云南省贵州省2011年中考数学试题分类解析汇编-专题9-三角形.doc

云南贵州2011年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形
一、 选择题
1.（云南昆明3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线与D点，垂足为E，则sin∠CAD=
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
【考点】锐角三角函数的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理。
【分析】设AD=x，则CD=x－3，
在直角△ACD中，（x－3）2+ ()2=x2，解得，x=4。
∴CD=4－3=1，∴sin∠CAD=。故选A。
2.（贵州贵阳3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
A、2.5 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】勾股定理，实数与数轴。
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可：
由勾股定理可知，∵OB=，∴这个点表示的实数是。故选D。
3.（贵州毕节3分）如图，已知AB＝AC，∠A＝，AB的中垂线MD交AC于
点D、交AB于点M。下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD，正确的有( )个
A、4 B、3 C、2 D、1
【答案】B。
【考点】相似三角形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD：
∵AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，∴AD=BD。∴∠ABD=∠A=36°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°。∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°。∴∠ABD=∠CBD。
∴BD是∠ABC的平分线。故①正确。
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°。∴∠BDC=∠C=72°。
∴△BCD是等腰三角形，故②正确。
∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，∴△ABC∽△BCD。故③正确。
∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中没有直角，∴△AMD与△BCD不全等。故④错误。
故选B。
5.（贵州毕节3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子
从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向
上运动，已知楔子斜面的倾斜角为200，若楔子沿水平方
向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°。故选A。
6.（贵州铜仁4分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是
Ａ、等腰三角形两底角相等；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；
C、等腰三角形是中心对称图形；
D、等腰三角形是轴对称图形．
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据等腰三角形的性质作出判断：：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确。故选C。
7.（贵州铜仁4分）已知:如图，在△ABC中,∠AED=∠B,则下列等式成立的是
A、 B、
C、 D、
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】在△ADE和△ACB中，由∠AED=∠B，可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，得
。故选C。
8.（贵州黔南4分）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是
A、 B、10 C、 D、12
【答案】B。
【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质。
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE，再利用中位线定理求出DE即可：
∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，∴BE=CE=BC=4。
又∵D是AB中点，∴BD=AB=3，DE是△ABC的中位线。∴DE=AC=3。
∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+3+4=10，故选B。
二、填空题
1.（云南曲靖3分）已知△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,AB=3，BC=6，AD:DB=2:1，则四边形DBFE的周长为 ▲ ；
【答案】10。
【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】由DE∥BC和EF∥AB知四边形DBFE是平行四边形，由AD:DB＝2:1知AD:AB＝3:1，从而根据已知BC=6由相似三角形对应边的比得DE＝4，BD＝1。因此四边形DBFE的周长为10。
2.（云南曲靖3分）如图，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E,使CE=CD，连接DE，则DE的长是 ▲ cm
【答案】。
【考点】 等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形。
【分析】 根据等边三角形每个内角都等于600的性质，得∠CED＝120°，又因为CE＝CD，所以∠E＝30°。作辅助线，过点C作CF⊥DE于点F，则由BD是中线和等边三角形ABC的边长是6，有CE＝CD＝3。从而在Rt△CEF中，EF＝CEcos∠E＝3cos300＝。因此DE＝2EF＝。
3.（云南昭通3分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ 。（只需填一个即可）
【答案】∠A＝∠F或AC∥EF或BC＝DE（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定，平行的性质。
【分析】由AD＝FB，可得AE＝FD，所以添加∠A＝∠F，根据SAS的判定，可得△ABC≌△FDE；添加AC∥EF，由两直线平行内错角相等的性质，可得∠A＝∠F，从而根据SAS的判定，可得△ABC≌△FDE；添加BC＝DE，根据SSS的判定，可得△ABC≌△FDE。
4.（云南玉溪3分）如图，点A1、A2、A3、……、An在抛物线图象点
B1、B2、B3、……、Bn在轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、……、△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△的腰长= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理。
【分析】先求△A1B0B1的腰长，设A1（），由等腰直角三角形的性质可知，解得，从而B1（0，2），则由勾股定理，△A1B0B1的腰长=。
同理求△A2B1B2的腰长，设A1（），由等腰直角三角形的性质可知，解得，从而B2（0，6），则由勾股定理，△A2B1B2的腰长=。
同理△A3B2B3的腰长=。
······
则△的腰长=。论
5.（贵州贵阳4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为l，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依次类推到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为　 ▲ 　．
【答案】15。
【考点】分类归纳，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】根据△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律，再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可：
∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1=；
∵AC=，AD==2，···
∴S△ACD=；S△ADE=，···
∴第n个等腰直角三角形的面积是。
∴S△AEF==4，S△AFG==8。
∴由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15。
6.（贵州遵义4分）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方
形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ▲ ．
【答案】。
【考点】勾股定理，等腰三角形的性质。
【分析】根据网格的特点和勾股定理，可得AB=AC=，BC=。
过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则根据等腰三角形三线合一的性质，得BD=。在Rt△ABD中应用勾股定理，得AD=。
7.（贵州黔东南4分）计算：sin30°= ▲ 。
【答案】。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】根据30°角的正弦函数值直接得出结果。
三、解答题
1.（云南昆明7分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：
∠CAB=45°，∠CBA=30°，
∴CD=BC=200， BD=CB•cos（90°﹣60°）=400×=200，
AD=CD=200，
∴AB=AD+BD=200+200≈546（m）。
答：这段地铁AB的长度为546m。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。
【分析】过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度。
2.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧8分）如图，甲、乙两船同时从港口出
发，甲船以60海里／时的速度沿北偏东600方向航行，乙船沿北偏西300方向航行，半小时后甲船到达
点，乙船正好到达甲船正西方向的点，求乙船的北
60°
C
B
A
30°

速度.
【答案】解：∵甲船航行半小时后到达点，
∴（海里）
又∵，B点是C点的正西方向，。
∴（海里）
因此乙船的速度是海里／时。
【考点】三角形内角和定理，解直角三角形。
【分析】根据已知和三角形内角和定理，求出，，即可解直角三角形ABC求出AB，从而求出乙船的速度。
3.（云南昭通9分）如图所示，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船从A到B处需时间分钟，求该船的速度。
【答案】解：如图，过点B作BC垂直河岸，垂足为C。
则在Rt△ACB中，有
，
因而速度。
答：该船的速度为300米/分钟。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。
【分析】过点B作BC垂直河岸，垂足为C，构造直角三角形，在Rt△ACB中由锐角三角函数可求AB的长，从而根据速度=距离÷时间可求该船的速度。
4.（云南玉溪7分）如图，点B，C，D，E在同一条直线上，已知AB=FC，AD=FE，
BC=DE，探索AB与FC的位置关系？并说明理由．
【答案】解：AB与FC的位置关系是：AB∥FC。理由如下：
∵BC=DE，∴BD=CE。
在△ABD和△FCE中，BD=CE，AD=EF，AB=FC，∴△ABD≌△FCE(SSS)。
∴∠B=∠FCE。 ∴AB∥FC。
【考点】全等三角形的判定和性质，平行的判定。
【分析】要证AB∥FC，根据两直线平行的判定定理，只要同位角∠B=∠FCE。易证它们是全等三角形△ABD和△FCE的对应边。从而得证。
5.（云南玉溪10分）张明同学想测量聂耳山上聂耳铜像的
高度，于是他爸爸查阅资料后告诉他，聂耳山的高度是12
米，铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1
米，且聂耳山的高度+铜像高度+底座高度等于聂耳遇难时
的年龄．张明随后用高度为1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰角β＝51°24′，底座顶端点
的仰角＝26°36′．请你帮助张明算出聂耳铜像AB的高度及聂耳遇难时的年龄（把聂耳铜像和底座近似
看在一条直线上，它的抽象几何图形如左图）．【参考数据：tan26°36′≈0.5，tan51°24′≈1.25】
【答案】解：设聂耳铜像的高度AB为米，则BC=(－2)米。
在Rt△BCF中，，∴FC=.
在Rt△ACF中，∵， ∴FC=。
∴2x－4=。∴=6。
∴聂耳遇难时的年龄=12+6+5=23(岁)。
答：聂耳铜像的高度是6米, 聂耳遇难时的年龄是23岁。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。
【分析】首先设聂耳铜像的高度AB为米，则BC=(－2)米。然后分别在在Rt△BCF中和Rt△ACF中，利用正切函数的性质求得FC的值，即可得方程，解此方程即可求得答案。
6.（贵州贵阳10分）某过街天桥的设计图是梯形ABCD（如图所示），桥面DC与地面AB平行，DC=62米，AB=88米．左斜面AD与地面AB的夹角为23°，右斜面BC与地面AB的夹角为30°，立柱DE⊥AB于E，立柱CF⊥AB于F，求桥面DC与地面AB之间的距离（精确到0.1米）

【答案】解：设桥面DC与地面AB之间的距离为x米，即DE=CF=x，
则AE= x cot23°，BF= x cot30°，AE+BF=AB﹣DC，
∴x cot23°+ x cot30°=88﹣62，解得：x≈7.5。
答：桥面DC与地面AB之间的距离约为7.5米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。
【分析】设桥面DC与地面AB之间的距离为x米，分别用x表示出AE和BF，AE+BF=AB﹣DC，则得到关于x的一元一次方程，从而求出x。
7.（贵州安顺8分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，
由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，
则AD=AB+BD=（40+x）米，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=，即，
解得x=60（米）。
∴这条河的宽度为60米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，由此可以列出关于x的方程，解方程即可求解。
8.（贵州六盘水12分）某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时。一辆汽车在该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边10米O处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东600的A点行驶到北偏东300的B点，所用时间为1秒。
（1）试求该车从A点到B点的平均速度。
（2）试说明该车是否超速。（、）
【答案】解：（1）据题意，得∠AOC＝600，∠BOC＝300，
在Rt△AOC中，∠AOC＝600，∴∠OAC＝300。
∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝600－300＝300，∴∠AOB＝∠OAC。∴AB＝OB。。
在Rt△BOC中，OB＝OCcos∠BOC＝10＝（米）， ∴AB＝。
∴（米/秒）。
（2）∵36千米/时＝10米/秒， 又∵，
∴。 ∴小汽车超速了。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰三角形的判定。
【分析】（1）据题意得∠AOC=60°，∠BOC=30°，然后在Rt△AOC中求出∠OAC=30°，接着求出∠AOB，由此得到∠AOB=∠OAC，再利用等腰三角形的判定得到AB=OB，又在Rt△BOC中OB=OC÷cos∠BOC，由此求出OB，最后可以求出AB。
（2）首先统一单位，然后利用时间、速度、路程之间的关系即可求出时间，然后比较大小即可解决问题。
9.（贵州遵义8分）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天
桥，原设计天桥的楼梯长AB=6,∠ABC=45o，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使（如图所示）．
（1）求调整后楼梯AD的长；
（2）求BD的长．
（结果保留根号）
【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=45o，
∵sin∠ABC=，AB=6， ∴AC=AB·sin45o=。
又∵∠ACD=90O,∠ADC=30O， ∴ AD=2AC=。
答：调整后楼梯AD的长为。
（2）由（1）知：AC=BC=，AD=，
∵∠ACD=90O，∠ADC=30O，
∴DC=AD·cos30o=。
∴BD=DC-BC=。
答：BD的长为。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）首先由已知AB=6m，∠ABC=45°求出AC和BC，再由∠ADC=30°求出AD=2AC。
（2）先由锐角三角函数求出DC，从而求出BD。
10.（贵州铜仁10分）如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ （参考数据：）
【答案】解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°, ∠ACB=90°，∴BC=AC。
∴在Rt△AOC中，由tan30°=, 得。
解得AC=（海里）。
∵27.32海里＞25海里，∴轮船不会触礁。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。
【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险。
11.（贵州黔东南12分）如图所示，某公司办公楼的对面小山上矗立着一座铁塔FD，小敏站在10米高的
楼顶上A处测得塔顶F的仰角为45°，他从楼底B处水平走到坡脚C，从C处测得塔
底部D的仰角为60°，铁塔FD与水平地面BC垂直于点E，若BC=100米，斜坡长
CD=220米，试求铁塔FD的高（测量仪的高度忽略不计，结果保留根号）。
【答案】解：过点A 作AG⊥EF，垂足为点G。
∵在Rt△DCE中，CD=220，∠DCE=600，
∴CE=CD ·cos∠DCE=110，DE=CD·sin∠DCE=110。
∴在矩形ABEG中，AG=BE=BC＋CE=210，GE=AB=10。
又∵在Rt△AGF中，AG=210，∠FAG=450，∴FG=210。
∴FD=FG－DG=FG－（DE－GE）=210－（110－10）=220－110（米）。
∴铁塔FD的高为220－110米。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，矩形的性质，等腰直角三角形的性质。
【分析】过点A 作AG⊥EF，构造直角三角形，分别在Rt△DCE和Rt△AGF中应用锐角三角函数和等腰直角三角形的性质求得有关长度即可。

12
用心 爱心 专心