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第七章 第七节 立体几何体中的向量方法
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2011·杭州模拟)若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3,1，－4)则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：因为cos〈n1·n2〉＝≠0且cos〈n1，n2〉≠±1，所以α、β相交但不垂直．
答案：C
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：因为cos〈m，n〉＝－，所以l与α所成角θ，满足sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，
又θ∈ [0，]，
所以θ＝30°.
答案：A
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：如图所示，易证BD⊥平面AA1C1C，又CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE.
答案：B
4．(2011·厦门模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为( )
A. B.
C. D.
解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，
cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝.
答案：B
5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，
则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)
∴cos〈，〉＝
＝＝.∴EF与BC1所成角为60°.
答案：B
6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建系，设正方体棱长为1，
则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0), C(0,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝(－1,1,0)，
＝(，，－)，＝(－1，－1,1)，
＝－，·＝·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.
答案：B
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．(2011·南通模拟)设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
解析：由题知a，b分别平面α，β的法向量，又a·b＝(－1)×2＋2×3＋(－4)×1＝0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
答案：垂直
8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．
解析：由题知：⊥，⊥.
所以：即：
解得：x＝，y＝－，z＝4.
答案：，－，4
9．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)，则＝(2a,0,0) ＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
三、解答题
10．如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D－xyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
连结BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m＞0)，由已知〈，〉＝60°，由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝.解得m＝，所以＝(，，1)．
(1)因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)．
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
(2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长．
解：(1)证明：如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)．
即＝(0,2,0)，
＝(－1,0,1)，
＝(1,0,1)，由·＝(1,0,1)·(0,2,0)＝0，得CD⊥C1B1.由·＝(1,0,1)·(－1,0,1)＝0，得CD⊥DC1.又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D.又CD⊂平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D.
(2)设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．则⇔，
令z＝－1，得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.
12．(2010·海口模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，AB⊥平面BB1C1C.
(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值；
(2)在棱CC1(不包括端点C、C1)上确定一点E的位置，使EA⊥EB1(要求说明理由)；
(3)在(2)的条件下，若AB＝，求二面角A－EB1－A1的大小．
解：以B为坐标原点，BC、BB1、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1(0,2,0)．
(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC的一个法向量为＝(0,2,0)，又＝(1,2,0)，设BC1与平面ABC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝，
∴tanθ＝2，即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.
(2)设E(1，y,0)，A(0,0，z)，则＝(－1,2－y,0)，＝(－1，－y，z)，∵EA⊥EB1，∴·＝1－y(2－y)＝0，∴y＝1，即E(1,1,0)，∴E为CC1的中点．
(3)由题知A(0,0，)，则＝(1,1，－)，＝(1，－1，0)，设平面AEB1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则
∴
令x1＝1，则n＝(1,1，)
∵＝(1,1,0)，
∴·＝1－1＝0.
∴BE⊥B1E.又BE⊥A1B1，
∴BE⊥平面A1B1E.
∴平面A1B1E的一个法向量为BE＝(1,1,0)
∴cos〈n，〉＝＝.
∴二面角A－EB1－A1的大小为45°.
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