB
EC
ED

EF
F
FA
FB
FC
FD
FE

（5分）
由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，
其中能进行平面镶嵌的结果有8种，
分别是：AB，